高考文科数学复习第一轮极坐标与参数方程学生版2.docx
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高考文科数学复习第一轮极坐标与参数方程学生版2
高考文科数学
一轮复习
(极坐标与参数方程)
第二讲极坐标与参数方程
目标认知
考试大纲要求:
1.理解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;
2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化;
3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义;
4.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别;
5.了解参数方程,了解参数的意义,能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程;
6.了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程,了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。
重点、难点:
1.理解参数方程的概念,了解常用参数方程中参数的意义,掌握参数方程与普通方程的互化。
2.理解极坐标的概念,掌握极坐标与直角坐标的互化;直线和圆的极坐标方程。
【知识要点梳理】:
知识点一:
极坐标
1.极坐标系
平面内的一条规定有单位长度的射线,为极点,为极轴,选定一个长度单位和角的正方向(通常取逆时针方向),这就构成了极坐标系。
2.极坐标系内一点的极坐标
平面上一点到极点的距离称为极径,与轴的夹角称为极角,有序实数对
就叫做点的极坐标。
(1)一般情况下,不特别加以说明时表示非负数;
当时表示极点;
当时,点的位置这样确定:
作射线,
使,在的反向延长线上取一点,使得,点即为所求的点。
(2)点与点()所表示的是同一个点,即角与的终边是相同的。
综上所述,在极坐标系中,点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应,
即,,均表示同一个点.
3.极坐标与直角坐标的互化
当极坐标系与直角坐标系在特定条件下(①极点与原点重合;②极轴与轴正半轴重合;③长度单位相同),平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系:
直角坐标化极坐标:
;
极坐标化直角坐标:
.
此即在两个坐标系下,同一个点的两种坐标间的互化关系.
4.直线的极坐标方程:
(1)过极点倾斜角为的直线:
或写成及.
(2)过垂直于极轴的直线:
5.圆的极坐标方程:
(1)以极点为圆心,为半径的圆:
.
(2)若,,以为直径的圆:
知识点二:
柱坐标系与球坐标系:
1.柱坐标系的定义:
空间点与柱坐标之间的变换公式:
2.球坐标系的定义:
空间点与球坐标之间的变换公式:
知识点三:
参数方程
1.概念:
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数:
,并且对于的每一个允许值,方程所确定的点都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系间的关系的变数叫做参变数(简称参数).
相对于参数方程来说,前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程,叫做曲线的普通方程。
知识点四:
常见曲线的参数方程
1.直线的参数方程
(1)经过定点,倾斜角为的直线的参数方程为:
(为参数);
其中参数的几何意义:
,有,即表示直线上任一点M到定点的距离。
(当在上方时,,在下方时,)。
(2)过定点,且其斜率为的直线的参数方程为:
(为参数,为为常数,);
其中的几何意义为:
若是直线上一点,则。
2.圆的参数方程
(1)已知圆心为,半径为的圆的参数方程为:
(是参数,);
特别地当圆心在原点时,其参数方程为(是参数)。
(2)参数的几何意义为:
由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。
(3)圆的标准方程明确地指出圆心和半径,圆的一般方程突出方程形式上的特点,圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。
3.椭圆的参数方程
(1)椭圆()的参数方程(为参数)。
(2)参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。
如图中,点对应的角为(过作轴,
交大圆即以为直径的圆于),切不可认为是。
(3)从数的角度理解,椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。
椭圆上任意一点可设成,
为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。
4.双曲线的参数方程
双曲线(,)的参数方程为(为参数)。
5.抛物线的参数方程
抛物线()的参数方程为(是参数)。
参数的几何意义为:
抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数,即。
规律方法指导:
1、把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:
代入消法;加减消参;平方和(差)消参法;乘法消参法;比值消参法;利用恒等式消参法;混合消参法等.
2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键:
一是适当选取参数;二是确保互化前后方程的等价性,注意方程中的参数的变化范
【课前演练】
一、选择题
1.已知集合,,则=
A.{x|-1≤x<1}B.{x|x>1}C.{x|-1<x<1}D.{x|x≥-1}
2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b=
A.-2B.C.D.2
3.若函数f(x)=x3(x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是
A.单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数
C.单凋递增的偶函数D.单涮递增的奇函数
4.若向量满足,与的夹角为,则
A.B.C.D.2
5.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以80km/h的速度匀速行驶l小时到达丙地。
下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中,正确的是
二、填空题
11.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P(2,4),则该抛物线的方程是.
12.函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是.
13.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,则其通项an=;若它的第k项满足5 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,则点(2,π/6)到直线l的距离为. 15.(几何证明选讲选做题)如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC=. 【经典例题精析】 类型二: 参数方程与普通方程互化 4.把参数方程化为普通方程 (1) (,为参数); (2)(,为参数); (3) (,为参数); (4)(为参数). 思路点拨: (1)将第二个式子变形后,把第一个式子代入消参; (2)利用三角恒等式进行消参; (3)观察式子的结构,注意到两式中分子分母的结构特点,因而可以采取加减消参的办法;或把用表示,反解出后再代入另一表达式即可消参; (4)此题是(3)题的变式,仅仅是把换成而已,因而消参方法依旧,但需要注意、的范围。 总结升华: 1.消参的方法主要有代入消参,加减消参,比值消参,平方消参,利用恒等式消参等。 2.消参过程中应注意等价性,即应考虑变量的取值范围,一般来说应分别给出、的范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程,因而可以综合运用求值域的各种方法. 举一反三: 【变式1】化参数方程为普通方程。 (1)(t为参数); (2)(t为参数). 【变式2】 (1)圆的半径为_________; (2)参数方程(表示的曲线为( )。 A、双曲线一支,且过点 B、抛物线的一部分,且过点 C、双曲线一支,且过点 D、抛物线的一部分,且过点 【变式3】 (1)直线: (t为参数)的倾斜角为( )。 A、 B、 C、 D、 (2)为锐角,直线的倾斜角( )。 A、 B、 C、 D、 5.已知曲线的参数方程(、为常数)。 (1)当为常数(),为参数()时,说明曲线的类型; (2)当为常数且,为参数时,说明曲线的类型。 思路点拨: 通过消参,化为普通方程,再做判断。 总结升华: 从本例可以看出: 某曲线的参数方程形式完全相同,但选定不同的字母为参数,则表示的意义也不相同,表示不同曲线。 因此在表示曲线的参数方程时,一般应标明选定的字母参数。 举一反三: 【变式】已知圆锥曲线方程为。 (1)若为参数,为常数,求此曲线的焦点到准线距离。 (2)若为参数,为常数,求此曲线的离心率。 【课堂检测】 选择题 30.椭圆的两个焦点坐标是()。 A.(-3,5),(-3,-3)B.(3,3),(3,-5) C.(1,1),(-7,1)D.(7,-1),(-1,-1) 六、1.若直线的参数方程为,则直线的斜率为() A.B. C.D. 2.下列在曲线上的点是() A.B.C.D. 3.将参数方程化为普通方程为() A.B.C.D. 6.极坐标方程表示的曲线为() A.一条射线和一个圆B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆 七、1.直线的参数方程为,上的点对应的参数是,则点与之间的距离是() A.B.C.D. 2.参数方程为表示的曲线是() A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线 3.直线和圆交于两点, 则的中点坐标为() A.B.C.D. 5.与参数方程为等价的普通方程为() A.B. C.D. 6.直线被圆所截得的弦长为() A.B.C.D. 八、1.把方程化为以参数的参数方程是() A.B.C.D. 2.曲线与坐标轴的交点是() A.B. C.D. 3.直线被圆截得的弦长为() A.B. C.D. 4.若点在以点为焦点的抛物线上, 则等于() A.B. C.D. 6.在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为() A.B. C.D. 填空题 参、5.把参数方程(α为参数)化为普通方程,结果是。 六、1.直线的斜率为______________________。 2.参数方程的普通方程为__________________。 3.已知直线与直线相交于点,又点, 则_______________。 4.直线被圆截得的弦长为______________。 七、1.曲线的参数方程是,则它的普通方程为__________________。 2.直线过定点_____________。 3.点是椭圆上的一个动点,则的最大值为___________。 4.曲线的极坐标方程为,则曲线的直角坐标方程为________________。 5.设则圆的参数方程为_____________
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- 高考 文科 数学 复习 第一轮 坐标 参数 方程 学生