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动量和冲量

第十七讲:

动量守恒

《动量守恒》练习题

第十八讲:

碰撞

《碰撞》专题练习题

第十九讲：

动量和能量

《动量与能量》专题练习题

第二十讲：

机械振动

《机械振动》专题练习

第二十一：

讲机械波

第二十二讲：

驻波和多普勒效应

　力学中的三种力

【知识要点】

（一）重力

重力大小Ｇ=mg，方向竖直向下。

一般来说,重力是万有引力的一个分力,静止在地球表面的物体，其万有引力的另一个分力充当物体随地球自转的向心力,但向心力极小。

（二）当物体在外力作用下发生形变时，其内部产生的反抗外力作用而企图恢复形变的力叫弹力。

胡克弹力的大小由Ｆ＝k△x确定。

（三）摩擦力

1、摩擦力

一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力叫摩擦力。

方向沿接触面的切线且阻碍物体间相对运动或相对运动趋势。

2、滑动摩擦力的大小由公式f=μＮ计算。

3、静摩擦力的大小是可变化的,无特定计算式，一般根据物体运动性质和受力情况分析求解。

其大小范围在0<

ｆ≤fm之间,式中ｆm为最大静摩擦力,其值为ｆm=μsN,这里μs为最大静摩擦因数，一般情况下μｓ略大于μ，在没有特别指明的情况下可以认为μs=μ。

4、摩擦角

将摩擦力f和接触面对物体的正压力N合成一个力F，合力F称为全反力。

在滑动摩擦情况下定义tgφ=μ=f／Ｎ，则角φ为滑动摩擦角;

在静摩擦力达到临界状态时,定义ｔgφ0=μs=fｍ／Ｎ,则称φ0为静摩擦角。

由于静摩擦力f０属于范围0<

f≤fｍ，故接触面作用于物体的全反力

同接触面法线的夹角

≤φ０，这就是判断物体不发生滑动的条件。

换句话说，只要全反力

的作用线落在（0,φ0）范围时，无穷大的力也不能推动木块，这种现象称为自锁。

本节主要内容是力学中常见三种力的性质。

在竞赛中以弹力和摩擦力尤为重要,且易出错。

弹力和摩擦力都是被动力，其大小和方向是不确定的,总是随物体运动性质变化而变化。

弹力中特别注意轻绳、轻杆及胡克弹力特点;

摩擦力方向总是与物体发生相对运动或相对运动趋势方向相反。

另外很重要的一点是关于摩擦角的概念，及由摩擦角表述的物体平衡条件在竞赛中应用很多，充分利用摩擦角及几何知识的关系是处理有摩擦力存在平衡问题的一种典型方法。

【例题1】如图所示,一质量为m的小木块静止在滑动摩擦因数为μ＝

的水平面上,用一个与水平方向成θ角度的力F拉着小木块做匀速直线运动,当θ角为多大时力Ｆ最小?

【例题2】如图所示,有四块相同的滑块叠放起来置于水平桌面上,通过细绳和定滑轮相互联接起来.如果所有的接触面间的摩擦系数均为μ,每一滑块的质量均为m，不计滑轮的摩擦．那么要拉动最上面一块滑块至少需要多大的水平拉力?

如果有n块这样的滑块叠放起来，那么要拉动最上面的滑块,至少需多大的拉力？

【例题3】如图所示,一质量为m＝1㎏的小物块Ｐ静止在倾角为θ=30°

的斜面上，用平行于斜面底边的力F＝5N推小物块，使小物块恰好在斜面上匀速运动,试求小物块与斜面间的滑动摩擦因数（ｇ取１0ｍ/ｓ2）。

【练习】

1、如图所示,C是水平地面，Ａ、B是两个长方形物块,F是作用在物块B上沿水平方向的力,物块Ａ和B以相同的速度作匀速直线运动，由此可知，A、Ｂ间的滑动摩擦因数μ１和Ｂ、Ｃ间滑动摩擦因数μ2有可能是：

（　）

A、μ1=０,μ２=0;

　B、μ1＝0，μ2≠0;

C、μ1≠0,μ2＝0;

　D、μ1≠0,μ2≠0;

2、如图所示，水平面上固定着带孔的两个挡板,一平板穿过挡板的孔匀速向右运动,槽中间有一木块置于平板上，质量为m,已知木板左、右两侧面光滑，底面与平板之间摩擦因数为μ0，当用力F沿槽方向匀速拉动物体时,拉力F与摩擦力μmg大小关系是（　）

A、Ｆ＞μmg　　B、F=μmg　Ｃ、F<

μｍg　　　D、无法确定

3、每根橡皮条长均为l=3m,劲度系数为k=100Ｎ/m,现将三根橡皮条首尾相连成如图所示的正三角形,并用同样大小的对称力拉它，现欲使橡皮条所围成的面积增大一倍,则拉力F应为多大?

4、两本书A、B交叉叠放在一起，放在光滑水平桌面上,设每页书的质量为5克，两本书均为２0０页，纸与纸之间的摩擦因数为０.3,A固定不动,用水平力把B抽出来,求水平力F的最小值。

5、（９0国际奥赛题）（哥伦比亚）一个弹簧垫，如图所示,由成对的弹簧组成。

所有的弹簧具有相同的劲度系数10N/m,一个重为100N的重物置于垫上致使该垫的表面位置下降了10cm,此弹簧垫共有多少根弹簧?

（假设当重物放上后所有的弹簧均压缩相同的长度）。

第二讲:

（一）力的运算法则

１、力的平行四边形定则:

是所有矢量合成与分解所遵循的法则。

2、力的三角形定则:

两个矢量相加将两个力首尾相连,连接剩余的两个端点的线段表示合力的大小，合力的方向由第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端（如图１-１-1所示）；

两个矢量相减,将这两个力的始端平移在一起，连接剩余的两个端点的线段即为这两个力的差矢量的大小，差矢量的方向指向被减矢量（如图1-１-2所示）。

（二）平行力的合成与分解

同向平行力的合成：

两个平行力FA和FB相距AＢ，则合力ΣＦ的大小为FA+FB，作用点C满足FA×

ＡC＝FB×

BＣ的关系。

反向平行力的合成：

两个大小不同的反向平行力ＦA和FB（ＦA>

FＢ）相距ＡB,则合力ΣＦ的大小为FA－ＦＢ同向，作用点C满足FA×

AC=FB×

BC的关系。

（三）共点力作用下物体平衡条件：

这些力的合力为零,即ΣF＝０。

（四）三力汇交原理

若一个物体受三个非平行力作用而处于平衡状态，则这三个力必为共点力。

（五）受力分析

1、受力分析的地位：

物体的受力分析是高中物理中一个至关重要的知识，它贯穿高中物理的全过程，是学好力学知识的基础。

２、受力分析的顺序:

一重二弹三摩擦（四其它）,要防多画、少画、错画。

　　3、受力分析时常用方法：

整体法、隔离法、假设法。

　4、受力分析时常用的计算工具：

平行四边形定则、正交分解法、二力平衡、作用力与反作用力定律。

本节内容重点是充分运用共点力平衡条件及推论分析和计算处于平衡态下物体受力问题,竞赛中还应掌握如下内容和方法:

①力的矢量三角形法:

物体受三个共点力作用而平衡时，这三力线相交,构成首尾相连封闭的三角形,问题化为解三角形,从而使问题得以简化;

②摩擦平衡问题,由临界状态寻求突破口;

③竞赛中物体受力由一维向二维或三维拓展，空间力系平衡问题转化为平面力系平衡问题求解。

【例题１】如右图所示，匀质球质量为Ｍ、半径为Ｒ；

匀质棒B质量为m、长度为l。

求它的重心。

【解】第一种方法是:

将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方法找出重心C。

C在AＢ连线上,且AC·

M＝BＣ·

m;

第二种方法是:

将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一个质量为-M的球

的合成，用反向平行力合成的方法找出重心Ｃ,C在AB连线上,且BC·

（2M+m）=

·

M。

不难看出两种方法的结果都是

。

【例题2】如图所示,一轻绳跨过两个等高的轻定滑轮（不计大小和摩擦）,两端分别挂上质量为m1=4kg和m２=2ｋg的物体，如图,在滑轮间绳上悬挂物体ｍ为了使三个物体能保持平衡，则m的取值范围多大?

【例题3】如图所示,直角斜槽间夹角为90°

，对水平面的夹角为θ，一横截面为正方形的物块恰能沿此槽匀速下滑。

假定两槽面的材料和表面情况相同,试求物块与槽面间的滑动摩擦因数μ多大?

【例题4】如图所示,三个相同的光滑圆柱体，半径为ｒ,推放在光滑圆柱面内,试求下面两个圆柱体不致分开时，圆柱面的半径R应满足的条件。

1、如图所示，长为Ｌ＝5ｍ的细绳两端分别系于竖直地面上相距X=4m的两杆的顶端A、Ｂ，绳上挂一光滑的轻质挂钩，下端连着一个重为G＝12N的重物，平衡时绳中张力T等于多少牛顿?

２、如图所示，小圆环重为G，固定的大环半径为R轻弹簧原长为l（l<

2R），其劲度系数为k，接触光滑，则小环静止时弹簧与竖直方向的夹角θ应为多大？

3、如图所示,一轻杆两端固结两个小球A和B，A、Ｂ两球质量分别为4m和m,轻绳长为L,求平衡时ＯA、OＢ分别为多长?

（不计绳与滑轮间摩擦）

4、如图所示,n个完全相同的正方体木块一个紧挨一个排列成一条直线放在水平地面上,正方体木块与水平地面的滑动摩擦因数为μ，现用一水平力F推第一块木块，使这n块木块一起做匀速直线运动,则第k块木块对第k+1块木块的作用力为多大？

5、如图所示，物体ｍ在与斜面平行的拉力F作用下，沿斜面匀速上滑，在这过程中斜面在水平地面上保持静止。

已知物体、斜面的质量分别为m、M,斜面倾角为θ,试求：

（1）斜面所受地面的支持力;

（2）斜面所受地面的摩擦力。

第三讲:

（一）力臂：

从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。

（二）力矩：

力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。

记为Ｍ=ＦL，单位“牛·

米”。

一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。

（三）有固定转轴物体的平衡条件

作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。

即ΣＭ＝０,或ΣM逆=ΣM顺。

（四）重心:

物体所受重力的作用点叫重心。

计算重心位置的方法:

1、同向平行力的合成法：

各分力对合力作用点合力矩为零,则合力作用点为重心。

２、割补法：

把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体,再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。

（见上一讲）

3、公式法：

如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m1和m２的A、B两质点坐标分别为A（x1,ｙ1），B（x2,y2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标为:

一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系，其重心C位置由如下公式求得：

本节内容常用方法有：

①巧选转轴简化方程：

选择未知量多,又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零,式子简化得多;

②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：

选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；

③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想,结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。

【例题1】如图所示,c为杆秤秤杆系统的重心，a为杆称的定盘星,证明：

无论称杆的粗细如何变化,杆秤的刻度沿杆轴线的方向总是均匀分布的。

【例题２】

（第十届全国预赛）半径为Ｒ，质量为ｍ１的均匀圆球与一质量为ｍ2的重物分别用细绳AＤ和ACE悬挂于同一点A,并处于平衡。

如图所示，已知悬点A到球心O的距离为L,若不考虑绳的质量和绳与球的摩擦,试求悬挂圆球的绳ＡD和竖直方向的夹角θ。

【例题３】

（第十届全国决赛）用20块质量均匀分布的相同的光滑积木块，在光滑水平面一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块的长度为Ｌ，横截面为

的正方形，求此桥具有的最大跨度（即桥孔底宽）,试画出该桥的示意图,并计算跨度与桥孔高度的比值。

练习题：

１、如图所示,木棒的一端用一根足够短的绳子拴住悬挂在天花板上，另一端搁在滑动摩擦因数为μ的水平木板上，木板放在光滑的水平面上，若向右匀速拉出木板时的水平拉力为F1，向左匀速拉出时的水平拉力为F２,两种情况下，木棒与木板间的夹角均保持为θ不变，试比较F1和Ｆ2的大小?

2、（99上海）如图所示,是一种手控制动器,a是一个转动着的轮子，ｂ是摩擦制动片，C是杠杆，O是其固定转动轴,手在A点施加一作用力F时，b将压紧轮子使轮子制动,若使轮子制动需要的力矩是一定的,则下列说法正确的是：

A、轮ａ逆时针转动时，所需力F小

Ｂ、轮a顺时针转动时,所需力F小

C、无论轮a逆时针还是顺时针转动所需的力Ｆ相同

D、无法比较力F的大小

3、（９９上海）如图所示，质量不计的杆O1B和O2A长度均为L，O１和O2为光滑固定转轴,A处有一凸起物搁在O１B中点,B处用绳子系在O2A的中点，此时两短杆结合成一根长杆,今在O１Ｂ杆上Ｃ点（C为AB中点）悬挂重为G的物体,则在A处受到的支承力大小为；

B处受绳拉力大小为。

4、（第7届全国决赛）一薄壁圆柱形烧杯,半径为r，质量为m,重心位于中心线上,离杯底的距离为H，今将水慢慢注入杯中，问烧杯连同杯内的水共同重心最低时水面离杯底的距离等于多少？

（设水的密度为ρ）

５、为保证市场的公平交易,我国已有不少地区禁止在市场中使用杆秤。

杆秤确实容易为不法商贩坑骗顾客提供可乘之机。

请看下例。

秤砣质量为1千克,秤杆和秤盘总质量为０.5千克,定盘星到提纽的距离为2厘米,秤盘到提纽的距离为10厘米（图9）。

若有人换了一个质量为0.8千克的秤驼，售出2.5千克的物品，物品的实际质量是多少？

6、（俄罗斯奥林匹克试题）如图所示，三根相同的轻杆用铰链连接并固定在同一水平线上的A、B两点，ＡB间的距离是杆长的2倍,铰链C上悬挂一质量为ｍ的重物,问：

为使杆CD保持水平,在铰链D上应施的最小力F为多大？

7、如图所示，一铰链由2n个相同的链环组成，每两个链环间的接触是光滑的，铰链两端分别在一不光滑的水平铁丝上滑动,它们的摩擦系数为μ，证明:

当锁链在铁丝上刚好相对静止时，末个链环与铅垂线交角为

８、（第六届预赛）有6个完全相同的刚性长条薄片ＡiBi（i=１,2…），其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计,现将此6个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起Bi恰在碗口上,另一端小突起Aｉ位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m的质点放在薄片A6B6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A6的距离，则薄片Ａ6B６中点所受的（由另一薄片的小突起A１所施的）压力。

第四讲:

（一）一般物体平衡条件

受任意的平面力系作用下的一般物体平衡的条件是作用于物体的平面力系矢量和为零,对与力作用平面垂直的任意轴的力矩代数和为零，即：

ΣＦ=0ΣM=0

若将力向x、ｙ轴投影，得平衡方程的标量形式:

ΣFx=0　　　ΣFy=0　　　ΣMz=０（对任意ｚ轴）

（二）物体平衡种类

（１）稳定平衡：

当物体受微小扰动稍微偏离平衡位置时,有个力或力矩使它回到平衡位置这样的平衡叫稳定平衡。

特点：

处于稳定平衡的物体偏离平衡位置的重心升高。

（２）不稳定平衡：

当物体受微小扰动稍微偏离平衡时,在力或力矩作用下物体偏离平衡位置增大，这样的平衡叫不稳定平衡。

特点:

处于不稳定平衡的物体偏离平衡位置时重心降低。

（3）随遇平衡:

当物体受微小扰动稍微偏平衡位置时,物体所受合外力为零,能在新的平衡位置继续平衡,这样的平衡叫随遇平衡。

处于随遇平衡的物体偏离平衡位置时重心高度不变。

（三）稳度：

物体稳定程度叫稳度。

一般来说，使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量越多,这个平衡的稳度越高;

重心越低，底面积越大，物体稳度越高。

一般物体平衡问题是竞赛中重点和难点，利用ΣＦ=0和ΣM=0二个条件，列出三个独立方程，同时通过巧选转轴来减少未知量简化方程是处理这类问题的一般方法。

对于物体平衡种类问题只要求学生能用重心升降法或力矩比较法并结合数学中微小量的处理分析出稳定的种类即可。

这部分问题和处理复杂问题的能力,如竞赛中经常出现的讨论性题目便是具体体现，学生应重点掌握。

【例题１】

（第二届全国复赛）如图所示，匀质管子AＢ长为L，重为G，其A端放在水平面上,而点Ｃ则靠在高

的光滑铅直支座上，设管子与水平面成倾角θ=45°

试求要使管子处于平衡时，它与水平面之间的摩擦因数的最小值。

【例题2】

（第一届全国决赛）,如图所示，有一长为L，重为G0的粗细均匀杆AB,A端顶在竖直的粗糙的墙壁上，杆端和墙壁间的摩擦因数为μ，B端用一强度足够大且不可伸长的绳悬挂,绳的另一端固定在墙壁C点,木杆处于水平，绳和杆夹角为θ。

（1）求杆能保持水平时,μ和θ应满足的条件；

（2）若杆保持平衡状态时，在杆上某一范围内，悬挂任意重的重物,都不能破坏杆的平衡状态而在这个范围以外，则当重物足够重时，总可以使平衡破坏,求出这个范围来。

【例题３】如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。

将Ｃ柱体放上去之前，Ａ、B两柱体接触，但无挤压。

假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为μ0,柱体与柱体之间的动摩擦因数为μ。

若系统处于平衡状态,μ0和μ必须满足什么条件?

【练习题】1、如图所示,方桌重１０0N，前后脚与地面的动摩擦因数为0.2０，桌的宽与高相等。

求:

（1）要使方桌匀速前进,则拉力Ｆ、地面对前、后脚的支持力和摩擦力各是多大?

（2）若前、后脚与地面间的静摩擦因数为0．60。

在方桌的前端用多大水平力拉桌子可使桌子以前脚为轴向前翻倒?

2、如图所示,重3０N的均匀球放在斜面上，球面上Ｃ点以绳系住,绳与地面平行,求绳的拉力，斜面对球的支持力和摩擦力。

3、如图所示，一光滑半球形容器直径为a，边缘恰与一光滑竖直的墙壁相切。

现有一均匀直棒ＡB,A端靠在墙上，B端与容器底相接触,当棒倾斜至水平面成6０°

角时,棒恰好平衡,求棒长。

4、（芬兰奥赛试题）如图所示,一均匀木板,以倾角θ静止地放在二根水平固定木棒A和B上，两棒之间距离为d，棒与木板间静摩擦因数为μ0，当木板刚好不滑动时,求木板重心离A棒距离。

5、如图所示,将一根长为2Ｌ的硬铅丝弯成等臂直角形框架,在两臂的端点各固定一个质量为ｍ的小球,在直角的顶点焊一根长为r的支杆,支杆平分这一顶角,将杆支在一支座上。

试证明:

当

时,平衡是随遇平衡;

当r>

时,平衡是不稳平衡；

当r＜

时，平衡是稳定平衡（不计支杆、铅丝的质量）

６、质量为50kg的杆,竖直地立在水平地面上,杆与地面的最小静摩擦因数μ为0.3，杆的上端被固定在地面上的绳牵拉住，绳与杆的夹角θ为30°

，如图所示。

（１）若　水平力Ｆ作用在杆上，作用点到地面距离h1为杆长Ｌ的

要使杆不滑倒,则力F最大不超过多少?

（２）若作用点移到

处时，情况又如何？

平均速度:

瞬时速度：

平均加速度：

瞬时加速度:

【运动的合成与分解】

一个物体同时参与几个运动时，各个分运动可以看作是独立进行的，它们互不影响，物体的实际运动可以看成是这几个运动迭加而成的,这一原理叫运动的独立性原理。

它是运动的合成与分解的依据。

在进行运动的分解时,理论上,只要遵从平行四边形法则，分解是任意的,而实际中既要注意分速度有无实际意义，又要注意某一分速度能否代表所要求解的分运动的速度。

分运动与分运动、分运动与合运动之间除遵从矢量运动算法则外,运动的同时性也是联系各个方向上的分运动和合运动的桥梁。

【例题１】一物体以大小为v１的初速度竖直上抛，假设它受到大小不变的恒定的空气阻力的作用,上升的最大高度为H，到最高点所用时间为t，从抛出到回到抛出点所用时间为T,回到抛出点速度大小为ｖ2,求下列两个过程中物体运动的平均速度、平均速率、平均加速度。

（1）在上升过程中。

（2）整个运动过程中。

【例题2】高为Ｈ的灯柱顶部有一小灯,灯下有一高为ｈ的行人由灯柱所在位置出发，沿直线方向在水平面上背离灯柱而去。

设某时刻该人的行走速度为v0，试求此时行人头顶在地面的投影的前进速度v。

【例题3】如图所示,绳AＢ拉着物体m在水平面上运动,A端以速度ｖ做匀速运动,问ｍ做什么运动？

【例题４】如图所示,两个相同的小球Ａ、B通过轻绳绕过定滑轮带动Ｃ球上升,某时刻连接C球的两绳夹角为60°

，A、B速度均为v,求此时Ｃ球的速度。

【例题5】如图所示,一刚性杆两端各拴一小球Ａ、B，A球在水平地面上,Ｂ球靠在竖直墙上,在两球发生滑动过程中,当杆与竖直夹角为θ时,Ａ球速度为v,求此时B球的速度。

班级姓名学号

【练习】１、如图所示,细绳绕过定滑轮将重物m和小车连在一起，车以恒定速度ｖ向右运动,当细绳与水平方向间的夹为θ时，重物上升的速度是多大？

重物上升的速度和加速度如何变化?

２、甲乙两船在静水中划行速度分别为v甲、v乙，两船从同一渡口过河,若甲船以最短时间过河，乙船以最短航程过河,结果两船在同一地点到岸,求两船过河时间之比

3、如图所示,一个不透光的球壳内有一发光点，球壳可绕垂直于纸面的水平轴以角速度ω匀速转动,由于球壳上开一小孔，因而有一细束光线在竖直面内转动，在离转轴距离为d处有一竖直墙,当光线与屏幕夹角为θ时，屏上光斑速度为多大?

４、如图所示，滑轮组中的小物体１、2向下的加速度分别为a1、a2,求物体3向上运动的加速度。

5、如图所示，有一河面宽L=1kｍ,河水由北向南流动,流速v=2ｍ/s，一人相对于河水以u=1m／s的速率将船从西岸划向东岸。

（1）若船头与正北方向成α=３0°

角,船到达对岸要用多少时间？

到达对岸时,船在下游何处？

（2）若要使船到达对岸的时间最短，船头应与岸成多大的角度?

最短时间等于多少？

到达对岸时,船在下游何处?

（3）若要使船相对于岸划行的路程最短,船头应与岸成多大的角度?

到达对岸时，船在下游何处?

要用多少时间?

第六讲:

【相对运动】

运动的合成包括位移、速度和加速度的合成。

一般情况下把质点对地面上静止的物体的运动称为绝对运动,质点对运动参照系的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动，由坐标系的变换公式　

可得到

位移、加速度也存在类似关系。

运动的合成与分解，一般来说包含两种类型,一类是质点只有绝对运动，如平抛物体的运动；

另一类则是质点除了绝对运动外,还有牵连运动，如小船过河的运动。

解题中难度较大的是后一类运动。

求解这类运动，关键是列出联系各速度矢量的关系式,准确地作出速度矢量图。

【例题1】如图所示，两个边长相同的正方形线框相互叠放，且沿对角线方向,A有向左的速度v,Ｂ有向右的速度2v,求交点Ｐ的速度。

【例题2】一人以7m／s的速度向北奔跑时,感觉风从正西北方向吹来，当他转弯向东以１m/ｓ的速度行走时，感觉风从正西南方向吹来，求风速。

【例题3】一人站在到离平直公路距离为d＝50m的B处,公路上有一汽车以ｖ1=10m/s的速度行驶，如图所示。

当汽车在与人相距L=200m的A处时，人立即以v２＝３ｍ/ｓ的速率奔跑。

为了使人跑到公路上时,能与车相遇。

问:

（1）人奔跑的方向与AＢ连线的夹角θ为多少？

（2）经多长时间人赶上汽车?

（3）若其它条件不变,人在原处开始匀速奔跑时要与车相遇，最小速度为多少?

【练习】１、一艘船在河中逆流而上,突然一只救生圈掉入水中顺流而下。

经过ｔ0时间后，船员发现救生圈掉了，立即掉转船头去寻找丢失的救生圈。

问船掉头后要多长时间才能追上救生圈?

2、平面上有两直线夹