数学教案等比数列高一数学教案模板文档格式.docx
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教学目标
1.通过教学使学生理解等比数列的概念,推导并掌握通项公式.
2.使学生进一步体会类比、归纳的思想,培养学生的观察、概括能力.
3.培养学生勤于思考,实事求是的精神,及严谨的科学态度.
教学重点,难点
重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.
教学用具
投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
讨论、谈话法.
教学过程()
一、提出问题
给出以下几组数列,将它们分类,说出分类标准.(幻灯片)
①-2,1,4,7,10,13,16,19,…
②8,16,32,64,128,256,…
③1,1,1,1,1,1,1,…
④243,81,27,9,3,1,,,…
⑤31,29,27,25,23,21,19,…
⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…
⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,…
⑧0,0,0,0,0,0,0,…
由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列,也可能分为等差、等比两类),统一一种分法,其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨,得出定义后再考察③是否为等比数列).
二、讲解新课
请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性,教师指出实际生活中也有许多类似的例子,如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫,再假设开始有一个变形虫,经过一个单位时间它分裂为两个变形虫,经过两个单位时间就有了四个变形虫,…,一直进行下去,记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性,这是我们将要研究的另一类数列——等比数列.(这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步)
等比数列(板书)
1.等比数列的定义(板书)
根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系,尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美,多数情况下,有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义,标注出重点词语.
请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比,并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列,教师再追问,还有没有其他的例子,让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式,学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列,让学生讨论后得出结论:
当时,数列既是等差又是等比数列,当时,它只是等差数列,而不是等比数列.教师追问理由,引出对等比数列的认识:
2.对定义的认识(板书)
(1)等比数列的首项不为0;
(2)等比数列的每一项都不为0,即;
问题:
一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件?
(3)公比不为0.
用数学式子表示等比数列的定义.
是等比数列①.在这个式子的写法上可能会有一些争议,如写成,可让学生研究行不行,好不好;
接下来再问,能否改写为是等比数列?
为什么不能?
式子给出了数列第项与第项的数量关系,但能否确定一个等比数列?
(不能)确定一个等比数列需要几个条件?
当给定了首项及公比后,如何求任意一项的值?
所以要研究通项公式.
3.等比数列的通项公式(板书)
问题:
用和表示第项.
①不完全归纳法
.
②叠乘法
,…,,这个式子相乘得,所以.
(板书)
(1)等比数列的通项公式
得出通项公式后,让学生思考如何认识通项公式.
(板书)
(2)对公式的认识
由学生来说,最后归结:
①函数观点;
②方程思想(因在等差数列中已有认识,此处再复习巩固而已).
这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量,知三求一,这是公式最简单的应用,请学生举例(应能编出四类问题).解题格式是什么?
(不仅要会解题,还要注意规范表述的训练)
如果增加一个条件,就多知道了一个量,这是公式的更高层次的应用,下节课再研究.同学可以试着编几道题.
三、小结
1.本节课研究了等比数列的概念,得到了通项公式;
2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比;
3.用方程的思想认识通项公式,并加以应用.
四、作业(略)
五、板书设计
三.等比数列
1.等比数列的定义
2.对定义的认识
3.等比数列的通项公式
(1)公式
(2)对公式的认识
探究活动
将一张很大的薄纸对折,对折30次后(如果可能的话)有多厚?
不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米.
参考答案:
30次后,厚度为,这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度.如果纸再薄一些,比如纸厚0.001毫米,对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了.还记得国王的承诺吗?
第31个格子中的米已经是1073741824粒了,后边的格子中的米就更多了,最后一个格子中的米应是粒,用计算器算一下吧(用对数算也行).
二倍角的正弦、余弦、正切(第一课时)
(一)教学具准备
投影仪或多媒体设备
(二)教学目标
1.掌握、、公式的推导,明确的取值范围.
2.运用二倍角公式求三角函数值.
(三)教学过程
1.设置情境
师:
我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式,请大家回忆一下这组公式的来龙去脉,并请一个同学把这六个公式写在黑板上,
生:
很好,对于这些公式大家一方面要从公式的推导上去理解它,另一方面要从公式的结构特点上去记忆,还要注意公式的正用、逆用和变用.今天,我们继续学习二倍角的正弦、余弦和正切公式
2.探索研究
请大家想一想,在公式、、中对、如何合理赋值,才能出现、、的表达式,并请同学把对应的等式写在黑板上.
可在、、中,令,就能出现、、,对应表达式为:
即:
很好,看来本节课的主要任务,已经被大家轻松完成了.对于公式,我们似乎要注意些什么?
大家想一想要关注什么?
要使有意义及,有意义.
有意义即,.
,即,也就是,可变为.
要使有意义,则须.
综合起来就是,且,.当时,虽然的值不存在,但的值是存在的,这时求的值可利用诱导公式,即.
对于,还有没有其他的形式?
有(板书)
∵
∴或
∴
(板书三个公式,并告诉学生公式记号分别为、、)对二倍角公式大家要注意以下问题.
(1)用和表示、,用表示,即用单角的三角函数表示复角的三角函数.
(2)有三种形式,是有条件的.
3.例题分析
【例1】已知,.求,,的值.
解:
因为,.所以
于是
说明:
本题也可按下列程序来做,请大家比较方法之优劣.
∵,
∴,且,
【例2】不查表求值:
(1);
(2);
(3);
(4).
解:
(1)
(2)
(3)
(4)
逆用公式的先决条件是认识公式的本质,要善于把表象的东西拿开,正确捕捉公式原形以便合理运用公式.
【例3】求证:
引导学生观察式子两边的结构,提出证题的方向.
左边都是单角的三角函数,右边是二倍角.又因左边比右边明显复杂得多,所以应由左边证向右边,注意把单角的三角函数变为二倍角.
(板书)
证明:
左边
右边
所以原式成立
【例4】化简:
.
这道题给我们的感觉是有些无从下手,很难看出有什么公式可以直接使用.两个角与似乎还有一线希望,但由于受函数名称限制难以发挥它的作用,大家都来想想看,有什么办法可以打破这一僵局(请同学们讨论)?
在同角三角函数的化简中,如果一个式子有弦、有切,我们可以把切化成弦.
好的,我们来尝试(板书)
本题在尝试把正切化为弦(正、余弦)后果然获得成功,其实把正切化为弦就是一条重要思想,请同学们切记“遇切、割化弦”这一规律.另外本题的解答过程还反映了逆用和角公式的重要性.希望大家一并记下.
练习(投影)
(1)化简
(2)
(3)若,则
答案:
(1);
(2);
(3)8
4.总结提炼
(1)在两角和的三角函数公式、、中,当时,就可以得到二倍角的三角函数公式、、,说明后者是前者的特例.
(2)、中角没有限制条件,而中,只有和时,才成立.
(3)二倍角公式不仅限于是的二倍形式,其他如是的2倍,是的二倍,是的二倍等等都是适用的,要熟悉这些多种形式的两个角的倍数关系,才能熟练地应用好二倍角公式,这是灵活运用公式的关键.
有三种形式,要依据条件,灵活选用公式.另外,逆用此公式时,更要注意结构形式.
(四)板书设计
二倍角公式
应注意几个问题:
例1
例2
例3
例4
演练反馈
总结提炼
一.教学目标
1.理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义,并能用数学符号表示向量;
2.理解向量的几何表示,会用字母表示向量;
3.了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义,并会判断向量的平行、相等、共线;
4.通过对向量的学习,使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识,培养学生进行唯物辩证思想.
二.教学具准备
直尺、投影仪.
三.教学过程
1.设置情境
(边画图边讲解)美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令:
向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹(精度10米左右,射程超过2000公里),试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标?
不能,因为没有给定发射的方向.
现实生活中还有哪些量既有大小又有方向?
哪些量只有大小没有方向?
力、速度、加速度等有大小也有方向,温度和长度只有大小没有方向.
对!
力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.数学中用点表示位置,用射线表示方向.常用一条有向线段表示向量.在数学中,通常用点表示位置,用射线表示方向.
(1)意义:
既有大小又有方向的量叫向量。
例:
力、速度、加速度、冲量等
(2)向量的表示方法:
①几何表示法:
点和射线
有向线段——具有一定方向的线段
有向线段的三要素:
起点、方向、长度
符号表示:
以A为起点、B为终点的有向线段记作(注意起讫).
②字母表示法:
可表示为(印刷时用黑体字)
例
用1cm表示5nmail(海里)
(3)模的概念:
向量的大小——长度称为向量的模。
记作:
||,模是可以比较大小的
注意:
①数量与向量的区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;
向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初,向量就成为一套优良通性的数学体系,用以研究空间性质。
2.探索研究(学生自学概念)
(1)介绍向量的一些概念
长度为零的向量叫什么向量?
如何表示?
长度为1的向量叫做什么向量?
是不是只有一个?
(学生看书回答)
长度为零的向量叫做零向量,表示为:
0;
长度等于1的向量叫做单位向量,有许多个,每个方向都有一个.
满足什么条件的两个向量是相等向量?
符号如何表示?
单位向量是相等向量吗?
如果两个向量大小相等且方向相同,那么这两个向量叫做相等向量,a=b单位向量不一定是相等向量,单位向量的方向不一定相同.
有一组向量,它们的方向相同或相反,那么这组向量有什么关系?
平行.
我们把方向相同或相反的两个向量叫做平行向量,符号如何表示?
如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点,这时它们是不是平行向量?
这时各向量的终点之间有什么关系?
是平行向量,a//b,各向量的终点都在同一条直线上.
由此,我们把平行向量又叫做共线向量.
(2)例题分析
【例1】判断下列命题真假或给出问题的答案
(1)平行向量的方向一定相同?
(2)不相等的向量一定不平行.
(3)与零向量相等的向量是什么向量?
(4)与任何向量都平行的向量是什么向量?
(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?
(6)两个非零向量相等的充要条件是什么?
(7)共线向量一定在同一直线上吗?
(1)根据定义:
平行向量可以方向相反,故命题
(1)为假;
(2)平行向量没有长、短要求,故命题
(2)为假;
(3)只有零向量;
(4)零向量;
(5)平行向量;
(6)模相等且方向相同;
(7)不一定,只要它能被平移成共线就行.
零向量是向量,只不过它的起、终点重合.依定义、其长度为零.
【例2】如图,设是正六边形的中心,分别写出图中与向量、,相等的向量.
练习:
(投影)在上题中
变式一,与向量长度相等的向量有多少个?
(11个)
变式二,是否存在与向量长度相等,方向相反的向量?
(存在)
变式三,与向量共线的向量有哪些?
(有、和)
3.演练反馈(投影)
(1)下列各量中是向量的是(
)
A.动能 B.重量 C.质量 D.长度
(2)等腰梯形中,对角线与相交于点,点、分别在两腰、上,过且,则下列等式正确的是(
A. B. C. D.
(3)物理学中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共线向量
(1)B;
(2)D;
(3)相等,相反
(1)描述一个向量有两个指标:
模、方向.
(2)平行概念不是平面几何中平行线概念的简单移植,这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量,它与长度无关,它与是否真的不在一条直线上无关.
(3)向量的图示,要标上箭头及起、终点,以体现它的直观性.
四.板书设计
向
量
1.向量的定义
2.表示法
6.例题
3.零向量和单位向量
7.演练反馈
4.平行向量(共线向量)
8.总结提炼
5.相等向量
教学过程
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