1997年考研数学三真题Word下载.docx
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【详解】f正定的充分必要条件是f对应矩阵的各阶顺序主子式大于零,因此
210
11t
2
>
0,
0t1
解得-<
19
(5)设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布N(0,32),而X,…,X
和Y1,…,Y9
分别式来自总体X和Y的简单随机样本,则统计量U=
X1+…+X9
服从
分布,参数为.
t,9
【详解】令X'
=Xi,Y'
=Yi,i=1,2,…,9
i3i3
则Xi'
~N(0,1),Yi'
~N(0,1),i=1,2,…,9
X'
=X'
+…+X'
~N(0,32),
Y'
=Y'
+…+Y'
~X2(9)
因此
U=X1+…+X9=
X1'
+…+X9'
=X'
=
由于
X'
~N(0,1),Y'
3
故U~t(9).
二、选择题
1-cosx2
x5x6
(1)设f(x)=⎰0sintdt,g(x)=
则当x→0时,f(x)是g(x)的
56
(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小
(C)等阶无穷小(D)同阶但不等价的无穷小
【】
【答】应选(B)
【详解】利用洛必达法则,有
lim
f(x)
=lim
sinx⋅sin(1-cos)2
sin(1-cos)2
x→0g(x)
x→0
x4+x5
x4
x3+x4
(1-cos)2
=lim4
=0.
x→0x3+x4
(2)若f(-x)=
(0,+∞)内有
f(x)(-∞<
x<
+∞),在(-∞,0)内f'
(x)>
0,且f'
'
(x)<
0,则在
(A)f'
0,f'
0
(C)f'
(B)f'
(D)f'
【答】应选(C)
【详解】由f(-x)=
f(x),得
-f'
(x)=
f'
(x),f'
(-x)=
(x)
可见当x∈(0,+∞)时,-x∈(-∞,0),且
(x)=-f'
(-x)<
所以应选(C).
(2)设向量α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中,线性无关的是
(A)α1+α2,α2+α3,α3-α1
(B)α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3
(C)α1+2α2,2α2+3α3,3α3+α1
(D)α1+α2+α3,2α1-3α2+22α3,3α1+5α2-5α3
(A):
(α1+α2)-(α2+α3)+(α3-α1)=0
(B):
(α1+α2)-(α2+α3)-(α1+2α2+α3)=0
可见(A)、(B)中向量组线性相关,(C)、(D)不能直接观察出,对于(C),令k1(α1+2α2)+k2(2α2+3α3)+k3(3α3+α1)=0
即
(k1+k3)α1+(2k1+2k2)α2+(3k2+3k3)α3=0
由于α1,α2,α3线性无关,故
⎧k1+k3=0
⎪2k+2k=0
⎨
⎩
⎪3k
12
2+3k3=0
101
因上述齐次线性方程组的系数行列式220=12≠0,,故方程组由惟一零解,即
033
k1=k2=k3=0,故(C)中向量组线性无关,应选(C).
(4)设A,B为同阶可逆矩阵,则
(A)AB=BA
(B)存在可逆矩阵P,使P-1AP=B
(C)存在可逆矩阵C,使CTAC=B
(D)存在可逆矩阵P和Q,使PAQ=B
【答】应选(D).
【详解】由题设A,B可逆,若取P=B,Q=A-1,则PAQ=BAA-1=B,即A与B等价,可见(D).成立
矩阵乘法不满足交换律,故(A)不成立;
任意两个同阶可逆矩阵,不一定是相似的或合同的,因此(B)、(C)均不成立.
(5)设两个随机变量X与Y相互独立且同分布:
P{X=-1}=P{Y=-1}=1,
P{X=1}=P{Y=1}=
则下列各式中成立的是
(A)P{X=Y}=1
(C)P{X+Y=0}=1
(B)P{X=Y}=1
(D)P{XY=1}=1
44
【答】应选(A).
而
P{X=Y}=P{X=1,Y=1}+P{X=-1,Y=-1}
=1⨯1+1⨯1=1,
22222
P{X+Y=0}=1,P{XY=1}=1.
24
=⎡-x
-x⎤-1
三、在经济学中,称函数Q(x)
A⎣δK
(1-δ)L⎦x为固定替代弹性生产函数,而称函
数Q=AKδL1-xδ为Cobb-Douglas生产函数(简称C-D生产函数)
试证明:
当x→0时,固定替代弹性生产函数变为C-D同阶生产函数,即有
limQ(x)=Q
→
x0
【详解】而且
lnQ(x)=lnA-1ln⎡⎣δK-x+(1-δ)L-x⎤⎦
x
ln⎡⎣δK-x+(1-δ)L-x⎤⎦
-δK-xlnK-(1-δ)L-xlnL
limln
x→0x
δK-x
+(1-δ)L-x
=-δlnK-(1-δ)lnL=-ln(AKδL1-δ)
所以
limlnQ(x)=lnA+ln(KδL1-δ)=ln(AKδL1-δ)
于是
limQ(x)=AKδL1-δ
=Q.
四、设u=
f(x,y,z)有连续偏导数,y=y(x)和z=z(x)分别是由方程exy-y=0和
ex-xz=0所确定,求du.
dx
du∂f∂fdy∂fdz
=+⋅+⋅,
(*)
dx∂x∂ydx∂zdx
由exy-y=0得exy⎛y+xdy⎞-dy=0
⎜dx⎟dx
⎝⎠
dy=
yexy
1-xexy
=y2
1-xy
由ex-xz=0,得ezdz-z-xdz=0
dxdx
dz=z=z
dxez-xxz-z
代入(*)式得
du=∂f+y2∂f+z∂f
.
dx∂x1-xy∂yxz-x∂z
五、一商家销售某种商品的价格满足关系p=7-0.2x(万元/吨),x为销售量(单位:
吨),商品的成本函数是C=3x+1(万元)
(1)若每销售一吨商品,政府要征税t(万元),求该商家获最大利润时的销售量;
(2)t为何值时,政府税收总额最大.
【详解】
(1)设T为总税额,则T=tx;
商品销售总收入为
R=px=(7-0.2x)x=7x-0.2x2,
利润函数为
π=R-C-T=7x-0.2x2-3x-1-tx=-0.2x2+(4-t)x-1.
dπ
令=0,即-0.4x+4-t=0,
d2π
由于dx2
=-0.4x<
0,因此x=5(4-t)即为最大利润时的销售量.
(3)将x=5(4-t)代入T=tx,得
T=t⋅5(4-t)=10t-5t2
22
由dT=10-5t=0得惟一驻点t=2
dt
d2T
由于dt2
=-5<
0,可见当t=2时T有极大值,此时政府税收总额最大.
六、设函数f(x)在[0,+∞)上连续、单调不减且f(x)≥0.试证函数
⎪
⎧1⎰xtnf(t)dt,
x>
F(x)=⎨x0
⎪⎩0,
x=0
在[0,+∞)上连续且单调不减(其中n>
0)
【详解1】显然当x>
0时F(x)连续,又
⎰xtnf(t)dt
limF(x)=lim0=limxnf(x)=0=F(0)
x→0+
x→0+x
故F(x)在[0,+∞)上连续对于x∈(0,+∞)有
xn+1f(x)-⎰xtnf(t)dtxn+1f(x)-ξnf(ξ)x
F'
0=
x2x2
xn+1f(x)-ξnf(ξ)
xn⎡⎣f(x)-f(ξ)⎤⎦+f(ξ)(xn-ξn)
xx
其中0<
ξ<
x.
因此,由f(x)在[0,+∞)上连续、单调不减知f(x)≥
F(x)在[0,+∞)上连续且单调不减.
【详解2】连续性的证明同上,由于
f(ξ),又xn>
ξn,于是F'
(x)≥0故
xn+1f(x)-xtnf(t)dt
=
x2
⎰x⎡xnf(x)-tnf(t)⎤dt
⎰xxnf(x)dx-⎰xtnf(t)dt
=0⎣⎦
≥0.
可见F(x)在[0,+∞)上连续且单调不减.
七、从点P(1,0)做x轴垂线,交抛物线y=x2于点Q(1,1);
再从Q做抛物线的切线与x轴
111
交于P2,然后又从P2做x的垂线,交抛物线于点Q2,依次重复上述过程得到一系列的点
P1,Q1,P2,Q2,…Pn,Qn….
(1)求OPn;
(2)求级数Q1P1+Q2P2+…+QnPn+…的和。
其中n(n≥1)为自然数,而M1M2表示点M1与M2之间的距离.
【详解】
(1)由y=x2,得y'
=2x对于任意a(0<
a≤1),抛物线y=x2在点(a,a2)处的切线方程为
y-a2=2a(x-a)
且该切线与x轴的交点为⎛a,0⎞,故由OP=1,可见
⎜2⎟1
OP=1OP=1,
2212
OP=1OP
=1⋅1=1
322
……
2222
OPn
=1.2n-1
2n-2
(2)由于QP=(OP)2=⎛1⎞,
nnn⎜⎟
∞∞⎛1⎞2n-214
⎜2⎟
可见∑QnPn=∑⎜2⎟=
2=3.
n=1
n=1⎝⎠
1-⎛1⎞
八、设函数f(t)在[0,+∞)上连续,且满足方程
f(t)=e4πt2+⎰⎰
⎛1x2+y2⎞dxdy,
求f(t).
x2+y2≤4t2⎝⎠
【详解】显然f(0)=1,由于
f⎛1
x2+y2⎞dxdy=2πd
2tf⎛1r⎞rdr=2π
2trf⎛1r⎞dr
⎰⎰⎜2
⎟⎰0
⎰0⎜2⎟
⎰0⎜2⎟
x2+y2≤4t2
可见
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
f(t)=e4πt2+2π
两边求导得
(t)=8πte4πt2+8πtf(t)
解上述关于f(t)的一阶线性非齐次微分方程,得
f(t)=⎛8πte4πt2e-⎰8πtdtdt+C⎞e⎰8πtdt=(8π
⎰tdt+C)e4πt2=(4πt2+C)e4πt2,
代入f(0)=1,得C=1.
因此f(t)=(4πt2+1)e4πt2.
九、设A为n阶非奇异矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵
⎛EO⎞⎛Aα⎞
P=⎜-αTA*
A⎟,Q=⎜αTb⎟,
⎝⎠⎝⎠
其中A*是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位阵
a)计算并化简PQ;
b)证明:
矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1αT≠b.
【详解】
(1)因为A*A=AA*=
AE,故
⎛EO⎞⎛A
α⎞⎛Aα⎞
PQ=⎜-αTA*
A⎟⎜αT
b⎟=⎜-αTA*A+AαT
-αTA*A+bA⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎛Aα⎞
=⎜0A(b-αTA-1α)⎟.
(2)由
(1)可得
PQ=
A2(b-αTA-1α),
而PQ=
P⋅Q,且P=
A≠0,
故Q=
A(b-αTA-1α)
由此可知Q
≠0的充分必要条件为αTA-1α≠b,即矩阵Q可逆的充分必要条件是
αTA-1αT≠b.
十、设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3;
矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是
α=(-1,-1,1)T,α=(1,-2,-1)T.
(1)求A的属于特征值3的特征向量;
(2)求矩阵A.
【详解】
(1)设A的属于特征值3的特征向量为
3123
α=(x,x,x)T.
因为对于实对称矩阵,属于不同特征值的特征向量相互正交,所以
T=0和αTα=0,
即(x1,x2,x3)是齐次线性方程组
⎧-x1-x2+x3=0
⎨x-2x+x=0
⎩123
的非零解,解上面方程组,得其基础解系为(1,0,1)T.
因此A的属于特征值3的特征向量为α=k(1,0,1)T(k为任意非零常数).
c)令矩阵
⎡-111⎤
P=⎢-1-21⎥,
⎢⎥
⎢⎣1
则有
⎡100⎤
P-1AP=⎢020⎥
⎢⎣003⎥⎦
-11⎥⎦
A=P⎢020⎥P-1.
⎡-1-11⎤
⎢333⎥
⎢111⎥
P-1=⎢
--⎥,
⎢636⎥
⎢11⎥
⎢0⎥
⎣⎢22⎥⎦
⎡100⎤⎡13-25⎤
A=P⎢020⎥P-1=1⎢-2102⎥.
6⎢5213⎥
十一、假设随机变量X的绝对值不大于1;
P{X=-1}=1,P{X=1}=1;
在事件
84
{-1<
X<
1}出现的条件下,X在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比,试求X的分布函数F(x)=P{X≤x}.
【详解】由条件可知,当x<
-1时,F(x)=0;
F(-1)=1,
8
P{-1<
1}=1-1-1=5,
848
易见,在X的值属于(-1,1)的条件,事件{-1<
X≤x}(-1<
1)的条件概率为
X≤x|-1<
1}=x+1,
于是对于-1<
1,有
X≤x}=P{-1<
X≤x,-1<
1}
=P{-1<
1}P{-1<
=5⨯x+1=5x+5,8216
对于x≥1,有F(x)=1.
从而
⎧0,
F(x)=⎪5x+7,
x<
-1,
-1<
1,
⎪16
⎪⎩1,
x≥1.
十二、游客乘电梯从底层到电视塔层观光;
电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行,假设一游客在早晨八点的第X分钟到达底层候梯处,且X在[0,60]上服从均匀
分布,求该游客等候时间的数学期望.
【详解】已知X在[0,60]上服从均匀分布,其密度为
⎧1,0≤x≤60,
X~f(x)=⎪60
其他.
设Y是游客等候电梯的时间(单位:
分),则
⎧5-X,0<
X≤5,
⎪25-X,5<
X≤25,
Y=g(x)=
⎪55-X,25<
X≤55,
⎪⎩65-X,55<
X≤60.
E(Y)=E⎡⎣g(X)⎤⎦
=⎰+∞g(x)f(x)dx=1⎰60g(x)dx
-∞600
=1⎡⎰5(5-x)dx+⎰25(25-x)dx+⎰55(55-x)dx+⎰60(65-x)dx⎤
60⎢⎣052555⎥⎦
=11.67.
十三、两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布;
首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动.
试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差.
【详解】以X1和X2表示先后开动的记录仪无故障工作的时间,则T=X1+X2,由条件概率知Xi(i=1,2)的概率密度为
()
⎧5e-5x,
pix=⎨
⎩0,
x≤0.
两台仪器无故障工作时间X1和X2显然相互独立.
利用二独立随机变量和密度公式求T的概率密度,对于t>
0,有
f(t)=
p(x)p
(t-x)dx=25
te-5xe-5x(t-x)dx=25e-5t
tdx=25te-5t.
+∞
⎰-∞12⎰0⎰0
当t≤0时,显然f(t)=0于是,得
⎧25te-5t,
ft=⎨
t>
t≤0.
由于Xi服从参数为λ=5的
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- 1997 考研 数学 三真题