湖北省孝感市云梦县学年八年级上学期期中考试数学试题 解析版Word下载.docx
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A.8B.10C.12D.16
10.如图,∠AOB=20°
,M,N分別是边OA,OB上的定点,P,Q分别是边OB,OA上的动点,记∠OPM=α,∠OQN=β,当MP+PQ+QN最小时,则关于α,β的数量关系正确的是( )
A.β﹣α=30°
B.β﹣α=40°
C.β+α=180°
D.β+α=200°
二、填空题(共6道小题,每小题3分,共18分请将结果直接写在答题卷相应位置上)
11.屋顶钢架经常采用三角形结构,运用的几何原理是 .
12.已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是(2,3),则点P的坐标是 .
13.一个等腰三角形的顶角为80°
,则它的一个底角为 .
14.如图,△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠B=60°
,∠BAC=110°
,则∠DAE= .
15.如图,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且△APO是等腰三角形,则点P有 个.
16.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°
,D是AC上一点,且BD=BC,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分別是E,F,下列结论:
①BD是∠ABC的平分线;
②D是AC的中点;
③DE垂直平分AB;
④AB=BC+CD;
其中正确的结论是 (填序号).
三、解答题(本大题共8小题,满分72分,解答写在答题卷上)
17.已知△ABC中,∠B=∠A+15°
,∠C=∠B+15°
,求△ABC的各内角度数.
18.如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,BD=CE.求证:
AD=AE.
19.如图,AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,连接EF,EF与AD交于点G,
求证:
AD垂直平分EF.
20.如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点O,连接AD,AE,△ADE的周长为12cm.
(1)求BC的长;
(2)分别连接OA,OB,OC,若△OBC的周长为26cm,求OA的长.
21.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°
,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,求证:
BE∥DF.
22.尺规作图,不写作法,保留作图痕迹
(1)如图1,若△ABC与△DEF关于直线l对称,请作出直线l;
(2)如图2,在矩形ABCD中,已知点B,F分别在AD和AB上,请在边BC上作出点G,在边CD作出点H,使得四边形EFGH的周长最小.
23.D为等边△ABC的边AC上一点,E为直线AB上一点,CD=BE.
(1)如图1,求证:
AD=DE;
(2)如图2,DE交CB于点F.
①若DE⊥AC,CF=6,求BF的长;
②求证:
DF=EF.
24.如图,已知:
△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°
,分别过B,C向经过点A的直线EF作垂线,垂足为E,F.
(1)当EF与斜边BC不相交时,请证明EF=BE+CF(如图1);
(2)如图2,当EF与斜边BC这样相交时,其他条件不变,证明:
EF=BE﹣CF;
(3)如图3,当EF与斜边BC这样相交时,猜想EF、BE、CF之间的关系,不必证明.
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可.
【解答】解:
A、是轴对称图形;
B、不是轴对称图形;
C、是轴对称图形;
D、是轴对称图形;
故选:
B.
【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析,从而确定最后的答案.
A、带①去,仅保留了原三角形的一个角和部分边,不能得到与原来一样的三角形,故A选项错误;
B、带②去,仅保留了原三角形的一部分边,也是不能得到与原来一样的三角形,故B选项错误;
C、带③去,不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边,符合ASA判定,故C选项正确;
D、带①和②去,仅保留了原三角形的一个角和部分边,同样不能得到与原来一样的三角形,故D选项错误.
C.
【分析】已知三角形的两边长分别为3和9,根据在三角形中任意两边之和>第三边,任意两边之差<第三边;
即可求第三边长的范围.
设第三边长为x,则由三角形三边关系定理得9﹣3<x<9+3,即6<x<12.
因此,本题的第三边应满足6<x<12,把各项代入不等式不符合的即为答案.
只有6不符合不等式,
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点:
横坐标互为相反数,纵坐标不变可直接得到答案.
点(a,b)关于y轴的对称点的坐标是(﹣a,b),
D.
【分析】直接利用平行线的性质结合三角形外角的性质得出答案.
∵AB∥CD,∠A=60°
,
∴∠A=∠1=60°
∴∠C+∠E=60°
∵∠C=∠E,
∴∠C=∠E=30°
.
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行分析即可.
A、BD=DC,AB=AC,再加上公共边AD=AD可利用SSS定理判定△ABD≌△ACD,故此选项不合题意;
B、∠ADB=∠ADC,∠BAD=∠CAD再加上公共边AD=AD可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD,故此选项不合题意;
C、∠B=∠C,∠BAD=∠CAD再加上公共边AD=AD可利用AAS定理判定△ABD≌△ACD,故此选项不合题意;
D、∠B=∠C,BD=DC再加上公共边AD=AD,没有ASS定理判定△ABD≌△ACD,故此选项符合题意;
【分析】首先设这个正多边形的边数为n,根据多边形的内角和公式可得180(n﹣2)=720,继而可求得答案.
设这个正多边形的边数为n,
∵一个正多边形的内角和为720°
∴180(n﹣2)=720,
解得:
n=6,
∴这个正多边形的每一个外角是:
360°
÷
6=60°
【分析】根据直角三角形的性质求出BD,根据角平分线的性质求出CD,得到BC的长,根据勾股定理列式计算即可.
∵DE⊥AB,∠B=30°
∴BD=2DE=2,
∵AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB,∠C=90°
∴DC=DE=1,
∴BC=3,
∵∠C=90°
∴AC=
AB,
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,即(2AC)2=AC2+32,
解得,AC=
则AB=2
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=3+3
【分析】连接BD,由已知等腰直角三角形ABC,可推出BD⊥AC且BD=CD=AD,∠ABD=45°
,再由DE⊥DF,可推出∠FDC=∠EDB,由等腰直角三角形ABC可得∠C=45°
,得出△EDB≌△FDC,得出四边形BFDE的面积是三角形ABC的一半,利用三角形的面积公式即可求出AB的长.
连接BD,
∵等腰直角三角形ABC中,D为AC边上中点,
∴BD⊥AC(三线合一),BD=CD=AD,∠ABD=45°
∴∠C=45°
∴∠ABD=∠C,
又∵DE⊥DF,
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF,
∴∠FDC=∠EDB,
在△EDB与△FDC中,
∴△EDB≌△FDC(ASA),
∴S四边形BFDE=S△BDC=
S△ABC=16,
∴
AB2=32,
∴AB=8,
【分析】如图,作M关于OB的对称点M′,N关于OA的对称点N′,连接M′N′交OA于Q,交OB于P,则MP+PQ+QN最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ,∠OQP=∠AQN′=∠AQN,KD∠OQN=180°
﹣20°
﹣∠ONQ,∠OPM=∠NPQ=20°
+∠OQP,∠OQP=∠AQN=20°
+∠ONQ,由此即可解决问题.
如图,作M关于OB的对称点M′,N关于OA的对称点N′,连接M′N′交OA于Q,交OB于P,则MP+PQ+QN最小,
易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ,∠OQP=∠AQN′=∠AQN,
∵∠OQN=180°
+∠ONQ,
∴α+β=180°
﹣∠ONQ+20°
+20°
+∠ONQ=200°
二.填空题(共6小题)
11.屋顶钢架经常采用三角形结构,运用的几何原理是 三角形的稳定性 .
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可.
屋顶钢架经常采用三角形结构,运用的几何原理是三角形的稳定性,
故答案为:
三角形的稳定性.
12.已知点P关于x轴的对称点P1的坐标是(2,3),则点P的坐标是 (2,﹣3) .
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点:
横坐标不变,纵坐标互为相反数可直接写出答案.
∵点P关于x轴的对称点P1的坐标是(2,3),
∴点P坐标是(2,﹣3),
(2,﹣3).
,则它的一个底角为 50°
.
【分析】由已知顶角为80°
,根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理,即可求出它的一个底角的值.
∵等腰三角形的顶角为80°
∴它的一个底角为(180°
﹣80°
)÷
2=50°
故填50°
,则∠DAE= 25°
【分析】根据AE平分∠BAC,得到∠BEA的大小.再根据垂直定义,得到直角三角形,在直角△ABD中,可以求得∠BAD的度数,即可求解∠DAE的大小.
∵∠BAC=110°
,∠B=60°
∴∠C=180°
﹣110°
﹣60°
=10°
∵AD⊥BC于D,
∴∠ADC=90°
∠CAD=90°
﹣∠C=90°
﹣10°
=80°
;
又∵AE平分∠BAC,
∴∠CAE=
×
110°
=55°
∴∠DAE=∠CAD﹣∠CAE
﹣55°
=25°
25°
15.如图,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且△APO是等腰三角形,则点P有 4 个.
【分析】没有指明点P在正半轴还是在负半轴,也没有说明哪个底哪个是腰,故应该分情况进行分析,从而求解.
(1)当点P在x轴正半轴上,
①以OA为腰时,
∵A的坐标是(2,2),
∴∠AOP=45°
,OA=2
∴P的坐标是(4,0)或(2
,0);
②以OA为底边时,
∵点A的坐标是(2,2),
∴当点P的坐标为:
(2,0)时,OP=AP;
(2)当点P在x轴负半轴上,
③以OA为腰时,
∴OA=2
∴OA=OP=2
∴P的坐标是(﹣2
,0).
综上所述:
P的坐标是(2,0)或(4,0)或(2
,0)或(﹣2
4.
其中正确的结论是 ①③④ (填序号).
【分析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质与判定进行解答即可.
①∵∠A=36°
,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=72°
∵BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD=72°
∵∠BDC=∠A+∠ABD,
∴∠ABD=36°
∴∠ABD=∠CBD,①正确.
②因为AD=BD,但BD≠CD,故②错误;
③∵∠ABD=∠A=36°
∴AD=BD,
∵DE⊥AB,
∴DE垂直平分AB,③正确;
④由①③可知,AD=BD=BC,
又∵AB=AC,
∴AB=AD+CD=BC+CD,④正确;
①③④.
三.解答题(共8小题)
【分析】根据三角形的内角和定理,结合已知条件解方程组即可.
∵∠B=∠A+10°
,∠C=∠B+10°
又∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A+(∠A+10°
)+(∠A+10°
+10°
)=180°
3∠A+30°
=180°
3∠A=150°
∠A=50°
∴∠B=60°
,∠C=70°
【分析】利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C,然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论.
【解答】证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△ABD与△ACE中,
∵
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AD=AE.
【分析】根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可以证明结论成立.
【解答】证明;
∵AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°
,∠EAD=∠FAD,
在△AED和△AFD中,
∴△AED≌△AFD(AAS),
∴AE=AF,
又∵DE=DF,
∴AD是EF的垂直平分线,
即AD垂直平分EF.
【分析】
(1)根据线段垂直平分线的性质得到DB=DA,同理EA=EC,于是得到结论;
(2)根据线段垂直平分线的性质得到OB=OA,同理OA=OC,得到OA=OB=OC,根据三角形的周长公式即可得到结论.
(1)∵l1垂直平分AB,
∴DB=DA,
同理EA=EC,
∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=12cm;
(2)∵l1垂直平分AB,
∴OB=OA,
同理OA=OC,
∴OA=OB=OC,
又∵△OBC的周长为26cm,BC=12cm,
∴OB+OC=26﹣12=14cm,
∴OB=OC=7cm,
∴OA=7cm.
【分析】根据角平分线的定义和四边形的内角和进行解答即可.
∵在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵BE平分∠B,DF平分∠D,
∴∠EBF+∠FDC=90°
∴∠DFC+∠FDC=90°
∴∠EBF=∠DFC,
∴BE∥DF.
(1)作AD的垂直平分线l,则l为△ABC与△DEF的对称轴;
(2)延长EB到E′使E′B=BE,延长FD到F′使DF′=DF,然后连接E′F′交BC于G,交CD与H,利用两点之间线段最短可证明此时四边形EFGH的周长最小.
(1)如图,直线l为所作;
(2)如图,四边形EFGH为所作.
(1)只要证明△ADE是等边三角形即可;
(2)①如图2,利用直角三角形30度角性质即可解决问题;
②过点D作DG∥AB交BC于点G,只要证明△CDG是等边三角形,△GDF≌△BEF(AAS)即可解决问题.
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠A=60°
又∵CD=BE,
∴AD=AE,
∴△ADE是等边三角形,
∴AD=DE;
(2)①如图2,∵DF⊥AC,
∴∠CDF=90°
∵∠C=60°
在Rt△CDF中,∠CFD=30°
∴BE=3,
而∠BFE=∠CFD=30°
,∠E=30°
∴BE=BF,
∴BF=3;
②如图3,过点D作DG∥AB,交CB于点G,
∴∠CGD=∠ABC=60°
,∠GDF=∠E,
∴△CDG是等边三角形,
∴CD=DG,
∴DG=BE,
在△GDF和△BEF中,
∴△GDF≌△BEF(AAS),
∴DF=EF.
(1)求出△BEA≌△AFC,推出EA=FC,BE=AF,即可得出答案;
(2)求出△BEA≌△AFC,推出EA=FC,BE=AF,即可得出答案;
(3)求出△BEA≌△AFC,推出EA=FC,BE=AF,即可得出答案.
【解答】
(1)证明:
∵BE⊥EA,CF⊥AF,
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°
∴∠EAB+∠CAF=90°
,∠EBA+∠EAB=90°
∴∠CAF=∠EBA,
在△ABE和△CAF中,
∴△BEA≌△AFC,
∴EA=FC,BE=AF,
∴EF=EA+AF=BE+CF.
(2)证明:
,∠ABE+∠EAB=90°
∴∠CAF=∠ABE,
在△ABE和△ACF中,
∵EF=AF﹣AE,
∴EF=BE﹣CF.
(3)EF=CF﹣BE,
理由是:
∴∠BAC=∠BEA=∠CFA=90°
∴EA=FC,BE=CF,
∵EF=EA﹣AF,
∴EF=CF﹣BE.
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