高中教育最新高考数学考点解读+命题热点突破专题05函数基本初等函数的图像与性质理文档格式.docx

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（1）可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．

（2）利用函数的单调性解不等式的关键是化成f（x1）<

f（x2）的形式．

【变式探究】

（1）若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝________.

（2）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（　　）

A.＞B.ln（x2＋1）＞ln（y2＋1）

C.sinx＞sinyD.x3＞y3

（3）设f（x）＝（a∈R）的图象关于直线x＝1对称，则a的值为（　　）

A.－1B.1C.2D.3

【答案】

（1）1　

（2）D　（3）C

【命题热点突破二】　函数图象及应用

1．作函数图象有两种基本方法：

一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．

2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．

例2、【20xx高考新课标1卷】函数在的图像大致为

（A）（B）

（C）（D）

【答案】D

【解析】函数f（x）=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于轴对称，因为，所以排除A、B选项；

当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D。

（1）根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．

（2）研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．

【变式探究】

（1）已知函数f（x）的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，设a＝f，b＝f

（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A.c＞a＞bB.c＞b＞a

C.a＞c＞bD.b＞a＞c

（2）设函数f（x）＝ex（2x－1）－ax＋a，其中a<

1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）<

0，则a的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

（2）设g（x）＝ex（2x－1），y＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，

使得g（x0）在直线y＝ax－a的下方，

因为g′（x）＝ex（2x＋1），所以当x<

－时，g′（x）<

0，当x>

－时，g′（x）>

0，

所以当x＝－时，[g（x）]min＝－2e－，

当x＝0时，g（0）＝－1，当x＝1时，g

（1）＝e>

0，直线y＝a（x－1）恒过（1，0），

则满足题意的唯一整数x0＝0，

故－a>

g（0）＝－1，

且g（－1）＝－3e－1≥－a－a，解得≤a<

1，故选D.

答案　

（1）D　

（2）D

【探究提高】

（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.

（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.

【命题热点突破三】基本初等函数的图象和性质

1．指数函数y＝ax（a>

0，a≠1）与对数函数y＝logax（a>

0，a≠1）的图象和性质，分0<

a<

1，a>

1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．

2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况．

例3、【20xx年高考北京理数】设函数.

①若，则的最大值为______________；

②若无最大值，则实数的取值范围是________.

【答案】，.

（1）指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．

（2）比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．

（1）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝xa（x≥0），g（x）＝logax的图象可能是（　　）

（2）已知函数y＝f（x）是定义在R上的函数，其图象关于坐标原点对称，且当x∈（－∞，0）时，不等式f（x）＋xf′（x）<

0恒成立，若a＝20.2f（20.2），b＝ln2f（ln2），c＝－2f（－2），则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a>

b>

cB．c>

a

C．c>

a>

bD．a>

c>

b

（1）D　

（2）C

【解析】

（1）方法一　分a>

1,0<

1两种情形讨论．

当a>

1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；

当0<

1时，y＝xa为增函数，y＝logax为减函数，排除A.由于y＝xa递增较慢，所以选D.

【高考真题解读】

1.【20xx高考新课标3理数】已知，，，则（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】A

【解析】因为，，所以，故选A．

2.【20xx年高考北京理数】已知，，且，则（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】A：

由，得，即，A不正确；

B：

由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；

C：

由，，得，故，C正确；

D：

由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故选C.

3.【20xx高考新课标1卷】函数在的图像大致为

4.【20xx高考新课标2理数】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（）

（A）0（B）（C）（D）

【解析】由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选C。

5.【20xx年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=.

6.【20xx高考浙江理数】已知a>

1.若logab+logba=，ab=ba，则a=，b=.

【答案】42

【解析】设，因为，

因此

7.【20xx高考天津理数】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足

，则a的取值范围是______.

【解析】由题意在上单调递减，又是偶函数，则不等式可化为，则，，解得．

8.【20xx年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为；

当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：

①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A

②单位圆的“伴随曲线”是它自身；

③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称；

④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.

【答案】②③

【解析】对于①，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故①错误；

对于②，设曲线关于轴对称，则与方程表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又曲线与曲线的图象关于轴对称，所以②正确；

③设单位圆上任一点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故②正确；

对于④，直线上任一点的伴随点是，消参后点轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③.

9.【20xx高考山东理数】已知函数f（x）的定义域为R.当x<

0时，；

当时，；

当时，.则f（6）=（）

（A）−2（B）−1（C）0（D）2

【解析】当时，,所以当时，函数是周期为的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选D.

10.【20xx高考天津理数】已知函数f（x）=（a>

0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）

（A）（0，]（B）[，]（C）[，]{}（D）[，）{}

11.【20xx高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值是▲.

【解析】，

12.【20xx高考江苏卷】函数y=的定义域是▲.

【解析】要使函数有意义，必须，即，．故答案应填：

，

13.【20xx年高考北京理数】设函数.

【解析】如图，作出函数与直线的图象，它们的交点是，由，知是函数的极小值点，

①当时，，由图象可知的最大值是；

②由图象知当时，有最大值；

只有当时，，无最大值，所以所求的取值范围是．

1.（20xx·

安徽卷）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（　　）

A.y＝cosxB.y＝sinx

C.y＝lnxD.y＝x2＋1

解析　由于y＝sinx是奇函数；

y＝lnx是非奇非偶函数；

y＝x2＋1是偶函数但没有零点；

只有y＝cosx是偶函数又有零点.

答案　A

2.（20xx·

全国Ⅱ卷）设函数f（x）＝则f（－2）＋f（log212）＝（　　）

A.3B.6C.9D.12

答案　C

3.（20xx·

北京卷）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集是（　　）

A.{x|－1＜x≤0}

B.{x|－1≤x≤1}

C.{x|－1＜x≤1}

D.{x|－1＜x≤2}

解析　如图，由图知：

f（x）≥log2（x＋1）的解集为{x|－1<

x≤1}.

4.（20xx·

山东卷）已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________.

5．（20xx·

天津）已知定义在R上的函数f（x）＝2|x－m|－1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53），b＝（log25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a＜b＜cB．a＜c＜b

C．c＜a＜bD．c＜b＜a

【答案】C　

【解析】由f（x）＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，

所以f（x）＝2|x|－1.

所以a＝f（log0.53）＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，

b＝f（log25）＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，

c＝f（0）＝2|0|－1＝0，所以c<

b.

6．（20xx·

福建）若函数y＝logax（a>

0，且a≠1）的图象如图所示，则所给函数图象正确的是（　　）

【答案】B　

7．（20xx·

课标全国Ⅱ）设函数f（x）＝则f（－2）＋f（log212）等于（　　）

A．3B．6C．9D．12

【解析】因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f（－2）＝1＋log2[2－（－2）]＝1＋log24＝3，f（log212）＝2log212－1＝2log212×

2－1＝12×

＝6，故f（－2）＋f（log212）＝3＋6＝9，故选C。

8．（20xx·

陕西卷）设f（x）＝则f（f（－2））＝（）

A．－1B.

C.D.

【解析】因为－2＜0，所以f（－2）＝2－2＝＞0，所以f＝1－＝1－＝.

9．（20xx·

新课标Ⅱ卷）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（B）

10．（20xx·

课标全国Ⅱ）已知偶函数f（x）在[0，＋∞）单调递减，f

（2）＝0.若f（x－1）>

0，则x的取值范围是_________________________．

（－1,3）

【解析】　∵f（x）是偶函数，

∴图象关于y轴对称．

又f

（2）＝0，且f（x）在[0，＋∞）单调递减，

则f（x）的大致图象如图所示，

由f（x－1）>

0，得－2<

x－1<

2，即－1<

x<

3.