初等数论课程教学大纲新Word文件下载.docx
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第一章数的整除性
(一)教学目的与要求
1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质,理解质因数分解
定理,熟练掌握用裴蜀恒等式求最大公因子、最小公倍数的方法。
2、理解素数与合数的概念、素数的性质,理解整数的素数分解定理,会用
筛法求素数。
3、了解抽屉原理的简单与一般形式、会用抽屉原理构造一些具有特殊性
质整数。
(二)教学内容
1、整除性、公因数、公倍数
两个整数整除的概念、剩余定理;
最大公因子的概念、性质及求最大公因
子的方法;
最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。
2、素数与整数的素因子分解
素数与合数的概念、素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法
(筛法)。
3、抽屉原理
抽屉原理的简单与一般形式、抽屉原理在构造具有特殊性质整数方面的应
用。
重点:
整除、公因子、素数的概念及性质,裴蜀恒等式,求最大公因子的
方法,整数的素数分解定理。
难点:
整数的素数分解定理的理解与运用函数[x]、{x}的概念及其应用。
(三)教学形式与方法
本章主要采用课堂讲授、讨论相结合的教学方式
(四)作业布置
1.设四个自然数只和为
1989,求证:
它们的立方和不是偶数。
2.试证明:
不存在
2
个自然数,它们的和与差的乘积等于
1990。
3.设
a1,
a2
L
an
是一组数,他们中的每一个都取+1
或-1,而
a1a2a3a4
+
a2a3a3a4
+L
ana1a2a3
=
证明:
n
必须是
4
的倍数。
4.设
〉0,α
≥
2,
nα
能够表示成
个连续的奇数的和。
5、搜索中小学关于此类问题的题目,理解与体会方法的运用。
6、查寻奇数,偶数在中小学问题中的运用,拓展思维,灵活运用。
7、求
(1)(5767,4453)
(2)(3141,1592)
8、求[144,480]
9、求证:
若
(a,
b)
1,则
(1)
(a
±
b,
ab)
1
(2)
a
-
1
或
2
10、求出能使
36x
83y
1成立的两个整数
x,
y
。
11、二数之和是
432,它们的最大公约数是
36,求此二数。
12、对于任意的整数
n〉1,证明:
总可以找到
个连续的合数
13、求
72
与
480
的最大公约数与最小公倍数。
14、
(1)迪泼瓦尔曾断言:
对所有
n≥1,6n+1
和
6n-1
中至少有一个是质数、
举例说明他的断言错了。
(2)证明:
有无穷多个
使
6n+1
同时为合数。
15、设
P
是合数
是最小素因数,证明:
P>
,则
3
n
p
是素数
16、容易验证
90、91、92、93、94、95、96
是
7
个相邻的合数。
试写出
9
17、检验
539
是否为质数
18、证明:
在
n>2
时,n
n!
之间一定有一个质数
分析:
由于(n!
-1.n!
)=1,则
到
中的所有质数均不能整除
-
1,那么必存在质数
p,p>n,且
p<n!
第二章同余理论
1、理解整数同余的概念及同余的基本性质,熟练运用同余的基本性质,
会利用同余简单验证整数乘积运算的结果。
2、理解剩余类、完全剩余系的概念,熟练掌握判断剩余系的方法。
3、了解
Fermat
小定理,熟练运用之。
4、理解中国剩余定理,掌握中国剩余定理的简单应用,掌握求解简单同余
式方程组的方法。
1、同余的概念及性质
整数同余的概念、同余的基本性质,利用同余简单验证整数乘积运算的结
果。
2、剩余类、完全剩余系
剩余类、完全剩余系的概念,判断剩余系的方法。
3、费马小定理
费马小定理及其应用,求余数的方法。
4、中国剩余定理
中国剩余定理,中国剩余定理的应用,求解同余式方程组。
剩余系的判定,欧拉函数的定义及性质,中国剩余定理,同余性质
的运用。
难点:
剩余系的判定,中国剩余定理,费马小定理应用。
1、若
k≡1(mod4),问
6k+5
0.1.2.3
中哪一个
mod4
同余?
2、在
3145×
92653=291□93685
中,积有一位数字遗漏,而其它数字是正确
的,遗漏数字是什么?
3、求10
+10+L
+10
}
10
1010010L
被
除的余数。
4、证明:
15
不能整除
n2
5、
314159
除以
7,余数是多少?
6、证明:
b
均不被质数
n+1
整除,则
bn
整除。
7、证明:
645
是伪质数。
8、证明:
9、对于一切
满足
|
(an
a)
的合数
n,称为绝对伪质数,最小的绝对伪质数
为
561,验证:
341
(11341
-11)
,从而
不是一个绝对伪质数。
⎧
x
≡
1(mod
7)
⎪
⎪8x
4(mod
9)
11、试用同余方程的解法,求解不定方程
37x
49
第三章数论函数
1、理解欧拉函数的定义及性质。
2、了解欧拉定理,掌握循环小数的判定方法
1、函数[x]、{x}、欧拉函数及其应用
函数[x]与{x}及欧拉函数的概念、性质
2、τ
(n),σ
(n)
及其运用
τ
的含义,τ
公式的推导。
3、欧拉定理及其应用
欧拉定理,循环小数的判定条件。
重点:
公式的运用,欧拉定理
欧拉定理的运用
1、设
是正整数,证明
⎡
⎤
+1⎤⎡
⎤
⎢
⎥
⎥⎣
⎦
2、设
a,
是任意实数,那么有
[a]-
[b]=
[a
b]或
b]+1
3、求使
101⨯102
⨯L
⨯1000
7k
为整数的最大自然数
k
方程
[x]+
[2x]+
[4x]+
[8x]+
[16x]+
[32x]=
12345
没有实数解。
5、若
的幂,则σ
是奇数;
6、
为什么数时,τ
=8?
∑
d|n
d
=
σ
(n)
8、若
是偶完全数,
>
6
,证明:
9)
;
9、σ
∑
d
其中
为正整数,试给出σ
的计算公式。
10、证明:
如果
的末位数字为
7,那么
一定有一个倍数,它的数字全不为
0。
11、计算
ϕ
(420)
第四章不定方程
1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件,
熟练掌握利用辗转相除法求二元一次不定方程的方法。
2、知道不定方程
x2
y2
z2
的整数解的形式。
1、二元一次不定方程
二元一次不定方程的形式,二元一次不定方程解的形式,二元一次不定方
程有整数解的条件,利用辗转相除法求二元一次不定方程的解。
2、不定方程
不定方程
的整数解的形式,Fermat
大定理的简单介绍。
二元一次不定方程解的形式,二元一次不定方程有整数解的条件,
利用辗转相除法求二元一次不定方程的解。
不定方程
的整数解的形式,
1、
解不定方程
9x
24
5z
1000
2、求不定方程的正整数解
5x
41
7x
3y
123
3、把
100
个苹果分成两堆,使得一堆的个数能被
整除,另一堆的个数能被
11
整除
4、求不定方程
z
65
,而且
f
0
的全部解为
(x,
y,
z)
第五章连分数
1、掌握连分数、有限、无限连分数的概念,理解它们之间的关系;
2、掌握连分数、渐近分数及其之间的递推关系式,理解有限、无限连分
数与有理数、无理数之间的关系。
1、连分数、渐近分数及其之间的递推关系
连分数、渐近分数的含义,它们之间的递推关系式
2、有限、无限连分数,它们与有理数、无理数之间的关系
有限、无限连分数的概念,它们与有理数、无理数之间的关系
连分数、渐近分数及其之间的递推关系;
有限、无限连分数与有
理数、无理数之间的关系。
连分数、渐近分数及其之间的递推关系
四、教学学时分配
现将教学计划规定的学时数分配到课程的各章节。
(见教学学时分配表)
教学学时分配表
教学内容(章学时
节)
讲授
讨论
实践
实验
备注
第一章
数的
整除性
6
第二章
同余
理论
8
第三章
数论
函数
第四章
不定
4
第五章
连分
五、教学环节要求与安排
1、自学
自学是学生获得知识的重要方式,自学能力的培养也是师范教育的重点之
一,本课程的教学要注意对学生自学能力的培养。
学生可以通过自学,掌握必
要的知识,也为今后继续学习做好铺垫。
2、课堂教学
课堂教学要服从于教学大纲、文字教材,采用讲解、讨论、答疑等方式,
通过解题思路分析,基本方法训练,培养学生基本运算的能力和分析、解决问
题的能力。
3、作业
独立完成作业是学生学好本课程的一项重要的、必不可少的工作。
作业内
容以教材中的习题为主,通过这些习题的练习,逐步加深对课程中各种概念的
理解,熟悉各种基本解题方法,达到基本掌握本课程主要内容的目的。
六、考核办法
考试题目要全面,符合大纲要求,同时要做到体现重点,题量适度,难度
适中,题量和难度的梯度应按照教学的三个不同层次安排。
不出难题,怪题。
未作具体教学要求的内容不作考试要求。
考核结果按三三四制,即平时成绩占
总分的百分之三十,期中考试成绩占总分的百分之三十,期末考试成绩占总分
的百分之三十。
七、教材选用
单墫主编
∙
初等数论
南京:
南京大学出版社,2006
八、教学参考书
闵嗣鹤严士健
北京:
高等教育出版社,1982
九、相关说明书
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