当x<0时,01.
三、指数函数的应用
例1、根据指数函数的性质,判断下列题目中两值的大小:
(第一题学生尝试判断,第二题给出书写步骤)
例2、求使不等式4x>32成立的x的集合;
点评:
同底的两个幂的大小比较方法
(1)构造函数并指明函数的单调性
(2)比较自变量的大小
(3)得函数值的大小
教材第73页,练习1的第1题
借助多媒体,在电脑中将几个图同时展示于一个坐标系,从而使学生较直观地认识到指数函数的图象。
由具体的几个指数函数的图像发现指数函数的图像特征。
通过引导学生分析图像特征,帮助学生总结函数性质,培养学生形数结合的能力。
以表格的形式归纳总结指数函数的性质,以展示研究函数的一般方法:
研究定义域;值域;单调性等。
简单应用指数函数单调性判断大小。
让学生体验用指数函数的单调性比较两数大小,
检验课堂掌握情况。
小
结
以上我们研究指数函数经历了一个由“具体”(研究几个具体的指数函数)到“一般”(归纳指数函数的一般性质),再由“一般”到“具体”(应用指数函数的一般性质研究解决指数函数的具体问题)的思维过程。
主要学习内容
1.指数函数的图像;
2.指数函数的性质;
3.指数函数性质的简单应用
概括、总结一堂课主要的思想方法与内容,便于学生系统性考虑所学知识。
作
业
1、课本:
77页A组:
4、5
2、思考题:
(1)求函数、和的定义域和值域。
(2)求函数的单调区间及最值。
五、教学设计说明
1、探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决,转而由“形”——图象突破,体会数形结合的思想。
通过研究几个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律,从而归纳指数函数的一般性质,经历一个由特殊到一般的探究过程。
让学生在研究出指数函数的一般性质后进行总结归纳函数的其他性质,从而对函数进行较为系统的研究。
2、进行一些巩固练习从而能对函数进行较为基本的应用。
六、课后反思
七、板书设计
课题
一、指数函数图像和性质二、指数函数性质的简单应用
例1
例2
点评:
学生练习区域
2019-2020年高中数学3.3.3函数的最大(小)值与导数学案新人教A版选修1-1
►基础梳理
1.函数的最大值与最小值.
一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.函数的最值必在极值点或区间端点取得.
2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的一般步骤:
(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;
(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
3.极值与最值的区别与联系:
(1)极值与最值是不同的,极值只是相对一点附近的局部性质,而最值是相对于整个定义域或所研究问题的整体性质;
(2)函数的最值通常在极值点或区间端点取得,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值;
(3)求函数的最值一般需要先确定函数的极值.因此函数极值的判断是关键,如果仅仅是求最值,可将导数值为零的点或区间端点的函数值直接求出并进行比较,也可以根据函数的单调性求最值.,►自测自评
1.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)(C)
A.有最大值,但无最小值
B.有最大值,也有最小值
C.无最大值,也无最小值
D.无最大值,但有最小值
解析:
f′(x)=3x2-3.当|x|<1,f′(x)<0,
∴函数f(x)在(-1,1)上单调递减,故选C.
2.函数f(x)=-x2+4x+1在区间[3,5]上的最大值和最小值分别是4,-4.
解析:
令f′(x)=-2x+4=0,则x=2,f(x)在[3,5]上是单调函数,排除f
(2),比较f(3),f(5),即得.
3.函数y=xlnx在[1,3]内的最小值为0.
解析:
y′=lnx+1,∵x∈[1,3],∴y′>0,
∴函数y=xlnx在[1,3]内是递增函数,
∴当x=1时,ymin=0.
1.函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是(C)
A.1,-1 B.1,-17
C.3,-17D.9,-19
解析:
根据求最值的步骤,直接计算即可得答案为C.
2.已知f(x)=x2-cosx,x∈[-1,1],则导函数f′(x)是(D)
A.仅有最小值的奇函数
B.既有最大值又有最小值的偶函数
C.仅有最大值的偶函数
D.既有最大值又有最小值的奇函数
解析:
求导可得f′(x)=x+sinx,显然f′(x)是奇函数,令h(x)=f′(x),则h(x)=x+sinx,求导得h′(x)=1+cosx,当x∈[-1,1]时,h′(x)>0,所以h(x)在[-1,1]上单调递增,有最大值和最小值.
所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数.故选D.
3.函数f(x)=x2+ax+1在点[0,1]上的最大值为f(0),则实数a的取值范围是________.
解析:
依题意有:
f(0)≥f
(1),即1≥2+a,所以a≤-1.
答案:
(-∞,-1]
4.求下列函数的最值:
(1)f(x)=x3+2x,x∈[-1,1];
(2)f(x)=(x-1)(x-2)2,x∈[0,3],
解析:
(1)当x∈[-1,1]时,f′(x)=3x2+2>0,
则f(x)=x3+2x在x∈[-1,1]上单调递增.因而f(x)的最小值时f(-1)=-3,最大值是f
(1)=3.
(2)因为f(x)=(x-1)(x-2)2=x3-5x2+8x-4,所以f′(x)=(3x-4)(x-2)
令f′(x)=(3x-4)(x-2)=0,得x=或x=2,
∵f(0)=-4,f=,f
(2)=0,f(3)=2,
∴f(x)的最大值是2,最小值时-4.
5.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],求f(m)+f′(n)的最小值.
解析:
求导得f′(x)=-3x2+2ax,
由函数f(x)在x=2处取得极值知f′
(2)=0,
即-3×4+2a×2=0,∴a=3.
由此可得f(x)=-x3+3x2-4,
f′(x)=-3x2+6x,
易知f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.
又f′(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1.
∴当n∈[-1,1]时,f′(n)min=f′(-1)=-9.
故f(m)+f′(n)的最小值为-13.
1.函数f(x)=x3+在(0,+∞)上的最小值是(A)
A.4B.5
C.3D.1
2.当x∈[-1,2]时,x3-x2-2x<m恒成立,则实数m的取值范围是(B)
A.[2,+∞)B.(2,+∞)
C.(-∞,2]D.(-∞,2)
解析:
这是函数最值的简单应用,
令f(x)=x3-x2-2x,x∈[-1,2],则问题转化为求f(x)得最大值,不难求得f(x)max=f
(2)=2,则m>2.
3.函数y=的最大值为(A)
A.e-1B.e
C.e2D.
解析:
令y′===0,x=e,当x>e时,y′<0;当x<e时,y′>0,y极大值=f(e)=,在定义域内只有一个极值,所以ymax=.
4.在区间上,函数f(x)=x2+px+q与g(x)=2x+在同一点取得相同的最小值,那么f(x)在上的最大值是(D)
A.B.
C.8D.4
解析:
由g′(x)=2-=0,得,x=1,因为g=5,g
(1)=3,g
(2)=,所以,当x=1时,g(x)min=g
(1)=3.于是-=1,1+p+q=3,解得,p=-2,q=4.因此,f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3,故当x=2时,f(x)max=f
(2)=4.
5.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)·f′(x)≥0,则必有(C)
A.f(0)+f
(2)<2f
(1)
B.f(0)+f
(2)≤2f
(1)
C.f(0)+f
(2)≥2f
(1)
D.f(0)+f
(2)>2f
(1)
解析:
依题意,当x≥1时,f′(x)≥0,函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;当x<1时,f′(x)≤0,f(x)在(-∞,1)上