部分习题及其解答Word格式.docx

部分习题及其解答Word格式.docx

《部分习题及其解答Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《部分习题及其解答Word格式.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们满足平衡方程。

在y0的边界上，有边界条件

（y）y0q，（xy）y00

所给的应力分量xy自动满足上面的第二个条件。

将y的表达式代入上面的第一个条

件，得

ABq

（1）

在上斜面上，有yxtg，所以斜面上的应力分量可以简化成

yzxz0,xydX3yX

和i分别是坝身和水的比重。

求常数a、b、c、d，使上述应力分量满足边界条件。

在x0的边界上，有边界条件

（x）x01y，（xy）xO0

将题中的应力分量代入上面两式，可解得：

a0，b1。

在左侧的斜面上，xytg，外法向方向余弦为

nicos，门2sin，g0

把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件ijnj0，可解得:

dictg2，cctg（2ictg2）。

物体的表面由f（x,y,z）0确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷p（x,y,z），试写出其边界条件。

物体表面上任意一点的外法向单位矢量为

n=或ni

Jff

按题意，边界条件为

^npn

因此

dfPf

即df

.ff.ff

上式的指标形式为

ijf,jPf,i。

如图所示，半径为a的球体，一半沉浸在密度为的液体内，试写出该球的全部边界条件。

rXiC十Xi

n或m

aaa

当z0时，有边界条件

^n0即dr0或

当z0时，球面上的压力为

ngzn即dr

球面的外法向单位矢量为

ijxj0。

gz，其中g为重力加速度，边界条件为

gzr或ijXjgzx。

物体的应力状态为ij

力，即存在一个函数

ij，其中为矢径r的函数。

（1）证明物体所受的体积力是有势

，使f;

（2）写出物体表面上的面力表达式。

（1）应力场必须满足平衡方程，所以

fd

I,eiI

所以，只要令

，就有

f

（2）表面上的面力为

TndnI

n或

T

nj0

已知六个应力分量ji

中的3i

0，

求应力张量的不变量并导岀主应力公式。

应力张量的三个不变量为:

I1xy，I2xyxy，130。

特征方程是

3Il2I2

（2

I

I2）0

上式的三个根即三个主应力为

0和

xy

2

2.

xy

已知三个主应力为!

、

2和

3，

在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三角形,

其法向单位矢量为

罷n

n3

3

求八面体各个面上的正应力

和剪应力0O

oijninj

3（1

3），

222123

T小jei，T2TT厲了3，

后032）2（2~3）2（3~17

）2（

所以，三个主应力是

方向是n，又因为2

。

由上面的结论可知，和i对应的主

是重根，所以和n垂直的任何方向都是主方向。

第五章

把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为jCijkiki，试写岀柔度系数张量Cjki的具

体表达式。

橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，在上面用铁盖封闭，铁盖上受均布压力q作用，如图

所示。

设铁盒和铁盖可以作为刚体看待，而且橡皮与铁盒之间无摩擦力。

试求铁盒内侧面所受的压力、橡皮块的体积应变和橡皮中的最大剪应力。

取压力q的方向为z的方向，和其垂直的两个相互垂直的方向为x、y的方向。

按题意有

证明：

对线性各向同性的弹性体来说，应力主方向与应变主方向是一致的。

非各向同性体是否具有这样的性质试举例说明。

对各向同性材料，设n是应力的主方向，是相应的主应力，则

）n

由此可知，n也是应变的主方向。

类似地可证，应变主方向也是应力主方向。

因此,应力主方向和应变主方向一致。

下面假定材料性质具有一个对称面。

设所取的坐标系是应变主坐标系，且材料性质关于Oxy平面对称。

因为xy0，所以从式得

xyC41xC42yC43z

xy0，即

若应变主坐标系也是应力主坐标系，则

C41xC42yC43z0

上式只能在特殊的应变状态下才能成立。

总之，对各向异性材料，应力主方向和应变主方向不一定相同。

对各向同性材料，试写岀应力不变量和应变不变量之间的关系。

解：

由式可得主应力和主应变之间的关系

2i

第八早

为什么同时以应力、应变和位移15个量作未知函数求解时，应变协调方程是自动满足的

因为应变和位移满足几何方程，所以应变协调方程自动满足。

设

uf

ge2yg2（Ae

Be2）

其中f、

g、A、B为调和函数，

问常数

为何值时，上述的u为无体力弹性力学

的位移场。

（

Ae）ek（e「

Ae）

ekAiei1jejAije,0

xkXi

Xk

同理（Be?

）0。

由上面两式及f和g是调和函数可得

u

（1）g,2

（1）g,2

（1）

因f、g、A、B为调和函数，所以

2u2g,2

（2）

将式

（1）、

（2）代入无体力的

Lams-Navier方程，得

[（）

（1）2]g,2

上式成立的条件是

（）

（1）20

已知弹性体的应力场为

x2x,y2yx,

xy2x2y，zxzy0，z2zo

（1）求此弹性力学问题的体力场；

（2）本题所给应力分量是否为弹性力学问题的应力场解：

证明下述Betti互易公式

蠅％Sfii%dVT%idSf%idV，

SVSV

其中T、仏、Ui和T、%、1%分别为同一弹性体上的两组面力、体力和位移。

证：

其中2p0，2R0。

无体力的Lame-Navier方程为

（）（u）2u0

—1—，所以LamONavier方程可以写成

12

2urJr（u）0

上述应力分量满足杆侧面无面力的边界条件。

杆端面的边界条件为

xdA0，xZdA0,

xzyz0，xdA0，xZdA0，xydAM

AAA

式（a）表示的应力分量满足上述端面条件。

所以，所给的位移分量是受纯弯直杆的解。

图表示一矩形板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压，求应力和位移。

显然板中的应力状态是均匀的。

容易验证下述应力分量

xq1，yq2，zxyyzzx0

满足平衡方程、协调方程和边界条件，即是本问题的解。

由胡克定律可求得应变为

1

1q2）e1e1^（q2qje2e2e（q1q2）e?

e3

利用题的结果，可求得位移为

uU。

3。

（rr。

）

q2）（xXo）q

E©

qi）（yy%

E（qq2）（zz0）e3

弹性半空间z0，比重为，边界位移和应力。

由问题的对称性，可以假设

uv0，ww（z）

把上述位移分量代入LameNavier方程，可以发现有两个自动满足，余下的一个变成d2wdz2

解之得

z0上作用有均布压力q，设在zh处w0，求

wz2AzB

2

（2）

其中的A、B是待定常数。

由已知条件得

w（h）LTAhB

h2Ah

w

2（

应力分量为

h）2A（z

h）

dw[dz[

rz

A],

）dW（

0边界上的边界条件为:

在z

一个成为

zA],xyyzzx0。

T20,T3q。

前两个条件自动满足，最后

（2）Aq即A

（12）q

2G

（1）

所以最后得

W刖（"

h）2q],

设一等截面杆受轴向拉力p作用，杆的横截面积为A,求应力分量和位移分量。

设Z轴和

杆的轴线重合，原点取在杆长的一半处；

并设在原点处，uvw0，且

z

答案：

当体力为零时，应力分量为

xA[y2

（x2

y2）]，

yz

yA[x2

（y2

x2）]，

zx

zA（x2

y2）,

2A

式中，A0。

试检查它们是否可能发生解：

其中、是待定的常数。

长方形板ABCD，厚度为h，两对边分别受均布的弯矩Mi和M2作用，如图所示。

验证应力分量

所给应力分量满足无体力的平衡方程和协调（Beltrami-Michell）方程，也满足板

面上无面力的边界条件。

板边CD上的边界条件可以放松为

hh

2-2

xy0,xz0,hxdz0，hxZdzMi

7■?

容易验证应力分量满足上述条件。

同样可以说明应力分量满足板边

上的边界条件。

所以，所给的应力分量是所提空间问题的解答。