因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤Word文件下载.docx
- 文档编号:20959454
- 上传时间:2023-01-26
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:164.78KB
因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤Word文件下载.docx
《因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤Word文件下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤Word文件下载.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
解x+3x-40=x+3x+()-()-40=(x+)-()=(x++)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)
7、换元法有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。
例7、分解因式2x-x-6x-x+2
2x-X-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x=x[2(x+)-(x+)-6
令y=x+,x[2(x+)-(x+)-6=x[2(y-2)-y-6]=x(2y-y-10)=x(y+2)(2y-5)=x(x++2)(2x+-5)=(x+2x+1)(2x-5x+2)=(x+1)(2x-1)(x-2)
x,则多项式可因式分解
8、求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x,x,x,
令f(x)=2x+7x-2x-13x+6=0
通过综合除法可知,f(x)=0根为,-3,-2,1则2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、图象法
X,X,X
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点
x,则多项式可因式分解为f(x)=
f(x)=(x-x)(x-x)(x-X)(x-X)
例9、因式分解x+2x-5x-6
令y=x+2x-5x-6
作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2则x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、主元法先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。
例10、分解因式a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)
此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列解:
a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)二a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)=(b-c)[a-a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)
11、利用特殊值法将2或10代入X,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成X,即得因式分解式。
例11、分解因式X+9X+23X+15
令x=2,则X+9x+23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积,即105=3X5X7
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,
在x=2时的值则x+9x+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x-x-5x-6x-4
易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
设x-x-5x-6x-4=(x+ax+b)(x+cx+d)=x+(a+c)x+(ac+b+d)x+(ad+bc)x+bd
所以解得则x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)
多项式因式分解的一般步骤
2007-10-2813:
19
1如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
2如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;
3如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来
分解;
4分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止
(6)应用因式定理:
如果f(a)=0,则f(X)必含有因式(x-a)。
如f(X)=x^2+5x+6,f(-2)=0,则可确定(X+2)是x八2+5x+6的一个因式
另外,在多次多项式内,还可以用双十字相乘法,轮换对称法解决。
主要注意事项:
初学因式分解的“四个注意”因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册,在初二上学期讲授,但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。
学习它,既可以复习初一的整式四则运算,又为本册下一章分式打好基础;
学好它,既可以培养学生的观察、注意、运算能力,又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
其中四个注意,则必须引起师生的高度重视。
因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页,可用四句话概
括如下:
首项有负常提负,各项有“公”先提“公”,某项提出莫漏
1,括号里面分到“底”。
现举数例,说明如下,供参考。
例1把—a2-b2+2ab+4分解因式。
—a2-b2+2ab+4=—(a2-2ab+b2-4)=-(a—b+2)(a
-b-2)
这里的“负”,指“负号”。
如果多项式的第一项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的。
防止学生出现诸如-9x2+4y2
=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误?
膊荒芗汉啪拖取疤帷保匀饨蟹治觯?
/p>
如例2△abc的三边a、b、c有如下关系式:
—c2+a2+2ab—2bc
=0,求证这个三角形是等腰三角形。
此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
证明:
T—c2+a2+2ab—2bc=0,「.(a+c)(a—c)+2b(a—c)
=0,二(a—c)(a+2b+c)=0.
又Ta、b、c是^abc的三条边,二a+2b+c>
0,「.a—c=0
即a=c,△abc为等腰三角形。
例3把-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1分解因式。
-
这里的“公”指“公因式”。
如果多项式的各项含有公因式,那么先
1。
防
提取这个公因式,再进一步分解因式;
这里的“1”,是指多项式的
某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉止学生出现诸如6p(x—1)3—8p2(x—1)2+2p(1—x)2=2p(x—1)2〔3(x—1)—4p〕=2p(x—1)2(3x—4p—3)的错误。
例4在实数范围内把x4—5x2—6分解因式。
x4—5x2—6=(x2+1)(x2—6)=(x2+1)(x+6)(x—6)
这里的“底”,指分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
即分解到底,不能半途而废的意思。
其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
防止学生出现诸如4x4y2—5x2y2—9y2=y2(4x4—5x2—
9)=y2(x2+1)(4x2—9)的错误。
先看有无
由此看来,因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中,与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话:
公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适”是一脉相承的。
例题:
3ab+5b-22y2+35y-3a八2+b八2+ab+a+b+a+1
所有因式分解的破解法
20
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等.
⑴提公因式法
1公因式:
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的〜
2提公因式法:
一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
amT+bmT+cnn=m(a+b+c)
3具体方法:
当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;
字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的,一般要提出“—”号,使括号内的第一项的系数是正的.
⑵运用公式法
1平方差公式:
.a八2—b八2=(a+b)(a—b)
2完全平方公式:
a八2士2ab+b八2=(a士b)^2
※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积
③立方和公式:
a八3+b八3=(a+b)(a八2-ab+b八2).
立方差公式:
a八3-b八3=(a-b)(a八2+ab+b八2).
a八m+b八m=(a+b)[a八(m-1)-a八(m-2)b+-b八(m-2)a+b八(m-1)](m为奇数)
⑶分组分解法
分组分解法:
把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法
分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.
⑷拆项、补项法
拆项、补项法:
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解;
要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形
⑸十字相乘法
①X八2+(pq)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是:
二次项的系数是1;
常数项是两个数的积;
一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:
X八2+(pq)x+pq=(x+p)
x+q)
②kx八2+m好n型的式子的因式分解
如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么
kx八2+mx^n=(axb)(cxd)
a\——/bac=kbd=n
c/——\dad+bc=m
※多项式因式分解的一般步骤:
①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;
如f(X)=x^2+5x+6,f(-2)=0,则可确定(X+2)是x八2+5x+6的一个因式。
经典例题:
1.分解因式(1+yF2-2x八2(1+y八2)+x八4(1-yF2
原式
=(1+y)八2+2(1+y)x八2(1+y)+x八4(1-yF2-2(1+y)x八2(1-y)-2x八2(1+y八2)
二[(1+y)+x八2(1-y)F2-2(1+y)x八2(1-y)-2x八2(1+y八2)
二[(1+y)+x八2(1-y)F2-(2x)八2
二[(1+y)+x八2(1-y)+2x]-[(1+y)+x八2(1-y)-2x]
=(x八2-x八2y+2x+y+1)(x八2-x八2y-2x+y+1)
二[(x+1)八2-y(x八2-1)][(x-1)八2-y(x八2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
2.证明:
对于任何数x,y,下式的值都不会为33
X八5+3x八4y-5x八3y八2+4xy八4+12y八5
原式=(x八5+3x八4y)-(5x八3y八2+15X八2y八3)+(4xy八4+12y八5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x八4-5x八2y八2+4y八4)
=(x+3y)(x八2-4y八2)(x八2-y八2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
当y=0时,原式=xA5不等于33;
当y不等于0时,
x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因
数的积,所以原命题成立因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。
例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题)x-2x-x=x(x-2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。
7x-19x-6=(7x+2)(x-3)5、配方法
解x+3x-40=x+3x+()-()-40
=(x++)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法
2x-x-6x-x+2=2(x+1)-x(x+1)-6x=x[2(x+)-(x+)-6
通过综合除法可知,f(x)=0根为,-3,-2,1则2x+7x-2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、图像法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图像,找到函数图像与X轴的交点
令y=X+2X-5X-6
作出其图像,见右图,与X轴交点为-3,-1,2则x+2x-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列解:
a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)二a(b-c)-a(b-c)+(bc-cb)=(b-c)[a-a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)
令x=2,则X+9x+23x+15=8+36+46+15=105
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,
在x=2时的值则x+9x+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
所以解得则x-x-5x-6x-4=(x+x+1)(x-2x-4)
初学因式分解的“四个注意”因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册,在初
学期讲授,但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。
学习它,既可以复习初一的整式四则运算,又为本册下一章分式打好基础;
首项有负常提负,各项有“公”先提“公”,某项提出莫漏
例1把—a2-b2+2ab+4分解因式。
—a2—b2+2ab+4=—(a2—2ab+b2—4)=—(a—b+2)(a
—b—2)
防止学生出现诸如—9x2+4y2
=(—3x)2—(2y)2=(—3x+2y)(—3x—2y)=(3x—2y)(3x+2y)的错误?
.—c2+a2+2ab—2bc=0,.•(a+c)(a—c)+2b(a—c)
=0,.(a—c)(a+2b+c)=0.
又Ta、b、c是^abc的三条边,••a+2b+c>
0,•a—c=0
例3把-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1分解因式。
-
12x2nyn+18xn+2yn+1—6xnyn—1=-6xnyn—1(2xny—3x2y2+1)
1。
这里的“底”,指分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
9)=y2(x2+1)(4x2—9)的错误。
“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适”是脉相承的。
参考资料:
zhidao~~~
因式分解
因式分解(factorizati
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 因式分解 十二 方法 多项式 一般 步骤