高等数学上复旦第三版课后习题答案.docx
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高等数学上复旦第三版课后习题答案
高等数学上(修订版)(复旦出版社)
习题六无穷数级答案详解
1.写出下列级数的一般项:
(1);
(2);
(3);
解:
(1);
(2);
(3);
2.求下列级数的和:
(1);
(2);
(3);
解:
(1)
从而
因此,故级数的和为
(2)因为
从而
所以,即级数的和为.
(3)因为
从而,即级数的和为.
3.判定下列级数的敛散性:
(1);
(2);
(3);
(4);
解:
(1)
从而,故级数发散.
(2)
从而,故原级数收敛,其和为.
(3)此级数为的等比级数,且|q|<1,故级数收敛.
(4)∵,而,故级数发散.
4.利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性:
(1);
(2);
(3).
解:
(1)当P为偶数时,
当P为奇数时,
因而,对于任何自然数P,都有
,
ε>0,取,则当n>N时,对任何自然数P恒有成立,由柯西审敛原理知,级数收敛.
(2)对于任意自然数P,都有
于是,ε>0(0<ε<1),N=,当n>N时,对任意的自然数P都有成立,由柯西审敛原理知,该级数收敛.
(3)取P=n,则
从而取,则对任意的n∈N,都存在P=n所得,由柯西审敛原理知,原级数发散.
5.用比较审敛法判别下列级数的敛散性.
(1);
(2)
(3);(4);
(5);(6).
解:
(1)∵
而收敛,由比较审敛法知收敛.
(2)∵
而发散,由比较审敛法知,原级数发散.
(3)∵
而收敛,故也收敛.
(4)∵
而收敛,故收敛.
(5)当a>1时,,而收敛,故也收敛.
当a=1时,,级数发散.
当0 综上所述,当a>1时,原级数收敛,当0 (6)由知而发散,由比较审敛法知发散. 6.用比值判别法判别下列级数的敛散性: (1); (2); (3); (1) 解: (1),, 由比值审敛法知,级数收敛. (2) 所以原级数发散. (3) 所以原级数发散. (4) 故原级数收敛. 7.用根值判别法判别下列级数的敛散性: (1); (2); (3); (4),其中an→a(n→∞),an,b,a均为正数. 解: (1), 故原级数发散. (2), 故原级数收敛. (3), 故原级数收敛. (4), 当ba时,>1,原级数发散;当b=a时,=1,无法判定其敛散性. 8.判定下列级数是否收敛若收敛,是绝对收敛还是条件收敛 (1); (2); (3); (4);(5); (6). 解: (1),级数是交错级数,且满足,,由莱布尼茨判别法级数收敛,又是P<1的P级数,所以发散,故原级数条件收敛. (2),为交错级数,且,,由莱布尼茨判别法知原级数收敛,但由于 所以,发散,所以原级数条件收敛. (3)民,显然,而是收敛的等比级数,故收敛,所以原级数绝对收敛. (4)因为. 故可得,得, ∴,原级数发散. (5)当α>1时,由级数收敛得原级数绝对收敛. 当0<α≤1时,交错级数满足条件: ;,由莱布尼茨判别法知级数收敛,但这时发散,所以原级数条件收敛. 当α≤0时,,所以原级数发散. (6)由于 而发散,由此较审敛法知级数 发散. 记,则 即 又 由 知,由莱布尼茨判别法,原级数收敛,而且是条件收敛. 9.判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性. (1),x∈[-3,3]; (2),x∈[0,1]; (3),x∈(-∞,+∞);(4),|x|<5; (5),x∈(-∞,+∞) 解: (1)∵,x∈[-3,3], 而由比值审敛法可知收敛,所以原级数在[-3,3]上一致收敛. (2)∵,x∈[0,1], 而收敛,所以原级数在[0,1]上一致收敛. (3)∵,x∈(-∞,+∞), 而是收敛的等比级数,所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛. (4)因为,x∈(-5,5), 由比值审敛法可知收敛,故原级数在(-5,5)上一致收敛. (5)∵,x∈(-∞,+∞), 而是收敛的P-级数,所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛. 10.若在区间Ⅰ上,对任何自然数n.都有|Un(x)|≤Vn(x),则当在Ⅰ上一致收敛时,级数在这区间Ⅰ上也一致收敛. 证: 由在Ⅰ上一致收敛知,ε>0,N(ε)>0,使得当n>N时,x∈Ⅰ有 |Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)|<ε, 于是,ε>0,N(ε)>0,使得当n>N时,x∈Ⅰ有 |Un+1(x)+Un+2(x)+…+Un+p(x)|≤Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)≤|Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)|<ε, 因此,级数在区间Ⅰ上处处收敛,由x的任意性和与x的无关性,可知在Ⅰ上一致收敛. 11.求下列幂级数的收敛半径及收敛域: (1)x+2x2+3x3+…+nxn+…; (2); (3);(4); 解: (1)因为,所以收敛半径收敛区间为(-1,1),而当x=±1时,级数变为,由知级数发散,所以级数的收敛域为(-1,1). (2)因为 所以收敛半径,收敛区间为(-e,e). 当x=e时,级数变为;应用洛必达法则求得,故有由拉阿伯判别法知,级数发散;易知x=-e时,级数也发散,故收敛域为(-e,e). (3)级数缺少偶次幂项.根据比值审敛法求收敛半径. 所以当x2<1即|x|<1时,级数收敛,x2>1即|x|>1时,级数发散,故收敛半径R=1. 当x=1时,级数变为,当x=-1时,级数变为,由知,发散,从而也发散,故原级数的收敛域为(-1,1). (4)令t=x-1,则级数变为,因为 所以收敛半径为R=1.收敛区间为-1 当t=1时,级数收敛,当t=-1时,级数为交错级数,由莱布尼茨判别法知其收敛. 所以,原级数收敛域为0≤x≤2,即[0,2] 12.利用幂级数的性质,求下列级数的和函数: (1); (2); 解: (1)由知,当|x|=<1时,原级数收敛,而当|x|=1时,的通项不趋于0,从而发散,故级数的收敛域为(-1,1). 记易知的收敛域为(-1,1),记 则 于是,所以 (2)由知,原级数当|x|<1时收敛,而当|x|=1时,原级数发散,故原级数的收敛域为(-1,1),记,易知级数收敛域为(-1,1),记,则, 故即,,所以 13.将下列函数展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间: (1)f(x)=ln(2+x); (2)f(x)=cos2x; (3)f(x)=(1+x)ln(1+x);(4); (5);(6); (7)f(x)=excosx;(8). 解: (1) 由于,(-1 故,(-2≤x≤2) 因此,(-2≤x≤2) (2) 由,(-∞ 得 所以 ,(-∞ (3)f(x)=(1+x)ln(1+x) 由,(-1≤x≤1) 所以 (-1≤x≤1) (4) 由于 (-1≤x≤1) 故 (-1≤x≤1) (5) (6)由,x∈(-∞,+∞) 得,x∈(-∞,+∞) 所以 (7)因为为的实部, 而 取上式的实部.得 (-∞ (8)由于 |x|<1 而,所以 (|x|<2) 14.将展开成(x+4)的幂级数. 解: 而 又 所以 15.将函数展开成(x-1)的幂级数. 解: 因为 所以 (-1 即16.利用函数的幂级数展开式,求下列各数的近似值: (1)ln3(误差不超过); (2)cos20(误差不超过) 解: (1),x∈(-1,1) 令,可得, 故 又 故 . 因而取n=6则 (2) ∵; 故 17.利用被积函数的幂级数展开式,求定积分 (误差不超过)的近似值. 解: 由于,(-1≤x≤1) 故 而,,. 因此 18.判别下列级数的敛散性: (1); (2); (3). 解: (1)∵ 而 故级数发散,由比较审敛法知原级数发散. (2)∵ 由比值审敛法知级数收敛,由比较审敛法知,原级数收敛. (3)∵ 由 知级数收敛,由比较审敛法知,原级数收敛. 19.若存在,证明: 级数收敛. 证: ∵存在,∴M>0,使|n2Un|≤M, 即n2|Un|≤M,|Un|≤ 而收敛,故绝对收敛. 20.证明,若收敛,则绝对收敛. 证: ∵ 而由收敛,收敛,知 收敛,故收敛, 因而绝对收敛. 21.若级数与都绝对收敛,则函数项级数在R上一致收敛. 证: Un(x)=ancosnx+bnsinnx,x∈R有 由于与都绝对收敛,故级数收敛. 由魏尔斯特拉斯判别法知,函数项级数在R上一致收敛. 22.计算下列级数的收敛半径及收敛域: (1); (2); (3) 解: (1) ∴, 又当时,级数变为, 因为 所以当,级数发散,故原级数的收敛半径,收敛域(-,). (2) 故, 又∵. 所以当(x+1)=±2时,级数发散, 从而原级数的收敛域为-2 (3) ∴,收敛区间-2 当x=-1时,级数变为,其绝对收敛,当x=3时,级数变为,收敛. 因此原级数的收敛域为[-1,3]. 23.将函数展开成x的幂级数. 解: 由于 所以 (|x|≤1) 24.判别下列级数在指定区间上的一致收敛性: (1),x∈[-3,+∞); (2),x∈(2,+∞); (3),x∈(-∞,+∞); 解: (1)考虑n≥2时,当x≥-3时,有 而收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数在[-3,+∞)上一致收敛. (2)当x>2时,有 由知级数收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数在(2,+∞)上一致收敛. (3)x∈R有 而收敛,由魏尔斯特拉斯判别法知,级数在(-∞,+∞)上一致收敛. 25.求下列级数的和函数: (1); (2); (3);(4). 解: (1)可求得原级数的收敛半径R=1,且当|x|=1时,级数是收敛的交错级数,故收敛域为[-1,1] 记 则S1(0)=0, 所以 即S1(x)=arctanx,所以S(x)=xarctanx,x∈[-1,1]. (2)可求得原级数的收敛半径R=1,且当|x|=1时,原级数发散.记则 ,即,S(0)=0 所以,(|x|<1) (3)由知收敛域为(-∞,+∞).记则,所以 ,(-∞ (4)由知收敛半径R=1,当x=1时,级数变为,由知级数收敛,当x=-1时,级数变为是收敛的交错级数,故收敛域为[-1,1]. 记则S(0)=0,, (x≠1) 所以 即 即 当x≠0时,,又当x=1时,可求得S (1)=1 (∵) 综上所述 26.设f(x)是周期为2π的周期函数,它在(-π,π]上的表达式为 试问f(x)的傅里叶级数在x=-π处收敛于何值 解: 所给函数满足狄利克雷定理的条件,x=-π是它的间断点,在x=-π处,f(x)的傅里叶级数收敛于 27.写出函数的傅里叶级数的和函数. 解: f(x)满足狄利克雷定理的条件,根据狄利克雷定理,在连续点处级数收敛于f(x),在间断点x=0,x=±π处,分别收敛于,,,综上所述和函数. 28.写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数,其中f(x)在[-π,π)上的表达式为: (1) (2); (3) (4). 解: (1)函
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