一线三等角专题训练_精品文档.doc
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一线三等角问题
一、问题引入
如图,中,,,过D作交BC延长线与E。
求证:
△ABC∽△CED
其他常见的一线三等角图形
(等腰三角形中底边上一线三等角)(等腰梯形中底边上一线三等角)
(直角坐标系中一线三等角)(矩形,正方形中一线三等角)
(1)等腰三角形中一线三等角
例1、如图,已知在△ABC中,AB=AC=6,BC=5,D是AB上一点,BD=2,E是BC上一动点,联结DE,并作,射线EF交线段AC于F.
(1)求证:
△DBE∽△ECF;
(2)当F是线段AC中点时,求线段BE的长;
(3)联结DF,如果△DEF与△DBE相似,求FC的长.
(备用图)
(1、本题中,第一问的结论是这类题共同的特性,只要等腰三角形底边上有三等角,必有三角形相似;
(2、第二问中根据相似求线段的长,也很常见;有时候会反过来问,线段的长是多少时,三角线相似。
变式练习1就是这类题型;
(3、第三问,中间的三角形与左右两个形似时,有两种情况,一种是DF与底边平行,一种是E为中点;
(4、在等腰梯形中,将腰延长会交于一点,也构成等腰三角形,故而以上三点,在等腰梯形中也适用。
变式练习1(浦东新区22题)
如图,已知等边△的边长为8,点、、分别在边、、上,,为中
点,当△与△相似时,求的值.
变式练习2(宝山22题)
如图6,已知Δ中,,点、在边上,满足∠=∠.求证:
;
(图6)
(2)等腰梯形中一线三等角
例2.(长宁区18题)如图,等腰梯形中,∥,,,∠,直角三角板含45度角的顶点在边上移动,一直角边始终经过点,斜边与交于点.若△为等腰三角形,则的长等于.
\
例3(徐汇区25).如图,在梯形中,∥,,.点为边的中点,以为顶点作,射线交腰于点,射线交腰于点,联结.
(1)求证:
△∽△;
(2)若△是以为腰的等腰三角形,求的长;
(3)若,求的长.
例4、(杨浦区基础考)四边形中,∥,,,.点为射线上动点(不与点、重合),点在直线上,且.记,,,.
(1)当点在线段上时,写出并证明与的数量关系;
(2)随着点的运动,
(1)中得到的关于与的数量关系,是否改变?
若认为不改变,请证明;若认为会改变,请求出不同于
(1)的数量关系,并指出相应的的取值范围;
(3)若cos=,试用的代数式表示.
(3)坐标系中一线三等角
例5.(金山区24)如图,住平面直角系中,直线:
分别交轴、轴于、两点,直线分别交轴、轴于、两点,是轴上的一点,,过作轴交于,连接,当动点在线段上运动(不与点点重合)且时
(1)求证:
∽;
(2)求线段的长(用的代数式表示);
(3)若直线的方程是,求的值.
变式练习3、在平面直角坐标系XOY中,的位置如图所示,已知,点A的坐标为
(1)求点B的坐标;
(2)若抛物线经过A、O、B三点,求函数解析式。
(4)矩形中一线三等角
例6、(长宁区24题).如图,在矩形中,,,点是射线上的一个动点,将三角板的直角顶点重合于点,三角板两直角中的一边始终经过点,另一直角边交射线于点.
(1)判断△与△一定相似吗?
请证明你的结论;
(2)设,,求与的函数关系式,并写出它的定义域;
(3)是否存在这样的点,是△周长等于△周长的2倍?
若存在,请求出的长度;若不存在,
请简要说明理由.
一线三等角与因动点产生的等腰三角形问题的综合题目
(徐汇24)如图,等腰梯形中,,=2,=8,.
的顶点在边上移动,一条边始终经过点,另一边与交于点,联接AF.
(1)设,试建立关于的函数关系式,并写出函数定义域;
(2)若为等腰三角形,求出的长.
备用图
(虹口期中24)梯形ABCD,AD∥BC,AB=CD=5,AD=3.5,sinB=,E在AB边上,BE=3,P是BC上动点,联结EP做∠EPF=∠B.射线PF与AD边交于F,与CD的延长线交于G,设BP=x,DF=y
(1)求BC的长。
(2)求y与x的函数关系式及其定义域。
(3)联结EF,如果△PEF是等腰三角形,求BP的长。
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