第3章 第2节 21 一元二次不等式的解法Word文件下载.docx
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{x|x<
x1或x>
x2}
R
ax2+bx+c<
{x|x1<
x<
∅
知识点三 一元二次不等式的解法
思考 根据上表,尝试解不等式x2+2>
3x.
答案 先化为x2-3x+2>
0.
∵方程x2-3x+2=0的根x1=1,x2=2,
∴原不等式的解集为{x|x<
1或x>
2}.
梳理 解一元二次不等式的步骤
(1)化为基本形式ax2+bx+c>
0或ax2+bx+c<
0(其中a>
0);
(2)计算Δ=b2-4ac,以确定一元二次方程ax2+bx+c=0是否有解;
(3)有根求根;
(4)根据图像写出不等式的解集.
1.mx2+5x<
0是一元二次不等式.(×
)
2.解不等式ax2+bx+c>
0,即求横坐标x取哪些值时,函数y=ax2+bx+c的图像在x轴上方.(√)
3.解不等式的结果要写成集合形式的原因是集合的元素具有确定性,可以严谨地界定哪些元素是解,哪些不是.(√)
类型一 一元二次不等式的解法
命题角度1 二次项系数大于0
例1 求不等式4x2-4x+1>
0的解集.
考点 一元二次不等式的解法
题点 一元二次不等式的解法
解 因为Δ=(-4)2-4×
4×
1=0,
所以方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=
,
所以原不等式的解集为
.
反思与感悟 当所给不等式是非一般形式的不等式时,应先化为一般形式,在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中,要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像.
跟踪训练1 求不等式2x2-3x-2≥0的解集.
解 ∵2x2-3x-2=0的两解为x1=-
,x2=2,且a=2>
0,
∴不等式2x2-3x-2≥0的解集是
命题角度2 二次项系数小于0
例2 解不等式-x2+2x-3>
解 不等式可化为x2-2x+3<
因为Δ=(-2)2-4×
3=-8<
0,方程x2-2x+3=0无实数解,
而y=x2-2x+3的图像开口向上,
所以原不等式的解集是∅.
反思与感悟 将二次项系数小于0的不等式进行转化过程中要注意不等号的变化,化归为二次项系数大于0的不等式,是为了减少记忆负担.
跟踪训练2 求不等式-3x2+6x>
2的解集.
解 不等式可化为3x2-6x+2<
∵Δ=(-6)2-4×
3×
2=12>
0,∴x1=1-
,x2=1+
∴不等式-3x2+6x>
2的解集是
命题角度3 含参数的一元二次不等式
例3 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<
题点 含参数的一元二次不等式解法
解 当a<
0时,不等式可化为
(x-1)>0,
∵a<
0,∴
<
1,∴不等式的解集为
当a=0时,不等式可化为-x+1<
0,解集为{x|x>1}.
当a>0时,不等式可化为
(x-1)<
当0<
a<
1时,
>1,不等式的解集为
当a=1时,不等式的解集为∅.
当a>1时,
1,不等式的解集为
综上,当a<
0时,解集为
;
当a=0时,解集为{x|x>1};
1时,解集为
当a=1时,解集为∅;
当a>1时,解集为
反思与感悟 解含参数的不等式,可以按常规思路进行:
先考虑开口方向,再考虑判别式的正负,最后考虑两根的大小关系,当遇到不确定因素时再讨论.
跟踪训练3 解关于x的不等式(x-a)(x-a2)<
0或a>1时,有a<
a2,此时,不等式的解集为{x|a<
a2};
1时,有a2<
a,此时,不等式的解集为{x|a2<
a};
当a=0或a=1时,原不等式无解.
0或a>1时,原不等式的解集为{x|a<
1时,原不等式的解集为{x|a2<
当a=0或a=1时,解集为∅.
类型二 “三个二次”间对应关系的应用
例4 已知关于x的不等式x2+ax+b<
0的解集为{x|1<
2},试求关于x的不等式bx2+ax+1>
考点 “三个二次”的对应关系的应用
题点 由“三个二次”的对应关系求参数值
解 由不等式x2+ax+b<
2},
知方程x2+ax+b=0的根为x1=1,x2=2.
由根与系数的关系,可得
即
∴不等式bx2+ax+1>
即2x2-3x+1>
由2x2-3x+1>
0,解得x<
或x>
1.
∴bx2+ax+1>
0的解集为
反思与感悟 给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
跟踪训练4 已知不等式ax2-bx+2<
2},求a,b的值.
解 方法一 由题设条件知a>
0,且1,2是方程ax2-bx+2=0的两实根.
由根与系数的关系,知
解得
方法二 把x=1,2分别代入方程ax2-bx+2=0中,
得
1.不等式2x2-x-1>
0的解集是( )
A.
B.{x|x>1}
C.{x|x<
1或x>2}D.
答案 D
解析 ∵2x2-x-1=(2x+1)(x-1),
∴由2x2-x-1>
0,得(2x+1)(x-1)>
解得x>
1或x<
-
,∴不等式的解集为
2.若不等式ax2+8ax+21<
0的解集是{x|-7<
-1},那么a的值是( )
A.1B.2C.3D.4
答案 C
解析 由题意可知-7和-1为方程ax2+8ax+21=0的两个根.
∴-7×
(-1)=
,故a=3.
3.不等式x2+x-2<
0的解集为____________.
答案 {x|-2<
1}
解析 由x2+x-2<
0,得-2<
1,故其解集为{x|-2<
1}.
4.解关于x的不等式:
x2+(1-a)x-a<
解 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a.
因为函数y=x2+(1-a)x-a的图像开口向上,所以
①当a<
-1时,原不等式的解集为{x|a<
-1};
②当a=-1时,原不等式的解集为∅;
③当a>
-1时,原不等式的解集为{x|-1<
a}.
1.解一元二次不等式的常见方法
(1)图像法:
由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤:
①化不等式为标准形式:
0(a>
0)或ax2+bx+c<
②求方程ax2+bx+c=0(a>
0)的根,并画出对应函数y=ax2+bx+c图像的简图;
③由图像得出不等式的解集.
(2)代数法:
将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.
当m<
n时,若(x-m)(x-n)>
0,则可得解集为{x|x>
n或x<
m};
若(x-m)(x-n)<
0,则可得{x|m<
n}.
有口诀如下:
大于取两边,小于取中间.
2.解含参数的一元二次不等式,仍可按以前的步骤,即第一步先处理二次项系数,第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根,第三步若有根,区分根的大小写出解集,若无根,结合图像确定解集是R还是∅.
在此过程中,因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时,为了确定展开讨论.
3.由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.
一、选择题
1.不等式6x2+x-2≤0的解集为( )
B.
C.
D.
答案 A
解析 因为6x2+x-2≤0⇔(2x-1)·
(3x+2)≤0,
2.一元二次方程ax2+bx+c=0的根为2,-1,则当a<
0时,不等式ax2+bx+c≥0的解集为( )
A.{x|x<
2}B.{x|x≤-1或x≥2}
C.{x|-1<
2}D.{x|-1≤x≤2}
解析 由题意知,-
=1,
=-2,
∴b=-a,c=-2a,
又∵a<
∴不等式ax2+bx+c≥0可化为x2-x-2≤0,
∴-1≤x≤2.
3.若0<
t<
1,则关于x的不等式(t-x)
>
解析 ∵0<
1,∴
t.
∴(t-x)
0⇔(x-t)
0⇔t<
4.函数y=
的定义域为( )
A.[-7,1]B.(-7,1)
C.(-∞,-7]∪[1,+∞)D.(-∞,-7)∪(1,+∞)
答案 B
解析 由7-6x-x2>
0,得x2+6x-7<
0,即(x+7)(x-1)<
0,所以-7<
1,故选B.
5.不等式
2的解集为( )
A.{x|x≠-2}B.R
C.∅D.{x|x<
-2或x>
2}
解析 ∵x2+x+1>
0恒成立,
∴原不等式⇔x2-2x-2<
2x2+2x+2⇔x2+4x+4>
0⇔(x+2)2>
0,∴x≠-2.
∴不等式的解集为{x|x≠-2}.
6.设函数f(x)=
则不等式f(x)>
f
(1)的解集是( )
A.(-3,1)∪(3,+∞)
B.(-3,1)∪(2,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,3)
解析 f
(1)=12-4×
1+6=3,
当x≥0时,令x2-4x+6>
3,解得x>
3或0≤x<
1;
当x<
0时,令x+6>
3,解得-3<
所以f(x)>
f
(1)的解集是(-3,1)∪(3,+∞).
7.已知一元二次不等式f(x)<
,则f(10x)>
0的解集为( )
-lg2}
B.{x|-1<
C.{x|x>
D.{x|x<
解析 由题知,一元二次不等式f(x)>
,即-1<
10x<
,解得x<
-lg2.
8.已知f(x)=(x-a)(x-b)+2(a<
b),且α,β(α<
β)是方程f(x)=0的两根,则α,β,a,b的大小关系是( )
A.a<
α<
β<
bB.a<
b<
β
C.α<
βD.α<
b
题点 “三个二次”的对应关系的应用
解析 设g(x)=(x-a)(x-b),
则g(x)向上平移2个单位长度得到f(x)的图像,
由图易知a<
b.
二、填空题
9.不等式-1<
x2+2x-1≤2的解集是_________________________.
题点 一元二次不等式组的解法
答案 {x|-3≤x<
-2或0<
x≤1}
解析 ∵
∴-3≤x<
x≤1.
10.不等式x2-3|x|+2≤0的解集为__________.
答案 {x|-2≤x≤-1或1≤x≤2}
解析 原不等式等价于|x|2-3|x|+2≤0,即1≤|x|≤2.
当x≥0时,1≤x≤2;
0时,-2≤x≤-1.
所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤-1或1≤x≤2}.
11.已知x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0的解,则k的取值范围是______________.
题点 一元二次不等式的定义
答案 (-∞,2]∪[4,+∞)
解析 x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0的解,
把x=1代入不等式得k2-6k+8≥0,解得k≥4或k≤2.
三、解答题
12.已知全集U={x|x2>
1},集合A={x|x2-4x+3<
0},求∁UA.
考点 一元二次不等式的应用
题点 一元二次不等式解集与集合运算
解 依题意,∁UA中的元素应满足
解得∁UA={x|x<
-1或x≥3}.
13.若不等式ax2+bx+c≥0的解集为
,求关于x的不等式cx2-bx+a<
解 由ax2+bx+c≥0的解集为
知a<
0,且关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别为-
,2,
∴
∴b=-
a,c=-
a,
∴不等式cx2-bx+a<
0可变形为
x2-
x+a<
0,即2ax2-5ax-3a>
0,∴2x2-5x-3<
0,解得-
3,
∴所求不等式的解集为
四、探究与拓展
14.解不等式|x-2|-|x-5|≥x2-8x+14.
解 设f(x)=|x-2|-|x-5|.
①当x≤2时,f(x)=-3,而x2-8x+14=(x-4)2-2≥-2,
∴f(x)≥x2-8x+14无解;
②当2<
5时,f(x)=2x-7,
原不等式等价于
解得3≤x<
5;
③当x≥5时,f(x)=3,原不等式等价于
解得5≤x≤4+
综上,原不等式的解集为[3,4+
].
15.已知集合A={x|x2-x-12<
0},集合B={x|x2+2x-8>
0},集合C={x|x2-4ax+3a2<
0,a≠0},若C⊇(A∩B),求实数a的取值范围.
解 A={x|-3<
4},B={x|x<
-4或x>
∴A∩B={x|2<
4},
要使C⊇(A∩B),
需
≤a≤2,即a的取值范围为
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- 第3章 第2节 21 一元二次不等式的解法 一元 二次 不等式 解法
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