第6章 网络模型文档格式.docx

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两村庄之间修建公路的费用（万元）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12.8

10.5

9.6

8.5

7.7

13.8

12.7

13.1

12.6

11.4

13.9

11.2

8.6

7.5

8.3

14.8

15.7

8.9

8.0

13.2

12.4

9.3

8.8

13.6

15.8

9.8

8.2

11.7

9.7

13.4

14.6

9.1

【解】属于最小树问题。

用加边法，得到下图所示的方案。

最低总成本74.3万元。

6.6在图6－45中，求A到H、I的最短路及最短路长，并对图（a）和（b）的结果进行比较。

图6－45

【解】图6－45（a）:

A到H的最短路PAH={A,B,F,H},{A,C,F,H}最短路长22；

A到I的最短路PAI={A,B,F,I},{A,C,F,I}最短路长21。

对于图6－45（b）：

A到H的最短路PAH={A,C,G,F,H},最短路长21；

A到I的最短路PAI={A,C,G,F,I},最短路长20；

结果显示有向图与无向图的结果可能不一样。

6.7已知某设备可继续使用5年，也可以在每年年末卖掉重新购置新设备。

已知5年年初购置新设备的价格分别为3.5、3.8、4.0、4.2和4.5万元。

使用时间在1～5年内的维护费用分别为0.4、0.9、1.4、2.3和3万元。

试确定一个设备更新策略，使5年的设备购置和维护总费用最小。

【解】设点vj为第j年年初购置新设备的状态，（i，j）为第i年年初购置新设备使用到第j年年初，弧的权为对应的费用（购置费＋维护费），绘制网络图并计算，结果见下图所示。

总费用最小的设备更新方案为：

第一种方案，第1年购置一台设备使用到第5年年末；

第二种方案，第1年购置一台设备使用到第2年年末，第3年年初更新后使用到第5年年末。

总费用为11.5万元。

6.8图6－46是世界某6大城市之间的航线，边上的数字为票价（百美元），用Floyd算法设计任意两城市之间票价最便宜的路线表。

【解】教师可利用模板求解：

data\chpt6\ch6.xls

L1

v1

v2

v3

v4

v5

v6

5.6

100

4.8

14

12

L2

13

7.8

L3

最优票价表：

v1、v2、…、v6到各点的最优路线图分别为：

6.9设图6－46是某汽车公司的6个零配件加工厂，边上的数字为两点间的距离（km）。

现要在6个工厂中选一个建装配车间。

（1）应选那个工厂使零配件的运输最方便。

（2）装配一辆汽车6个零配件加工厂所提供零件重量分别是0.5、0.6、0.8、1.3、1.6和1.7吨，运价为2元/吨公里。

应选那个工厂使总运费最小。

【解】

（1）利用习题6.8表L3的结果

Max

选第1个工厂最好。

（2）计算单件产品的运价，见下表最后一行。

计算单件产品的运费，见下表最后一列。

单件产品运费

84.88

89.16

82.16

71.96

81.92

82.2

运价

1.2

1.6

2.6

3.2

3.4

选第4个工厂最好。

6.10如图6－47，

（1）求v1到v10的最大流及最大流量；

（2）求最小割集和最小割量。

【解】给出初始流如下

第一轮标号：

得到一条增广链，调整量等于5，如下图所示

调整流量。

第二轮标号：

得到一条增广链，调整量等于2，如下图所示

第三轮标号：

得到一条增广链，调整量等于3，如下图所示

第四轮标号：

不存在增广链，最大流量等于45，如下图所示

取

，最小截集{（3,7）,（4,7）,（6,9）,（8,10），最小截量等于45。

6.11将3个天然气田A1、A2、A3的天然气输送到2个地区C1、C2，中途有2个加压站B1、B2，天然气管线如图6－48所示。

输气管道单位时间的最大通过量cij及单位流量的费用dij标在弧上（cij,dij）。

求

（1）流量为22的最小费用流；

（2）最小费用最大流。

图6－48

【解】虚拟一个发点和一个收点

T6.11－1

得到流量v＝22的最小费用流，最小费用为271。

求解过程参看习题部分答案PPT文档。

T6.11－13

最小费用最大流如下图，最大流量等于27，总费用等于351。

6.12如图6－46所示，

（1）求解旅行售货员问题；

（2）求解中国邮路问题。

图6-46

（1）旅行售货员问题。

距离表C

∞

在C中行列分别减除对应行列中的最小数，得到距离表C1。

距离表C1

0.6

0.4

2.8

11

7.2

由距离表C1，v1到v4，H1={v1,v4,v3,v5,v6,v2,v1},C（H1）=5.6+3+4.8+9+4+8.8=35.2

去掉第1行第四列，d41=∞，得到距离表C2。

得到距离表C2

距离表C2的每行每列都有零，H2=H1={v1,v4,v3,v5,v6,v2,v1}就是总距离最小的Hamilton回路，C（H1）=35.2。

（2）中国邮路问题。

虚拟一条边

取回路H1＝{v1，v3，v4}，C（H1）=9+5+3=17,C（v1，v3）=9>

C（H1）/2，调整回路。

所有回路满足最短回路的准则，上图是最短的欧拉回路，其中边（v1,v4）和（v4,v3）各重复一次。

6.13思考与简答题

（1）运筹学研究的图有哪些特征。

（2）什么是树形图。

（3）简述求有向图最短路的Dijkstra算法的基本步骤。

（4）Dijkstra算法在求有向图与无向图最短路时有什么不同。

（5）什么是网络最大流问题？

最大流与最大流量有何区别。

（6）简述最大流问题Ford-Fulkerson标号算法的基本思路。

（7）求最小树有哪几种方法，分别简述各种方法的求解思路。

（8）简述增广链的含义。

（9）什么是最小割集，最小割集的经济含义是什么。

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