高一数学对数函数教案Word下载.docx
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说明:
这里,以学生熟悉的问题为背景,以旧有知识为基点,顺利切入学生的最近发展区,使学生亲历了对数函数模型的形成过程,初步理解对数函数的概念,感受研究对数函数的意义。
2、探究新知
根据上面的讨论,引出对数函数的定义。
(一般地,函数y=logax(a0,a≠1)叫做对数函数,它的定义域是(0,+∞))
在类比联想的基础上,进行以下探究:
探究1:
函数
y=logax
与函数
y=a(a0,a≠1)的定义域、值域之间有什么关系?
定义域、值域是函数的两大要素,再加上对数函数和指数函数的关系,因此,有必要对此问题进行讨论。
这里,让学生探究并汇报问题的结果(y=logax的定义域和值域分别是y=ax的值域和定义域。
)(显示)通过比较,进一步感受指数函数与对数函数的内在联系。
探究2:
描点作图,画出下列两组函数的图象,并观察各组函数的图象,给出它们之间的关系.
?
1?
x
(1)y=2,y=log2x;
(2)y=?
y=log1x.
2?
2
图像是研究、验证性质的工具之一,也是函数的表示方法之一。
这里,要求学生自主绘出y=log2x,y=log1x的图像(指数函数的图像给出)。
目的有三:
一是培养
2
学生的动手能力,二是让学生进一步感受指数函数与对数函数的关系,三是为下面学生探索对数函数的性质奠定基础。
在学生观察、讨论或动手翻折的基础上得出图像之间的关系:
关于直线y=x对称,并由特殊到一般,得出(显示):
当a0,a≠1时,函数y=ax与
y=logax的图像关于直线y=x
对称。
根据探究1、2的讨论,适时给出反函数的概念(不展开讲述),指出指数函数和对数函数互为反函数。
(我们把y=ax称为y=logax的反函数,y=logax称为y=ax的反函数,即它们互为反函数。
)
一般地,函数y=f(x)的反函数记作:
y=f-1(x).
探究3:
观察图形,类比联想指数函数的性质,你发现了对数函数的那些性质?
说明:
这是本节课的重点。
教学中,我准备这样处理:
(1)留给学生足够的时间进行探索、交流、讨论。
探索性质可以借助学生自己绘制的图像,也可利用老师给出的图像。
(显示)
(2)引导学生在类比联想指数函数的图像特征和函数性质基础上,由特殊到一般,充分发表意见,并与周围的人交流思维的过程和结果。
通过观察、分析、类比、交流讨论,使原来相互矛盾的意见、模糊不清的知识得以明朗、一致。
(3)让学生把自己总结出的结果和图像“整合”成知识图表,使学生头脑中的知识进一步条理化、系统化。
表:
对数函数的图像与性质
探究4:
再仔细观察对数函数图象,你还有其他新的发现吗?
在学生深入观察、讨论、交流的基础上,总结自己的发现,这里主要指出两点发现:
(1)从特殊到一般,得出:
函数y=logax与函数y=log1x的图象关于x轴对称;
a
(2)
(2)底数a的变化对对数函数图象的影响:
当a1时,a越大,图像在第一象限内曲线越靠近x轴;
在第四象限内的曲线越靠近y轴。
当0a1时,a越小,图像在第四象限内曲线越靠近x轴;
在第一象限内的曲线越靠近y轴。
对第二个发现,在学生充分发言后,教师通过课件演示,进一步印证学生的发现,并给学生更加直观的感受。
3、例题讲述
例1求下列函数的定义域
(1)y=log0.2(4-x);
(2)y=loga
a0,a≠1).
通过例1要让学生明确,求解对数函数定义域问题的关键是要抓住“真数大于零”,当真数为某一代数式时,可将其看作一个整体单独提出来求其大于零的解集即该函数的定义域
例2利用对数函数的性质,比较下列各组数中两个数的大小⑴log23.4,log28.5⑵log0.31.8,log0.32.7
⑶loga5.1,loga5.9(a>0,a≠1)例3比较下列各组中两个值的大小:
例2例3考察学生利用对数函数性质解决问题的能力,讲解时,先让学生回顾利用指数函数比较大小时的处理方法,然后引导学生采用类似的方法解决本题。
即:
如果两个对数值同底,应构造一个同底的对数函数,利用它的单调性直接判断;
如果底不同,应构造两个对数函数,借助两个对数函数的单调性和中间值“1”或“0”进行判断。
本题解决后,让学生反思明白,要想利用性质解决问题,关键要做到“脑中有图”,以“形”促“数”;
同时,形成这类问题的一般解题流程:
“识别――判断――比较”。
其中,识别,指“模式识别”,这也是波利亚所提倡的一种重要数学解题思想。
在教学中渗透这样的数学思想,是发展学生数学素质的一项重要的基本训练。
4、巩固练习
根据课堂具体情况,处理课后相关练习题。
5、课堂小结
主要请学生总结并说出本节课学到了什么?
还有哪些需要加强的地方?
6、布置作业
(1)p692,3.
(2)课后思考题:
(p70,ex9)如图,已知函数
y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx
的图像分别
是c1,c2,c3,c4,试判断1,1,a,b,c,d的大小。
设置这样的两道课后思考题,使得课堂教学得以很好的延续与深入。
【篇二:
高一必修1对数函数新课教案】
对数函数
【课堂导入】
新知探究:
思考:
细胞分裂时,由1个分裂成两个,2个分裂成4个,1个这样的细胞分裂x次,得到的细胞个数是y=2x,如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以得到1万个细胞,那么分裂次数与细胞个数的关系为x=log2y,这是一个对数函数
【一、定义】
1、对数函数:
一般的,我们把函数y=logax(a0,a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数定义域为(0,+∞)
一个函数是对数函数的条件:
1)、系数为1
2)、自变量x出现在真数位置上,且x0
3)、底数a0,a≠1
2、常用对数函数:
y=lgx
3、自然对数函数:
y=lnx
例:
求下列函数的定义域
16-5x-x21、y=2、y=log1(x-1)lg(x+3)
1x-1
3、y=log2(x2-4x-5)4、y=
24x-1
动动手:
画出y=log2x和y=log1x的图象
【二、对数函数的图象和性质】
1、图象
2、性质
1)、定义域:
(0,+∞)
2)、值域:
r
3)、过点(1,0)
4)、x∈(0,1)时,y0,x∈(1,+∞)时,y0,在(0,+∞)上是增函数x∈(0,1)时,y0,x∈(1,+∞)时,y0,在(0,+∞)上是减函数
5)、y=logax和y=log1x的图象关于y=x对称
【对数函数的图像特征以及变换】
1、对数的底对图象和函数值的影响
在同一个直角坐标系中画出函数y=log2x和函数y=log3x的图象
小结1:
当a1,底数越大,图象越靠近x轴,当0a1,底数越小,图象越靠近x轴,利用这一规律,我们可以解决真数相同,对数不等时判断底数大小的问题
同理,在同一直角坐标系中分别作出y=logax(a1)以及y=loagx(0a1)的图象,则他们的图象在第一象限的规律是什么?
小结2:
以直线x=1把第一象限分成两个区域,每个区域里的对数函数的底数都是由左向右逐渐增大
【动手】在同一直角坐标系中,画出函数x=log2y,y=2x,y=log2x的图象,比一比,看它们之间有何区别?
反函数是x,y对调后的函数,如y=log3x,x∈(0,+∞)与y=3x,x∈r互为反函数,由反函数的定义可知,同底的指数函数和对数函数互为反函数,它们的图象关于y=x对称
【反函数定义】:
设a,b分别是函数y=f(x)的定义域和值域,如果由函数y=f(x)所解得的x=?
(y)也是一个函数,那么就称x=?
(y)是函数y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y),在x=f-1(y)中,y是自变量,x是函数,指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数
【反函数的性质】:
1、由反函数的定义可知,函数y=f(x)的定义域恰好是他的反函数的值域,函数y=f(x)的值域恰好是它反函数的定义域
2、互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称
【求反函数的步骤】:
1、求出函数y=f(x)的值域
2、由y=f(x)解出x=f-1(y)
3、把x=f-1(y)改写成y=f-1(x),并写出函数的定义域(即原函数的值域)
求下列函数的反函数
1)、y=10x
2)、y=()x
3)、y=log1x
345
4)、y=log7x
变式:
已知g(x)=(a+1)x-2+1(a0)的图象恒过定点a(2,2)且点a在函数f(x)=log(x+a)的图像上
(1)、求函数g(x)的反函数
(2)、若2f(3-1)=f(x-3)+f(x-5),求x
【指数函数与对数函数性质的对比】
【对数函数单调性以及运用】
1、求单调区间解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键:
1、看底数是否大于1,当底数未给出明确的数时,应该对其进行讨论2、注意定义域
【篇三:
高一数学对数函数教案】
对数函数教案
一、知识点提要
(1)函数y=logax(a0,a≠1),叫对数函数,其定义域为(0,+∞),值域是r.
(2)结合图象,熟练掌握对数函数的性质.
(3)熟记y=log2x,y=log1x以及y=lgx的图象及相互关系,并通过图象掌握对
数的单调性,注意底对图象的影响.
(4)比较两对数值的大小时,应根据对数函数的单调性,对照对数函数的图象进行判断.
二、重点难点突破
(1)对数函数与指数函数互为反函数,学习时要互相对照、互相比较,以加深理解.
(2)记忆对数函数的图象的性质时,应分a>1和0<a<1两种情况.
(3)注意分界点(1,0),它决定函数值的正负.
三、热点考题导析
例1.求函数y=1x-1
4x-1的定义域.1?
x≠?
?
4111?
4x-1≠0?
解:
logx≥1即?
x≤∴函数的定义域为{x\0x≤且x≠?
1242?
x0?
点评:
求函数的定义域,往往可转化为解不等式.
例2.比较下列各组数的大小,并说明理由.
331与log0.83.4
解:
(1)011,y=log1x是减函数,∴log10.7log10.8.3333
(3)log0.6110,log0.830,∴log0.6log0.83.44
教师点评:
本例给出了比较两个对数大小的常用方法:
(1)和
(2)的解法是利用了对数函数的单调性;
(3)利用了对数函数的性质。
另外,三个数以上比较大小,0和1是两把尺度。
例3.求函数y=log2(x2-5x+6)定义域、值域、单调区间.
定义域为x-5x+60?
x3或x2.2
51u=x2-5x+6=(x-)2-(x>3或x<2),由二次函数的图象可知(图象略)24
0<u<+∞,故原函数的值域为(-∞,+∞).
原函数的单调性与u的单调性一致.∴原函数的单调增区间为(3,+∞),单调减区间为(-∞,2).
学生演板:
(1)已知f(x)的图象g(x)=()的图象关于直线y=x对称,求f(2x-x2)的单调减区间.(先求g(x)=()的反函数f(x)=g-1(x)=log1x,∴f(2x-x2)=log1(2x-x2),
4414x14x
∴单调减区间为(0,1])
例4.设函数f(x)=11-x+lg.x+21+x
-1
(1)试判断函数f(x)的中单调性,并给出证明;
(2)若f(x)的反函数为f(x),证明方程f-1(x)=0有唯一解.
分析:
为求单调性,需先求定义域,在定义域中利用单调性的定义作出判断.
(1)可先请同学用数字试一下,以便做到心中有数.
1-x0?
1+x解:
(1)由?
解得函数f(x)的定义域为(-1,1).x+2≠0?
设-1x1x21,则f(x1)-f(x2)=(1-x21-x111-)+(lg-lg)x1+2x2+21+x21+x1
=x1-x2(1+x1)(1-x2)+lg(x1+2)(x2+2)(1-x1)(1+x2)
x1-x20,(x1+2)(x2+2)又(x1+2)(x2+2)0,x1-x20,∴
又(1+x1)(1-x2)0,(1-x1)(1+x2)0,
∴0(1+x1)(1-x2)1+x1-x2-x1x2(1+x1)(1-x2)=1?
lg0.(1-x1)(1+x2)1+x2-x1-x1x2(1-x1)(1+x2)
∴f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1).
故函数f(x)在区间(-1,1)内是减函数.
(2)这里并不需要先求出f(x)的反函数f-1(x),再解方程f-1(x)=0.
f(0)=
若方程f111,∴f-1()=0,即x=是方程f-1(x)=0的一个解.2221(x)=0还有另一解x0≠1,则f-1(x0)=0.又由反函数的定义知f(0)=x0≠2-12这与已知矛盾.
故方程f-1(x)=0有唯一解.
(1)中用定义证明了单调性,虽较复杂,但很重要,应掌握.可先用数字试探一下,以便做到心中有数.(由
(2)知函数在定义域上是单调的,因为存在反函数)
(2)中告诉我们并不需要求出反函数,其思维过程,妙用了互为反函数的函数定义域和值域之间的关系,既考虑存在性又反证了唯一性,这是一个好题,我们甚至可以求解不等式;
f[x(x-)]1
21.请读者自己完成.2
例5.若函数f(x)=log1(x2-ax+1)
(1)若函数的定义域为r,求a的取值范围.
(2)若函数的值域为r,求a的取值范围.
(3)若函数在(-∞,1-)上是增函数,求a的取值范围.
(1)定义域为r,是指不等式x-ax+10的解集为r,即?
=a-40?
22
-2a2.
(2)值域为r,是指u=x-ax+1能取遍(0,+∞)中的所有的值.∴只需2
=a2-4≥0即a≥2或a≤-2.
(3)u(x)=x2-ax+1在(-∞,1-3)上为减函数且大于0,由图象可知:
2?
(1-)-a(1-3)+1≥01-3?
2(1-3)≤a≤.?
a≥1-32?
对数函数的定义域为r,即指不等式的解集为r.值域为r指对数函数的真数能取遍所有的正数,不要认为判别式大于或等于0,那么在x轴下面的部分是负数似乎不合题意,实质上定义域会排掉x轴下面的负的函数值.要画个图仔细研究.在(3)中特别要注意在区间(-∞,1-)上函数大于0.
x2例6.已知函数f(x-1)=logm(m0,且m≠1)22-x2
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)解关于x的方程f(x)=logm1;
(3)解关于x的不等式:
f(x)≥logm(3x+1)
(1)设x2-1=t,则
∴f(x)=logm
∴f(-x)=logmx2=1+t,∴f(t)=logm1+t1+t=logm,2-(1+t)1-t1+x,它的定义域为(-1,1).x∈(-1,1),∴-x∈(-1,1),1-x1+(-x)1-x1+x-1=logm=logm()=-f(x),∴f(x)为奇函数.1-(-x)1+x1-x
∴x=-1+2.
(3)由f(x)≥logm(3x+1)即logm1+x≥logm(3x+1)得:
1-x
1+x≥3x+1解得:
-1x≤0或1≤x1.(a)当m>1时,?
1-x33?
3x+10
1+x≤3x+1?
1-x(b)当0m1时,?
解得:
0≤x≤.3?
1+x0?
1-x
由(a)、(b)知,当m>1时,原不等式解集为{x|-11x≤0或≤x1}33
本题涉及到求函数的表达式,解对数方程,对数不等式.要注意对底数m的讨论.
四、课堂练习
(1)求函数f(x)=x2-4的定义域.2lg(x+2x-3)
(定义域为{x|x-1-5或-1-x-3或x≥2})
(2)定义在全体实数上的奇函数f(x)=a-1,要使f-1(x)1,求x的取值范围.x2+1
11((-,))26
(4)若y=loga(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,求a的取值范围.((1,2))
五、高考试题
1-x
(1)(2001年上海,1)设函数f(x)=2x∈(-∞,1],则满足f(x)=的x值为.log81xx∈(1,+∞)4
答案:
3
当x∈(-∞,1]时,值域为[,+∞),当x∈(1,+∞)时值域为(0,+∞){1
11∴y=,y∈(0,+∞),∴此时x∈(1,+∞),∴log81x=,∴x=814=3.44
(2)(2001年上海,4)设集合a={x|2lgx=lg(8x-15),x∈r},b={x|cos则ab的元素个数为
11x0,x∈r},2
x0153?
分析:
集合a:
8x-150?
xx=3或x=5.又x=3时,cos,22?
x=8x-15?
x2-88x+15=0?
(3)(93年全国文,25)解方程:
lg(x+4x-26)-lg(x-3)=1.答案:
x=3+.
-30?
x+4x-260?
x2分析:
x-30解得:
x=3-(舍去),x=3+.?
x+4x-262=10?
x+4x-26=10?
x-3?
本题主要考查对数方程的解法,属常规题,对等价转化思想有较高的要求.
六、考点检测
(1)若1<x<2,则下列不等式中正确的是()
(a)2log1xx(b)2
2xxxlog1x(c)x2xlog1x22
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- 数学 对数 函数 教案