导数复习经典例题分类一文档格式.docx
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m的取值范围.
题型二:
已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题;
经验1:
已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种:
转化为恒成立问题即f'
(x)0或f'
(x)0在给定区间上恒成立,然后转为不等式恒成立
问题;
用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(看是否在0的同侧),如果是同侧则不必分类
讨论;
若在0的两侧,则必须分类讨论,要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变!
有时分离变量解不出来,则必须用另外的方法;
利用子区间(即子集思想);
首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;
参考08年高考题;
第三种方法:
利用二次方程根的分布,着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置;
可参考第二次市统考试卷;
特别说明:
做题时一定要看清楚“在(a,b)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话的区别;
函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤
画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;
由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);
主要看极大值和极小值与0的关系;
第三步:
解不等式(组)即可;
例6•已知函数f(x)1x3(k1)X,g(x)1kx,且f(x)在区间(2,)上为增函数.
323
(1)求实数k的取值范围;
(2)若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,求实数k的取值范围.
例7.已知函数f(x)ax33x21
(I)讨论函数f(x)的单调性。
(II)若函数yf(x)在A、B两点处取得极值,且线段AB与x轴有公共点,求实数a的取值范围。
例8.已知函数f(x)=x3—ax2—4x+4a,其中a为实数.
(I)求导数f(x);
(n)若f(—1)=0,求f(x)在[—2,2]上的最大值和最小值;
(川)若f(x)在(一%,—2]和[2,+^)上都是递增的,求a的取值范围
例9.已知:
函数f(x)x3ax2bxc
(I)若函数f(x)的图像上存在点P,使点P处的切线与x轴平行,求实数a,b的关系式;
(II)若函数f(x)在x1和x3时取得极值且图像与x轴有且只有3个交点,求实数c的取值范围.
例10.设yf(x)为三次函数,且图像关于原点对称,当x-时,f(x)的极小值为1.
(I)求f(x)的解析式;
(U)证明:
当x(1,)时,函数f(x)图像上任意两点的连线的斜率恒大于0.
例11.在函数f(x)ax3bx(a0)图像在点(1,f
(1))处的切线与直线6xy70.平行,导函数f'
(x)的最小值为一12。
(1)求a、b的值;
(2)讨论方程f(x)m解的情况(相同根算一根)。
例12.已知定义在R上的函数f(x)ax3bxc(a,b,cR),当x1时,f(x)取得极大值3,f(0)1-
(I)求f(x)的解析式;
(U)已知实数t能使函数f(x)在区间(t,t3)上既能取到极大值,又能取到极小值,记所有的实数t组成的集合为M.请判断函数g(x)^-^(xM)的零点个数.
x
例13.已知函数f(x)kx33(k1)x22k24,若f(x)的单调减区间为(0,4)
(I)求k的值;
(II)若对任意的t[1,1],关于x的方程2x25xaf(t)总有实数解,求实数a的取值范围例14.已知函数f(x)ax3bx2x(xR,a,b是常数),且当x1和x2时,函数f(x)取得极值.
(U)若曲线yf(x)与g(x)3xm(2x0)有两个不同的交点,求实数m的取值范围.
32
例15.已知f(x)=x+bx+cx+2.
⑴若f(x)在x=1时有极值—1,求b、c的值;
⑵若函数y=x2+x—5的图象与函数y=的图象恰有三个不同的交点,求实数k的取值范围.
1
例16.设函数f(x)孑3X2ax,g(x)2xb,当x12时,f(x)取得极值.
(1)求a的值,并判断f(1,2)是函数f(x)的极大值还是极小值;
2)当x[3,4]时,函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点,求b的取值范围.
题型三:
函数的切线问题;
在点处的切线,易求;
经验2:
过点作曲线的切线需四个步骤;
设切点,求斜率;
写切线(一般用点斜式);
根据切点既在曲线
上又在切线上得到一个三次方程;
第四步:
判断三次方程根的个数;
例17.已知函数f(x)ax3bx2cx在点x0处取得极小值一4,使其导数f'
(x)0的x的取值范围为(1,3),求:
1)f(x)的解析式;
(2)若过点P(1,m)可作曲线yf(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
例18.已知f(x)x3ax24x(a为常数)在x2时取得一个极值,
(1)确定实数t的取值范围,使函数f(x)在区间[t,2]上是单调函数;
(2)若经过点A(2,c)(c8)可作曲线yf(x)的三条切线,求c的取值范围.
题型四:
函数导数不等式线性规划结合;
1312
例19.设函数g(x)-x-axbx(a,bR),在其图象上一点F(x,y)处的切线的斜率记为f(x).
32
(1)若方程f(x)有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式;
⑵若g(x)在区间1,3上是单调递减函数,求a2b2的最小值。
例20.已知函数f(x)-x3ax2bx(a,bR)
11
(1)若yf(x)图象上的是(1,―)处的切线的斜率为4,求yf(x)的极大值。
(2)yf(x)在区间[1,2]上是单调递减函数,求ab的最小值。
例21.已知函数f(x)mxnx(m,nR,mn且m0)的图象在(2,f
(2))处的切线与x轴平行•
(I)试确定m、n的符号;
(II)若函数yf(x)在区间[n,m]上有最大值为mn2,试求m的值.
题型五:
函数导数不等式的结合
例22.已知函数fxxabx0,其中a,bR.
(I)若曲线yfx在点P2,f2处的切线方程为y3x1,求函数fx的解析式;
(U)讨论函数fx的单调性;
(川)若对于任意的a-,2,不等式fx10在-,1上恒成立,求b的取值范围.
24
例23.已知函数f(x)1x3ax2bx1(xR,a,b为实数)有极值,且在x1处的切线与直线
xy10平行.
(1)求实数a的取值范围;
(2)是否存在实数a,使得函数f(x)的极小值为1,若存在,求出实数a的值;
若不存在,请说明理由;
0,f'
(1)0且f'
(x)0在R
cos2x)对任意的xR恒成
例24.已知函数f(x)-ax3x2cxd(a、c、d€R)满足f(0)
34
上恒成立。
(1)求a、c、d的值;
3b1
(2)若h(x)-x2bx-一,解不等式f'
(x)h(x)0;
424
例25.设函数f(x)x(xa)(xR),其中aR
(1)当a1时,求曲线yf(x)在点(2,f
(2))处的切线方程;
(2)当a0时,求函数f(x)的极大值和极小值;
(3)当a3时,证明存在k[1,0],使得不等式f(kcosx)f(k2
、立
导数解答题题型分类之拓展篇答案
题型一例1、解:
(I)f'
(x)X22bx2.•••x2是f(x)的一个极值点,
•••X2是方程X22bx20的一个根,解得b-.
令f'
(x)0,则x2-x20,解得x1或x2.
•••函数yf(x)的单调递增区间为(,1),(2,+).
(n)v当x(1,2)时f'
(x)0,x(2,3)时f'
(x)0,
•f(x)在(1,2)上单调递减,f(x)在(2,3)上单调递增••f
(2)是f(x)在区间[1,-]
上的最小值,且f
(2)-a.若当x[1,3]时,要使f(x)a2-恒成立,只需
33
22222
f
(2)a-,即一aa-,解得0a1.
333
例3、解:
(I)f/(x)3x2
2ax•f/
(1)
b1a
(U)由(I)知,f(x)在[f
(1)4,f(0)0,{f(x)}min
•f(x)的值域是[4,16]
min
解得a3
b2
1,0]上单调递增,在[0,2]上单调递减,
f
(2)
4,{f(x)}maxf(4)16
在[2,4]上单调递减又
t2
x2
•要使f(x)g(x)恒成立,只需h(x)
(川)令h(x)f(x)g(x)
(t1)x3x[1,4]
(1)当
ix[1,2)时t
2x
6
J
解得t1;
(2)
当x
2时tR;
(3)
(2,4]时t孕
解得t
8;
综上所述所求
t的范围是(,1]U[8,)
例4、
解:
(I)Qf(x)
3ax
2ax2
b,f(x)3ax2
4axax(3x4)
0,即t(x22x)2x6
例2、解:
(1)法一:
(导数法)f(x)4x(x
•f(x)在[0,1]上增,•
0,x
1__
法二:
f(x)空
x1
、一2x2
法三:
f(x)
(2)f(x)值域[0,1]
由条件,只须[0,1]
1)2x22x24x小
-厂0
(x1)(x1)
f(x)值域[0,1]。
在x[0,1]上恒成立.
—,x(0,1],复合函数求值域.
1)24(x1)2
g(x)ax52a(a
a],•5
5
2(x
2(x1)
[52a,5
0)在x
2a
—4用对号函数求值域.
x1[0,1]上的值域[5
5a4.
2a,5a].
'
4
令f(x)=O,得xiOx—2,1
因为a0,所以可得下表:
2,0
0,1
f'
(x)
+
-
f(x)
/
极大
因此f(0)必为最大值,二f(0)5因此b5,Qf
(2)16a5,f
(1)a5,f
(1)f
(2),即f
(2)16a511,•••a1,二f(x)x32x25.
(n)Vf(x)3x24x,•••f(x)tx0等价于3x24xtx0,令g(t)xt3x24x,
则问题就是g(t)0在t[1,1]上恒成立时,求实数x的取值范围,为此只需g
(1)0,即
g
(1)0
3x25x0
x2x0
解得0x1,所以所求实数
x的取值范围是[0,
1]-
例5、解:
.f(x)2x,•
-由一2x3有x
a,即切点坐标为(a,a),(
a,a)
•切线方程为ya3(xa),
或ya3(xa),
整理得3x
y2a0或3x
y2a
...|2a2a|210,解得a
.32
(1)25
1,•f(x)x3,
•g(x)x3
3bx3o
(1)V
g(x)
3x2
3b,
g(x)在x1处有极值,•g
(1)
0,即3123b
0,解得b
1,•g(x)x
3x3
(2)V函数g(x)在区间[1,1]上为增函数,•g(x)
3x23b
0在区间[1,1]上恒成立,
•b
0,
又Vb2mb4g(x)在区间[
1,1]上恒成立,•b
2mb4
g
(1),即b2mb
44
••
mb3在b(,0]上恒成立,二m3•m的取值范围是3,
题型二答案:
例6解:
(1)由题意f(x)x2(k1)x•/f(x)在区间(2,)上为增函数,
•f(x)x2(k1)x0在区间(2,)上恒成立
即k1x恒成立,又x2,•k12,故k1•k的取值范围为k1
(2)设h(x)f(x)g(x)—逖1)x2kx1,
h(x)x2(k1)xk(xk)(x1)
令h(x)0得xk或x1由
(1)知k1,
①当k1时,h(x)(x1)20,h(x)在R上递增,显然不合题意…②当k1时,h(x),h(x)
随x的变化情况如下表:
(,k)
k
(k,1)
(1,)
h(x)
——
h(x)
.3.2.
极大值
623
极小值丄」
由于匕」
k3
根,故需-
0,欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,即方程
h(x)0有三个不同的实
k2
0,即(k1)(k22k2)
k1
0Ak22k2
,解得k1...3
例7、解:
(1)f(x)3ax26x,f(x)0得x10或x
-,当a>
0时,(
0)递增,(0,)递减,(2,)
aa
综上,所求k的取值范围为k1,3
递增;
22
当a<
时,(,)递减,(,0)递减,(0,)递减。
(,0)
(0,-)
(三)
f(x)
一
增
减
极小值
7分
(2)当a>
0时
此时,极大值为f(0)13,极小值为f(-)
土1—
2Iaaa
(,一)
(-,0)
(0,)
24
此时,极大值为f
(2)二
f(0)f
(2)0即(a3)(a4)(a1)
1—,极小值为f(0)1
3.因为线段AB与x轴有公共点所以
a3
0,解得a
[1,0)[3,4]
例8、解:
(I)
(U)由f(
1)
2,
2ax
x3
4x
2.f(x)3x2x
4
x=1又f(4)
57-(
9
丁
(2)
0,
f(x)在[-2,
4,由f(x)0得x—或
,最小值50
27
2]上最大值!
(m)f(x)
3x22ax4
,由题意知
f
(2)
f
(2)0,
22"
2,
4a8
84a
6a
6,
a2.
例9、解:
(I)
值点,所以
的根,
设切点P(x,y)f(x)
4a212b0,即a23b
3x22ax
b|xx
3x2ax
(II)因为x1
3是方程f(x)
0,因为存在极
3x2axb0
所以a3,b9,f(x)x33x29xco
f(x)3x26x93(x1)(x3),f(x)x1处取得极大值,在x3处取得极小值.
Qx3,x1;
f(x)0,1
函数图像与x轴有3个交点,
x3f(x)在
f
(1)Q,
f(3)0
例10解:
(I)设f(x)
d
ax3
bx2
3ax
得a
4,c
或x
ax
,依题意得
bx2cxd(abx2cxd•••b
故所求的解析式为:
Q)
0二3a
(1,
y2
)(,)二x
)时,函数f(x)图像上任意两点,且
y1
0.
Q其图像关于原点对称,即f(0,则有f(x)c0①,f1
4x3
3x.(H)由f(x)
axcx
11
ac
82
x)
由
12x23
f(x)得
1②由①②
0解得:
)时,函数f(x)单调递增;
设X1,%,X2,y2
X2
%,则有y2
y1•••过这两点的直线的斜率
cx
c
Q(1,
c(5,27)
(3'
)又直线
例11、解:
(1)f'
(x)3ax2b的最小值为12,b12,且a0.
(,运)
(近血
(Q)
f,
6xy70的斜率为6,因此f'
(1)3ab6,a2,b12.
(6'
)
(2)由
(1)知f(x)2x312x,
(x)6x2126(x..2)(x.2),列表如下:
所以,函数f(x)的单调增区间是(,、2)和C.2,)
f
(1)10,f
(2)82,f(3)18,f(x)在x2上的极大值是f(.2)82,
f(x)在x2上的极小值是f(.2)&
2.
当m82,或m8.2时,方程有一根;
当m8、2,或m82时,方程有二根;
当&
2m8】2时,方程有三根.(12'
例12、解:
(1)由f(0)
1得c=1
(x)3ax2b,f
(1)f
(1)
3a
b
b1
0得a
,得a
1,b
3•
x33x
3(x
1)(x
1)得x
1,x1时取得极值.由
(t,t
3),1
(t,t3)
得
2t
1.
•M
(2,1).
g(x)3x2丄3,g'
1•当
2,•当
当xM
时,
xx
g'
0,
•g(x)在M上递减.又g
(2)-,g
(1)
函数g(x)
xM的零
点有且仅有1个
例14、解:
(I)f(x)3ax22bx1,
依题意f
(1)
f
(2)0,即卩3a2b10,解得
12a4b10,
1.313
a,b--f(x)x
646
有两个不同的交点,即!
(x)】x33x22xm,则
64
时(x)0,于是(x)在2,
m1
题意有
(2)0詣
(1)0m衫0
(°
)0m0
x2x(n)由(I)知,曲线yf(x)与g(x)3xm(2x
32
-x2xm0在2,0上有两个不同的实数解。
设
(x):
x22,由(x)
22
1上递增;
当x(1,0)时(x)
13•••实数m的取值范围是0m
12
0的x4或x1,当x(2,0,于是(x)在1,0上递减.
13
m—.
0)
依
例15、解:
⑴f'
(x)=3x2+2bx+c,由题知f'
(1)=03+2b+c=0,f
(1)
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