关系和有向图RelationsandDigraphsWord文档下载推荐.docx
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例3.P=IA∪{(1,2),(1,3),(1,4),(2,4)},P是A上整除关系。
由关系派生的集合SetsArisingfromRelations
定义域Dom(R)domainofR
关系RAB
Dom(R)={x|yB,(x,y)R}
Dom(IA)=A,Dom(Q)=A-{4},Dom(P)=A。
值域Ran(R)rangeofR
Ran(R)={yB|xA,(x,y)R}.
Ran(IA)=A,Ran(A)={2,3,4},Ran(P)={1,2,3,4}。
A1的像集R(A1),x的像集R(x)
关系RAB,A1A.
R(A1)={yB|xA1,(x,y)R},A1的像集,theR-relativesetofA1.
R(x)={yB|(x,y)R},x的像集。
定理1.
关系RAB,A1A,A2A,
(a)IfA1A2,thenR(A1)R(A2).
(b)R(A1∪A2)R(A1)∪R(A2).
(c)R(A1∩A2)R(A1)∩R(A2).
定理2.关系RAB,SAB.如果aA,R(a)=S(a),则R=S.
关系矩阵MRTheMatrixofaRelation
关系RAB,关系R的矩阵MR=[mij],
关系图TheDigraphofaRelation
关系RAA,
G=(V,E),定点集合V=A,边集合E=R。
A={1,2,3,4}
R={(1,1),(1,2),(2,1),
(2,2),(2,3),(2,4),
(3,4),(4,1)}
由关系确定矩阵和图
由矩阵确定关系
由图确定关系
Homework
P114-11518,22,24,28
4.3关系和图的路径PathsinRelationsandDigraphs
长度为n的路径apathoflengthn
从a到b有长度为n的路径π:
aRx1,x1Rx2,……,xn-1Rb,
记做π:
a,x1,x2,……,xn-1,b.
Rn具有长度为n的路径的关系
关联关系R∞connectivityrelationforR
MR2=MRMR
MRn=MRMRMR……MR
MR=MRMR2MR3……
可达矩阵MR*=InMRMR2MR3……
两条路径的连接
π1:
a1,a2,…,an,
π2:
b1,b2,…,bm,
b1=an
π1◦π2:
a1,a2,…,an,b2,…,bm,
4.4关系的性质PropertiesofRelations
自反和反自反关系ReflexiveandIrreflexiveRelations
自反关系ReflexiveRelations
关系RAA,aA,(a,a)R
IA,P是自反关系。
反自反关系IrreflexiveRelations
Q是反自反关系。
对称Symmetric,不对称asymmetric,反对称antisymmetricRelations关系
对称Symmetric,
(a,b)∈R(b,a)∈R
不对称asymmetric,
(a,b)∈R(b,a)R
反对称antisymmetric
(a,b)∈R∧(b,a)∈Ra=b
传递Transitive
(a,b)∈R∧(b,c)∈R(a,c)∈R.
大于等于,小于等于,恒等,整除关系都是传递关系。
定理1.关系R是传递的当且仅当RnR,即如果a,b有长度大于1的边则有长度为1的边。
定理2.R是A上关系,则
(a)R自反则aA,a∈R(a).
(b)R对称则a∈R(b)iffb∈R(a)
(c)R传递则b∈R(a),c∈R(b)c∈R(a).
偏序关系PartialOrder
1.自反Reflexive
aA,(a,a)R
2.反对称antisymmetric
3.传递Transitive
大于等于,小于等于,恒等,整除关系都是偏序关系。
(A,)集合对于是偏序。
树是偏序。
全序关系,线性序关系linearorder
偏序1.2.3.+
4.a,bA,(a,b)R∨(b,a)∈R.
大于等于,小于等于是全序,整除,(A,)不是。
严格序strictorder
1.反自反irreflexive
2.传递transitive
严格线性序strictlinearorder
严格序+
4’.a,bA,(a,b)R∨a=b∨(b,a)∈R.
大于,小于都是严格线性序。
4.5等价关系EquivalenceRelations
等价关系R是A上关系,满足:
1.自反
2.对称
3.传递
恒等IA是等价关系
三角形全等,三角形相似是等价关系
集合基数相等是等价关系
Z上同余关系是等价关系
n∈Z+,a,b∈Z,
a≡b(n)iffn|(a-b),或a%n=b%n
等价关系与划分
定理1.
设P是集合A的一个划分,定义A上关系R:
aRb当且仅当a,b属于P的同一分块
则R是等价关系。
引理1
设R是A上等价关系,则aRb当且仅当R(a)=R(b)
证明
设R(a)=R(b),则b∈R(a),因此aRb
反之
cA,设c∈R(a),则aRc,由对称性,cRa.由aRb,传递性有cRb.因此c∈R(b).于是R(a)R(b).
同理有R(b)R(a).
从而R(a)=R(b)。
引理2
设R是A上等价关系,则R(a)∩R(b)≠当且仅当R(a)=R(b)
存在c∈R(a)∩R(b),aRc,cRb.由传递性aRb,由引理1R(a)=R(b)。
定理2
设R是A上等价关系,P={R(x)|x∈A},则P是A的一个划分。
且划分P确定的等价关系是R.
证明.
aA,a∈R(a),A=∪P=
R(a),
由引理1,2,R(a)∩R(b)=或R(a)=R(b)。
因此P是A的一个划分。
a,b属于P的同一分块,a,b∈R(x),则aRb.P确定的等价关系就是R.称R(a)为a的等价类。
也用[a]表示。
划分P也记作A/R,
Z关于n的同余关系的划分记作Zn=Z/(n)={[0],[1],…,[n-1]}={0,1,2,……,n-1}.
[a]+[b]=[a+b],[a]×
[b]=[a×
b].
4.6关系和图的计算机表示ComputerRepresentationofRelationsandDigraphs
4.7关系的运算OperationsonRelations
设R和S都是A到B的关系,R,SA×
B.R∩S,R∪S,
都是A到B的关系。
1.关系的交
(a,b)∈R∩Siff(a,b)∈R且(a,b)∈S
2.关系的并
(a,b)∈R∪Siff(a,b)∈R或(a,b)∈S
3关系的补complementaryrelation
=A×
B-R,(a,b)∈
iff(a,b)
R.
4.关系的逆inverserelation
R-1A×
B,(a,b)∈R-1iff(b,a)∈R.
(R-1)-1=R
Dom(R-1)=Ran(R),
Ran(R-1)=Dom(R).
<
-1=>
-1=.
=.
∩得到?
.
∪?
关系运算相应的图矩阵
定理1
B.
(a)RSR-1S-1
(b)RS
(c)(R∩S)-1=R-1∩S-1
(R∪S)-1=R-1∪S-1
(d)
定理2.
设R和S都是A上关系,R,SA×
A.
(a)R自反R-1自反。
(b)R和S自反R∩S,R∪S自反。
(c)R自反
反自反。
定理3
设R是A上关系,RA×
(a)R对称R=R-1
(b)R反对称R∩R-1IA.
(c)R不对称R∩R-1.
定理4
(a)R对称R-1,
对称。
(b)R,S对称R∩S,R∪S对称。
定理5
(a)(R∩S)2R2∩S2.
(b)R,S传递R∩S传递。
(c)R,S是等价关系R∩S是等价关系。
A/(R∩S)是A/R,A/S两个划分的交。
5.闭包closure
R的自反闭包r(R),是A上最小的一个关系R1,RR1,R1自反。
R的对称闭包s(R),是A上最小的一个关系R1,RR1,R1对称。
R的传递闭包tr(R),是A上最小的一个关系R1,RR1,R1传递。
r(R)=R∪IA,s(R)=R∪R-1,tr(R)=R.
6.关系的复合composition
设R是集合A到B的关系,S是集合B到C的关系。
R和S的复合,记做S◦R,是A到C上的关系:
(ac)∈S◦R:
存在b∈B,(a,b)∈R,(b,c)∈S.
a(S◦R)c:
b∈B,aRb,bSc
定理6.
设R是集合A到B的关系,S是集合B到C的关系,A1A。
(S◦R)(A1)=S(R(A1)).
MS◦R=MRMS.
定理7.
设R是集合A到B的关系,S是集合B到C的关系,T是集合C到D的关系,则
T◦(S◦R)=(T◦S)◦R.
定理8
(S◦R)-1=R-1◦S-1
4.8传递闭包和Warshall算法TransitiveClosureandWarshall’sAlgorithm
定理1.设R是A上关系,则tr(R)=R∞.
RR∞
R∞传递。
设RS,S传递,则R∞S.
RnSnS.
例1.A={1,2,3,4},
R={(1,2),(2,3),(3,4),(2,1)}
求tr(R).
解tr(R)=R∞.
1.作图法。
2.矩阵MR∞=MR∨MR2∨MR3。
定理2.设|A|=n,RA×
A.则R∞=R∪R2∪……∪Rn.MR∞=MR∨MR2∨……∨MRn.
tr(R)=R∞=R∪R2∪…∪Rn∪….
图R∞中,(a,b)∈R∞,有路径a,x1,x2,……,xm,b,如有重复顶点xi,xj,有环,可去掉。
于是可假设路径a,x1,x2,……,xm,b中没有重复顶点,长度至多n,因此(a,b)∈Rk,k≤n。
Warshall算法
计算关系R的传递闭包的算法。
设A={a1,a2,……,an},R是A上关系。
定义矩阵WK=[tij]如下:
tij=1当且仅当从ai到aj有一条路径,经过的顶点在{a1,a2,…,ak}之中。
W0=MR.Wn=MR∞.
设已有Wk-1=[sij],计算WK=[tij]:
tij=1
当且仅当
(1)sij=1//ai到aj有路径中间点在{a1,a2,…,ak-1}之中。
或
(2)sik=1且skj=1.//ai到aj有路径经过ak,其余中间
点在{a1,a2,…,ak-1}之中。
Wk-1的元素a1k乘ak1加到a11
元素a1k乘ak2加到a12
……
元素a1k乘akn加到a1n
元素a2k乘ak1加到a21
元素a2k乘ak2加到a22
元素a2k乘akn加到a2n
元素ank乘ak1加到an1
元素ank乘ak2加到an2
元素ank乘akn加到ann
Wk-1第k列的元素遍乘第k行的元素加到矩阵Wk-1
AlgorithmWarshall
1.Closure←Mat
2.ForK=1ThroN
a.ForI=1ThroN
1.ForJ=1ThroN
a.Closure[I,J]←Closure[I,J]∨Closure[I,K]∧Closure[K,J]。
EndofAlgorithmWarshall
例2.W0=MR=
k=1,第1列的元素遍乘第1行的元素加到W0W1=
k=2,第2列的元素遍乘第2行的元素加到W1W2=
k=3,第3列的元素遍乘第3行的元素加到W2W3=
k=4,第4列的元素遍乘第4行的元素
加到W3,第4行的元素全0。
W4=W3
MR∞=W3.
定理3.设R和S都是A上等价关系,则包含R和S的最小的关系是(R∪S)∞
自反性
IAR,IASIAR∪S(R∪S)∞,
对称性
R-1=R,S-1=S(R∪S)-1=R-1∪S-1=R∪S(R∪S)∞也对称。
传递性.
(R∪S)∞是R∪S的传递闭包。
最小性
例3.
A={1,2,3,4,5},R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(5,5)},
S={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,4),(4,5),(5,5)}
求A/R,A/S,包含R和S的最小的等价关系。
解.
A/R={1,2}∪{3,4}∪{5}
A/S={1}∪{2}∪{3}∪{4,5}
R∪S={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(3,4),(4,3,),(4,4),(5,4),(4,5),(5,5)}
MR∪S=
W0=MR∪S
W1=W2=W3=W0,W4=
W5=W4
A/(R∪S)∞={1,2}∪{3,4,5}
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