新课标版高考文数44解三角形.docx
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新课标版高考文数44解三角形
§4.4 解三角形
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
正弦定
理与余
弦定理
①理解正弦定理与余弦定理的推导过程;②掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形的度量问题
2018课标全国Ⅱ,7,5分
余弦定理的应用
倍角公式
★★☆
2018课标全国Ⅰ,16,5分
正弦定理与余弦定理的应用
三角形的面积公式
2017课标全国Ⅰ,11,5分
正弦定理的应用
诱导公式,两角和的正弦公式
2017课标全国Ⅱ,16,5分
正弦定理与余弦定理的应用
诱导公式,两角和的正弦公式
解三角
形及其
应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
2018课标全国Ⅲ,11,5分
三角形的面积
余弦定理
★★★
2016课标全国Ⅲ,9,5分
解三角形
正弦定理
2016课标全国Ⅱ,15,5分
解三角形
正弦定理,同角三角函数基本关系
分析解读 从近几年的高考试题来看,本节内容一直是高考考查的重点和热点,命题呈现出如下特点:
1.利用正、余弦定理解决平面图形的计算问题时,要能在平面图形中构造出三角形;2.解三角形时,观察图形中的几何条件,再利用数形结合求解;3.正、余弦定理与三角形的面积公式、两角和与差的三角公式、二倍角公式结合起来考查,注意公式之间的联系,会用方程和函数思想解决三角形的最值问题,常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题或填空题中,分值为5分或12分.
破考点
【考点集训】
考点一 正弦定理与余弦定理
1.(2015广东,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cosA=且b A.3B.2C.2D. 答案 C 2.(2019届云南昆明十中10月月考,7)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bsinA=a,则角B等于( ) A.B.C.D. 答案 B 3.(2018河南中原名校第三次联考,7)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=2A,a=1,b=,则c=( ) A.1B.C.2D.2 答案 C 4.在△ABC中,若sinC(cosA+cosB)=sinA+sinB,则△ABC的形状是( ) A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 答案 B 考点二 解三角形及其应用 1.(2018湖北荆州一模,8)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=2,cosA=,sinB=2sinC,则△ABC的面积是( ) A.B.C.D. 答案 A 2.(2016课标全国Ⅲ,9,5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sinA=( ) A.B.C.D. 答案 D 炼技法 【方法集训】 方法1 利用正、余弦定理判断三角形形状的方法 1.(2018千校联盟12月模拟,10)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=b(cosA+cosB),则△ABC为( ) A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形 答案 D 2.(2018江西南城一中期中,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,则这个三角形必含有( ) A.90°的内角B.60°的内角 C.45°的内角D.30°的内角 答案 B 方法2 求解三角形实际问题的方法 1.(2018福建莆田月考,8)A在塔底D的正西面,在A处测得塔顶C的仰角为45°,B在塔底D的南偏东60°处,在塔顶C处测得B的俯角为30°,A,B间距84米,则塔高为( ) A.24米B.12米 C.12米D.36米 答案 C 2.(2019届宁夏顶级名校10月联考,17)风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树,记作A,B,P,Q,湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近.欲测量P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离,现可测得A,B两点间的距离为100m,∠PAB=75°,∠QAB=45°,∠PBA=60°,∠QBA=90°,如图所示,求P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离各为多少. 解析 在△PAB中,∠APB=180°-(75°+60°)=45°, 由正弦定理得=⇒AP=50. 在△QAB中,∠ABQ=90°,AB=100, ∴AQ=100,又知∠PAQ=75°-45°=30°, 则由余弦定理得PQ2=(50)2+(100)2-2×50×100·cos30°=5000, ∴PQ=50. 因此,P,Q两棵树之间的距离为50m,A,P两棵树之间的距离为50m. 3.(2018河南商丘九校12月联考,20)如图所示,某公路AB一侧有一块空地△OAB,其中OA=3km,OB=3km,∠AOB=90°,当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN,其中M,N都在边AB上(M,N不与A,B重合,M在A,N之间),且∠MON=30°. (1)若M在距离A点2km处,求点M,N之间的距离; (2)为节省投入资金,人工湖△OMN的面积要尽可能小,试确定M的位置,使△OMN的面积最小,并求出最小面积. 解析 (1)在△OAB中,因为OA=3,OB=3,∠AOB=90°,所以∠A=60°. 在△OAM中,由已知及余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO·AM·cosA=7, 所以OM=,所以cos∠AOM==, 在△OAN中,sin∠ONA=sin(∠A+∠AON)=sin(∠AOM+90°)=cos∠AOM=. 在△OMN中,由=得MN=×=. 故点M,N之间的距离为km. (2)设∠AOM=θ,0<θ<. 在△OAM中,由=得OM=. 在△OAN中,由=得ON==. 所以S△OMN=OM·ON·sin∠MON =··· == ==, 因为0<θ<,所以2θ+∈, 所以当2θ+=,即θ=时,S△OMN取最小值,为. 所以设计∠AOM=时,△OMN的面积最小, 最小面积是km2. 过专题 【五年高考】 A组 统一命题·课标卷题组 考点一 正弦定理与余弦定理 1.(2018课标全国Ⅱ,7,5分)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=( ) A.4B.C.D.2 答案 A 2.(2017课标全国Ⅰ,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,则C=( ) A.B.C.D. 答案 B 3.(2016课标全国Ⅰ,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,则b=( ) A.B.C.2D.3 答案 D 4.(2018课标全国Ⅰ,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为 . 答案 5.(2017课标全国Ⅱ,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B= . 答案 60° 考点二 解三角形及其应用 1.(2018课标全国Ⅲ,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=( ) A.B.C.D. 答案 C 2.(2016课标全国Ⅱ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b= . 答案 3.(2014课标Ⅰ,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN= m. 答案 150 4.(2015课标Ⅰ,17,12分)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC. (1)若a=b,求cosB; (2)设B=90°,且a=,求△ABC的面积. 解析 (1)由题设及正弦定理可得b2=2ac. 又a=b,可得b=2c,a=2c. 由余弦定理可得cosB==.(6分) (2)由 (1)知b2=2ac. 因为B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2. 故a2+c2=2ac,得c=a=. 所以△ABC的面积为1.(12分) 思路分析 (1)由题意和正弦定理可得b2=2ac,当a=b时,c=,代入cosB=计算可得结果; (2)由题意可得b2=2ac=a2+c2,解方程可得c的值,代入S=ac即可. 5.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC. (1)求; (2)若∠BAC=60°,求∠B. 解析 (1)由正弦定理得 =,=. 因为AD平分∠BAC,BD=2DC, 所以==. (2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°, 所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=cos∠B+sin∠B. 由 (1)知2sin∠B=sin∠C, 所以tan∠B=,即∠B=30°. B组 自主命题·省(区、市)卷题组 考点一 正弦定理与余弦定理 1.(2016山东,8,5分)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA).则A=( ) A.B.C.D. 答案 C 2.(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB= ,c= . 答案 ;3 3.(2015重庆,13,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=-,3sinA=2sinB,则c= . 答案 4 4.(2017天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2-b2-c2). (1)求cosA的值; (2)求sin(2B-A)的值. 解析 (1)由asinA=4bsinB及=,得a=2b. 由ac=(a2-b2-c2)及余弦定理,得cosA===-. (2)由 (1),可得sinA=,代入asinA=4bsinB, 得sinB==. 由 (1)知,A为钝角,所以cosB==. 于是sin2B=2sinBcosB=,cos2B=1-2sin2B=, 故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=×-×=-. 考点二 解三角形及其应用 1.(2018北京,14,5分)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B= ;的取值范围是 . 答案 ;(2,+∞
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