精选浅谈排列组合中的分组问题Word下载.docx
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完成一件事有两类不同方案,在第一类中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
分步乘法计数原理:
完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×
n种不同的方法。
①分类法:
问题分成互斥各类,根据加法原理,可用分类法;
②位置法:
问题考虑先后次序,根据乘法原理,可用位置法;
③问题反面简单明了,可用排除法.
④转化法:
复杂排列用转化法,选取后排,转化为组合问题,利用转化公式Pmn=Cmn·
pmn;
⑤粘合法:
某些元素必须在一起的紧密排列用“粘合法”,紧密结合的粘成小组,组内外分别排列;
⑥某些元素必须不在一起的分离排列用间隔法,无需分离的站好实位,在空位上进行排列。
例1.有6本不同的书
⑴甲乙丙3人每人2本,有多少种不同的分法?
⑵分成3堆,每堆2本,有多少种不同的分法?
⑶分成3堆,一堆1本,一堆2本,一堆3本,有多少种不同的分法?
⑷分给甲乙丙3人,一人1本,一人2本,一人3本,有多少种不同的分法?
⑸分成3堆,有两堆各1本,另外一堆4本,有多少种不同的分法?
解析:
对于问题⑴,首先从6本不同的书选出2本来给甲,选出的2本之间无顺序,为C62,其次,从剩下的4本书中选出2本书来给乙,为C42,最后剩下的2本给丙,为C22,整个解题过程应用的是分步计数原理,所以最终的分法数为C62C42C22。
对于问题⑵,与问题⑴的相同在于都是均匀分组,差别仅仅在于,一个是分给3人,一个是分成3堆,即分成的3组之间,一个是有顺序的,一个是没有顺序的,所以问题⑵的解决可以在问题⑴解决的基础上对3组进行消序,即C62C42C22/A33
对于问题⑶,解决方法与问题⑴一样,用分步计数原理,先从6本不同的书中选出1本来,再从剩下的5本书中选出2本来,最后剩下的3本作为一堆,最终的分法数为C61C52C33
对于问题(4),分析题目,可见问题(4)与问题(3)的相同在于都是不均匀分组,差别在于问题(3)是分成3堆,即分成的3堆无顺序,问题(4)是分给3人,即分成的3组有序,所以问题(4)的解决可以在问题(3)的基础上,对3组进行排序,即C61C52C33·
A33
对于问题(5),这是局部均匀无序的分组分配问题,需要在对局部均匀的组进行消序即可,消序后各组之间按无序对待。
所以在之分的基础上,再对均匀的两组进行消序即可,具体解法:
(C61C51/A22)C44
例2求不同坐法的种数
(1)6男2女坐成一排,2女不得相邻;
(2)4男4女坐成一排,男女均不得相邻。
解:
(1)N1=P88-P77P22(种)
解题思路:
用粘合法结合排除法来解,先紧密排列,2女粘成一组,与6男共成七组,组内排列为P22,组外排列为P77,得2女相邻的坐法为P77P22种,再从总体P88种排除,便得到2女不得相邻的坐法的种数。
还有另一种更简单的方法,2女不得相邻,也就是必须分开,意味着题意本身就是分离排列,自然可用间隔法——6男先坐实位,再在七个空位中排列2女,即N1=P66P72(种)
总结解题方法:
解决分离排列的问题可以用粘合法结合排除法,也可直接用间隔法。
(学生容易得出这样的结论)
为了澄清学生的模糊认识,可适当的将问题变化一下,例2
(1)改为“5男3女坐成一排,3女都不得相邻”问两种答案
P88-P66P33与P55P63都对吗?
P88-P66P33=36000,P55P63=14400
前一答案用排除法,排除了都相邻,得到的是“3女不都相邻”的坐法,其中自然包括了2女相邻的情形,因此把题意理解错误了,把不符合条件的种数也算进去了,导致失误;
而间隔法在6个空位中排了3女,保证了3女都不相邻,题意理解正确,答案显然对。
解决分离排列的问题应该用间隔法,既直接又不易出错。
题目要求3女都不得相邻,而P88-P66P33=36000,这一解法仅仅排除了3女都相邻,“都相邻”并不是“都不相邻”的反面,“都不相邻”的反面除了“都相邻”之外,还有“两个相邻,另一个不相邻”。
计算“两个相邻,另一个不相邻”有多少种排法?
首先是哪两个相邻,这是组合问题,显然C32=3
然后把这两人粘合,再用间隔法,有C32P55P62P22=3×
120×
30×
2=21600
因此,如果在粘合法结合排除法的基础上,继续做下去,仍能得出正确结果:
(P88-P66P33)-C32P55P62P22=36000-21600=14400
(2)常见的错误解答:
用间隔法,N2=P54P54(种)
这样排法,女的不相邻,男的就不一定不相邻。
男不得相邻,女也不得相邻,必须男女都坐好,即男的坐奇数位,女的坐偶数位,或者对调,正确的坐法种数为N2=2P44P4=1152(种)
例3直线与圆相离,直线上六点A1、A2、A3、A4、A5、A6,圆上四点B1、B2、B3、B4,任两点连成直线,问所得直线最多几条?
最少几条?
⑴所成直线可分为两类:
已知直线上与圆上各取一点或圆上取两点,得到直线最多条数N1=C61C41+C42(条)
再加一条已知直线:
N1=C61C41+C42+1(条)
⑵所成直线条数最少时,重合的直线最多,需用排除法减去重合的直线条数。
因此时由已知直线上与圆上各取一点连成的直线已经有重复。
而重复的直线,即是由圆上取两点连成的直线(如图),排列重复,便得直线最少条数N2=C61C41-C42+1(条)
(例4涉及排列组合最值问题,要化繁为简)
二、从应用题的条件上看,可分为没有限制条件问题和有限制条件问题。
(1)若是没有限制条件的排列或组合问题,可直接根据有关公式求得结果。
(2)若是有限制条件的排列组合问题,一般都是对某个(些)元素的位置加以限制,被限制的元素,称为特殊元素,被限制的位置称为特殊位置,解决这类问题通常有以下三种方法:
①以元素为主,即先满足对特殊元素的要求,再考虑其它元素(元素分析法)
②以位置为主,即先满足对特殊位置的要求,再考虑其它位置(位置分析法)
③先不考虑限制条件,计算出排列数或组合数后,再减去不合要求的排列数或组合数。
例4
(1)某人去四个单位做报告,每个单位只讲一次,有多少种不同的轮讲方法?
此题要分清n与m的值分别是多少:
某人去四个单位做报告,实质上就是4个单位做报告的顺序,四个单位都要讲,就是四个单位排顺序,所以n=4,m=4,是全排列问题,所以A44=4×
3×
2×
1=24(种)
(2)某铁路段上有10个火车站,问这10个车站要准备多少种不同的普通客车票?
每张客车票上印有两个站,这两个站是着铁路上的10个站中的任2个,所以火车票是10个站中任取2个站(n=10.m=2)又因火车票上的两个站,一个站是起点站,另一个站是终点站,而起点站,终点站互换以后是两张不同的火车票,所以这个问题是从10个站中任意选2个站得排列问题,所以A102=10×
9=90(种)
(3)3本不同的书,5名同学去借,每人最多只能借一本,并且全部借完,那么有多少种不同借法?
这个问题可以换个说法:
5名同学去借3本不同的书,就是5名同学只有3人借到,也就是5人种选出3人去拿3本不同的书,所以n=5,m=3是排列问题,所以A53=5×
4×
3=60(种)
以上三道题,主要分清n与m的值
例5
(1)从1,2,3,4,5五个数中,任意取出3个数字,问可以组成多少个没有重复数字的三位数?
此题是取出数字后要组成三位数,显然是排列问题,所以A53=5×
3=60(个)
(2)某小组共有8人,现在要选出2人去参加某个会议,有多少种不同的选法?
从8人种选出2人企业参加会议,是组合问题,所以C82=8!
/2!
6!
=28(种)
例6
(1)从0,1,2,3,4,5中任意选出4个数字,可以组成多少个没有重复数字的四位数
0,1,2,3,4,5六个数字中0不能放在最高位,即0不能是千位数字,所以0是特殊元素,最高位(千位)是特殊位置,因此要先满足特殊位置,也就是千位数的位置,只能由1,2,3,4,5中德任意一个数字来占,有A51种,其余三个位置,由其它5个数字来占,有A53种,因为是分两步进行,所以用乘法,即A51·
A53=300(个)
(2)从1,2,3,4,5中任意选出4个数字,可以组成多少个没有重复数字的四位奇数
此题要求是四位奇数,也就是个位数的位置上的数是奇数数字,所以个位的位置是特殊位置,1,3,5是特殊元素,所以先满足特殊位置,也就是个位的位置由1,3,5中的一个来占,有A31种不同选法,再满足其它三个位置,5个数字中个位占了一个,还有4个数字,4个数字中任选3个去占其它三个位置,有A43种不同方法,因为是分两步进行的,所以两步的种数做乘法,即A31·
A43=72(个)
(3)有5种不同品牌的电视机,摆成一排展销,其中
(ⅰ)甲种品牌电视机要摆放在正中间,问有多少种不同的摆放方法?
(ⅱ)若甲种品牌电视机只能摆在两端,有多少种不同的摆放方法?
(ⅰ)此题是有限制条件的问题,也就是甲种品牌电视机要求摆放在正中间,所以甲种品牌电视机为特殊元素,正中间位置为特殊位置,所以先满足特殊位置,特殊元素,即把甲种品牌电视机先放在正中间,再满足其它四个位置,所以A44=4×
(ⅱ)甲种品牌电视机是特殊元素,首末两个位置是特殊元素,先满足一端,先把甲种品牌电视机放在第一个位置,则有A44种不同摆法,如果甲种品牌电视机放在最后一个位置上,则有A44种不同摆法,因为把甲种电视机放在第一个位置和最后一个位置是两类方法,所以2A44=48种
例7从6名运动员中选出4人参加4×
100米的接力赛,其中甲冲刺技术好,规定他跑最后一棒,乙,丙起跑技术不过硬,规定乙丙不跑第一棒,问有多少种不同的选法?
因为规定甲跑最后一棒,所以从其余5人中选3人跑其它三棒,又乙丙不跑第一棒,所以第一棒由除去甲乙丙以外的3人中选1人,还有第2,3棒,则由其余4人(除去甲,除去跑第一棒的队员)中任选2人,所以A31·
A42=3×
3=36(种)
三、方法补充
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略。
(1)元素相同问题隔板策略(名额分配或相同物品的分配问题,适宜采用隔板法)
例8有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案?
解:
因为10个名额没有差别,把它们排成一排。
相邻名额之间形成9个空隙。
在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有C96种分法。
将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为Cn-1m-1
(2)合并单元格解决染色问题
例9如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有种
分析:
颜色相同的区域可能是2、3、4、5.
下面分情况讨论:
(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时,将2、4合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于4个元素1,3,5,24的全排列数A44
(ⅱ)当2、4颜色不同且3、5颜色相同时,与情形(ⅰ)类似同理可得A44
种着色法.
(ⅲ)当2、4与3、5分别同色时,将2、4;
3、5分别合并,这样仅有三个单元格.从4种颜色中选3种来着色这三个单元格,计有C43A33种方法.
由加法原理知:
不同着色方法共有2A44+C43A33=48+24=72(种)
(3)递推法
例10一楼梯共10级,如果规定每次只能跨上一级或两级,要走上这10级楼梯,共有多少种不同的走法?
设上n级楼梯的走法为an种,易知a1=1,a2=2,当n≥2时,上n级楼梯的走法可分两类:
第一类:
是最后一步跨一级,有an-1种走法,第二类是最后一步跨两级,有an-2种走法,由加法原理知:
an=an-1+an-2,据此,a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。
(4)几何问题
例11
(1)四面体的一个顶点为A,从其它顶点与各棱中点取3个点,使它们和点A在同一平面上,不同的取法有3C53+3=33种.
(2)四面体的棱中点和顶点共10个
从中任取3个点确定一个平面,共能确定多少个平面?
C103-4C63+4-3-6C43+6+2×
6=29(个)
(5)用转换法解排列组合问题
例12某人连续射击8次有四次命中,其中有三次连续命中,按“中”与“不中”报告结果,不同的结果有多少种?
把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球,其中只有三个黑球相邻的排列问题即A52=20种
(6)概率法
例13一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课,如果数学必须排在体育之前,那么该天的课程表有多少种排法?
在六节课的排列总数中,体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等,均为1/2,故本例所求的排法种数就是所有排法的1/2,即1/2·
A66=360种.
(7)除序法
例19用1,2,3,4,5,6,7这七个数字组成没有重复数字的七位数中,
(1)若偶数2,4,6次序一定,有多少个?
(2)若偶数2,4,6次序一定,奇数1,3,5,7的次序也一定的有多少个?
(1)
(2)
(8)错位排列
例14同室四人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的卡片,则不同的分配方法有9种.
运用公式
(1)
=n!
(1-
+
-
+…+
当n=4时a4=3(a3+a2)=9种,即三个人有两种错排,两个人有一种错排.
(9)重排问题求幂策略
例15把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:
完成此事共分六步:
把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有
种不同的排法。
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为mn种
(10)环排问题线排策略
例168人围桌而坐,共有多少种坐法?
围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人A44,并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(8-1)!
种排法即7!
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!
种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1/n·
Amn种。
(11)合理分类与分步策略
例17在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
10演员中有5人只会唱歌,2人只会跳舞3人为全能演员。
以选上唱歌人员为标准进行研究。
⑴只会唱的5人中,没有人选上唱歌人员共有C32C22种;
⑵只会唱的5人中,只有1人选上唱歌人员有C51C31C42种,只会唱的5人中,只有2人选上唱歌人员有C51C31C42种,由分类计数原理共有C32C22+C51C31C42+C51C31C42种。
解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做到标准明确。
分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
(12)构造模型策略
例18马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种?
把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有C53种.
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决.
(13)实际操作穷举策略
例19设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法?
从5个球中取出2个球与盒子对号有C52种取法,还剩下3球3盒序号不能对应,利用实际操作法,如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒,3号球装4号盒时,则4,5号球有只有1种装法,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2C52种.
3号盒4号盒5号盒
对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果
(14)多排问题直排策略
例208人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法?
8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.前排前4个位置上的特殊元素甲乙有A42种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有A41种,其余的5人在5个位置上任意排列有A55种,则共有种A42A41A55种。
(这是多排问题直排策略法,一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究。
)
四、总结
排列组合历来是学习中的难点,排列组合题的特点是条件隐晦,不易挖掘,题目多变,解法独特,数字庞大,难以验证。
只有对基本的解题策略熟练掌握,根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化,举一反三,触类旁通,进而为后续学习打下坚实的基础。
参考文献:
[1]陈守礼,《名师授课录》,中学数学高中版,上海教育出版社,1989年9月17号,219至225页。
[2]裘新华,《全国高类成人高等学校招生考试统考教材》,数学理科,北京邮电大学出版社,2003年,297至300页。
[3]高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法,
[4]排列组合方法技巧总汇,
[5]排列组合解题技巧,
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