小学高年级奥数竞赛培训试题 13.docx
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小学高年级奥数竞赛培训试题13
第十五届“中环杯”小学生思维能力训练活动
五年级选拔赛得分:
__________
填空题:
1、已知24681357
13572468
m
n
,其中m,n是两个互质的正整数,则10mn____
【考点】分数计算【答案】110
20169
分析:
原式,10mn10×9+20=110
==
162020
2、D老师家里有五个烟囱,这五个烟囱正好从矮到高排成一排,相邻两个烟囱之间的高度差为2厘米,其中最高的烟囱又正好等于最矮的两个烟囱的高度之和,则五个烟囱的高度之和是________厘米【考点】等差数列,方程【答案】50
分析:
设这五个烟囱分别为x-4,x-2,x,x+2,x+4,则x+4=x-2+x-4,x=10,和为5x=50
3、已知
2014abcd,其中a、b、c、d是四个正整数,请你写出满足条件的
2233
一个乘法算式:
___________
【考点】数的拆分,分解质因数
【答案】答案不唯一
分析:
2014=1×2014=2×1007=19×106=38×53
其中一解为2014=
52923323
4、一个长方体的长、宽分别为20厘米、15厘米,其体积的数值与表面积的数值相等,则它的高为______厘米(答案写为假分数)【考点】立体几何,方程
【答案】
60
23
分析:
设高为h,则20×15×h=(20×15+20h+15h)×2,则h=
60
23
5、一次中环杯比赛,满分为100分,参赛学生中,最高分为83分,最低分为30分(所有的分数都是整数),一共有8000个学生参加,那么至少有_____个学生的分数相同【考点】抽屉原理【答案】149
分析:
83-30+1=54,800054=1488,148+1=149个
6、对35个蛋黄月饼进行打包,一共有两种打包规格:
大包袋里每包有9个月饼,小包装里每包有4个月饼。
要求不能剩下月饼,那么一共打了______个包
【考点】不定方程
【答案】5
x
分析:
设大包有x袋,小包有y袋,(x,y均为整数)所以9x+4y=35,易得
y
所以一共打了2+3=5个包
3
2
7、小明和小红在600米的环形跑道上跑步,两人从同一起点同时出发,朝相反方向跑,第一次和第二次相遇时间间隔50秒,已知小红的速度比小明慢2米/秒,则小明的速度为______米/秒【考点】环形跑道,方程/和差公式
【答案】7分析:
法一:
设小红的速度为x米/秒,小明的速度为x+2米/秒,两次相遇之间合跑一个全程,则50(x+x+2)=600,x=5,则小明的速度为5+2=7米/秒法二:
两次相遇之间合跑一个全程,则两人速度和为600÷50=12,两人速度差为2米/秒,则小明(快)的速度为(12+2)÷2=7米/秒
8、我们知道,2013、2014、2015的因数个数相同,那么具有这样性质(因数的个数相同)的三个连续自然数n、n1、n+2中,n的最小值为_____【考点】分解质因数,约数个数
【答案】33
分析:
三个连续的数不可能都为质数,要使它们的因数个数一样,需要做到:
①其中没有质数(否则个数不可能相等);
②三个数中不能有完全平方数(否则个数有奇有偶不可能相等)。
最值问题从极端情况出发,从小往大,把质数和完全平方数划去,如下所示:
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37……经试验,33、34、35各有4个约数,n最小为33
9、图中的正三角形与正六边形的周长相等,已知正三角形的面积是10cm2,则正六边形的面积为_____cm2
【考点】图形切拼
【答案】15
分析:
设正六边形每个边长为a,则正三角形每个边长为2a,分割后每个小三角形的面积
相同,10÷4×6=15cm2
10、甲、乙、丙在猜一个两位数
甲说:
它的因数个数为偶数,而且它比50大乙说:
它是奇数,而且它比60大丙说:
它是偶数,而且它比70大
如果他们三个人每个人都只说对了一半,那么这个数是_______【考点】逻辑推理【答案】64分析:
由乙、丙所说一个为奇数一个为偶数,必为一真一假,若这个数大于70则必然大于60,所以后半句只能是这个数大于60小于70,所以这个数是偶数;由于这个数大于60,则甲所说的大于50是正确,所以这个数的因数个数为奇数个,必为在50~70之间的偶数完全平方数,只有64
11.如图,正方形ABCD和正方形EFGH,他们的四对边互相平行。
联结CG并延长交BD于点I。
已知BD=10,S△BFC=3,S△CHD=5,则BI的长度为?
ADAD
EHHIIE
FG
FG
BCBC
【考点】几何
15
【答案】
4分析:
等积变形+燕尾模型
联结BG,DG,FG∥BC,S△BCG=S△BCF=3,
同理,S△CDG=S△CDH=5,
BI:
DI=S△BCG:
S△CDG=3:
5,
15
BI=10÷(3+5)×3=
4
12.将572个桃子分给若干个孩子,这些孩子得到的桃子数量是一些连续的正整数,则获得
桃子数量最多的那个孩子最多可以得到几个桃子?
【考点】数论,分解质因数,最值
【答案】75
分析:
设第一人拿到x+1个桃子,最后一人拿到x+k,则有k个人。
572=(x1+x+k)k2=(2x+k+1)k2
1144=(2xk1)k,k是1144的因数,1144=111323
要求获得桃子数量最多的孩子最多分几个,即求最大值,则人要少,k要小,从小往大枚举
k为2,4不合题意
k=8,2x+9=143,x=67,x+k=75,获得桃子数量最多的孩子最多分75个。
13、定义n!
12n,比如5!
12345,若n!
n1!
(其中n为正整数,且
21n100)是完全平方数,比如n7时,
nn
!
1!
7!
71!
7!
8!
7!
7!
87!
47!
2就是一个完全平方数,则所2222
222
有满足条件的n的和为________
【考点】定义新运算,完全平方数【答案】273
分析:
n!
(n+1)!
n1
=n
(!
),让
2
22
n1
=k,n=2k1
22
2
①k=1,n=1
②k=2,n=7
③k=3,n=17
④k=4,n=31
⑤k=5,n=49
⑥k=6,n=71
n1
2
为完全平方数即可,
⑦k=7,n=97
所有满足条件的n的和为1+7+17+31+49+71+97=273
14.小明将若干棋子放入如图3*3方格的小正方形内,每个小正方形内可以不放棋子,也可以放等于或多余1枚棋子,现在计算每一行,每一列的棋子总数,得到6个数,这6个数互不相同,那么最少需要放多少枚棋子?
【考点】最值,枚举
【答案】8
分析:
尝试最小的和0+1+2+3+4+5=15,由于三行之和=三列之和=总和,15不是偶数,所以16÷2=8,8=0+2+6=1+3+4,经试验,可如图放置,则最少需要放8枚棋子
0000
1326
0022
134
15.将A、B、C、D、E这五位老师与25个相同的座位拍成一排,之后25个学生会坐在座位上与老师拍照。
要求:
A、B、C、D、E必须按字母顺序从左到右出现在这排中,而且每个相邻座位老师之间至少有两个座位。
则一共有_____种不同的安排方法(注意:
安排还是指老师与未作之间的安排,不考虑后续的学生)。
【考点】排列组合
【答案】26334
分析:
25+5=30,这道题目相当于从1~30这30个数中选5个数,每两个数之间的差大于
2221201918
等于3,5个数4个间隔,所以30-2×4=22,即C5==26334种
22
54321
16.如图,在一个梯形ABCD中,AD平行BC,BC:
AD=5:
7.点F在线段AD上,点E在线段CD上,满足AF:
FD=4:
3,CE:
ED=2:
3.如果四边形ABEF的面积为123,则ABCD的面积为?
【考点】几何
【答案】180分析:
(为简化计算,可令其为直角梯形,当然,不是直角梯形的时候,可通过E点作垂线,这时DEF和BCE的高仍为3:
2,设为3y和2y,其余步骤不变)设AD=7x,BC=5x,DC=5y。
则DF=3x,DE=3y,EC=2y。
S梯形=(AD+BC)×CD÷2=30xy,
941
而SSSS30xyxy5xy=xy=123,所以xy=6,所求面积为180
ABEFABCDDEFBEC
22
17.如图算式中,最后的乘积为_________。
【考点】数字谜【答案】100855
18.一个五位数ABCDE是2014的倍数,并且CDE恰好有16个因数,则ABCDE的最小值
是?
【考点】分解质因数,约数个数
【答案】24168
分析:
最值问题从极端情况出发,既是五位数又是2014的倍数,最小为10070;约数个数逆应用,16=16=8×2=4×4=4×2×2=2×2×2×2,分解质因数后指数可能是(15),(7,1)
(3,1,1)(1,1,1,1)这几组。
1007070=257,舍1208484=2237,舍
98=272,舍14098
112=247,舍16112
126=2327,舍18126
140=2257,舍20140
22154154=2711,舍
24168168=2337,符合。
ABCDE最小为24168
19.10个学生排成一行,老师想要为每个学生配一顶帽子,帽子有两种颜色:
红色和白色,每种颜色的帽子数量都超过10顶。
要求:
任意多个连续相邻的学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差最多为2。
那么老师有_____种分配帽子的方法。
【考点】题意理解、有序枚举
【答案】94
分析:
本题难度很大,主要在“任意多个连续相邻的学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差
最多为2”这句话。
以下尝试几种方法来解答。
(统一用√表示带红色帽子,×表示白色帽子)
法一:
有序枚举,结合图形标数法
戴白帽子
ba
戴红帽子
向右一格表示戴红帽子,向上一格代表戴白帽子,一共走10格完成
注意:
①同方向最多连续两步;②取的点之间,任意两个点在横方向和竖方向的格子数差最多为2,如图a点和b点不能同时有。
(行列1×4,2×5,3×6都不行,易多数)
这样数下来,就是下面47种:
(为了使表格在一页中显示,见下页)
12345678910
√√×√×√×√×√
√√×√×√×√××
√√×√×√××√√
√√×√×√××√×
√√×√××√×√√
√√×√××√×√×√√×√××√√×√√√×√××√√××√√××√×√×√√√√××√×√×√×√√××√×√√×√√√××√×√√××√√××√√××√√√√××√√××√×√√××√√×√×√√√××√√×√××√×√√××√×√√√×√√××√×√×√×√√××√√×√√×√√××√√××√×√√×√×√×√√×√√×√×√××√×√√×√××√√√×√√×√××√×√×√×√√×√×√√×√×√√×√××√×√×√√××√√√×√×√√××√×√×√×√××√√×√×√×√××√×√√×√×√×√××√√×√×√×√×√√√×√×√×√×√×√×√×√×√√×√√×√×√×√√××√×√××√×√√×√×√××√×√×√√×√××√√××√√×√××√√×√×√××√√××√√×√×√√√××√×√√×√√√×√××√√×√√√×√×√×√×√√×√√×√×√×√√×√√××√√×√√×√×√√×√×√√×√×√×√
这是√开头的,共47中,×开头也有47种,共47×2=94种。
法二:
分类讨论+枚举
根据“任意多个连续相邻的学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差最多为2”,那么全部10名学生里戴红帽子与戴白帽子的人数之差最多也为2,因此有6红4白,5红5白,4红6白三种。
其中6红4白和4红6白对称,种数一样。
(一)6红4白
(1)6红分三堆,红红,红红,红红
4-2=2,红红与红红之间必为两白,1种:
√√,××,√√,××,√√;小计,6红分三堆共1种;
(2)6红分四堆,红红,红红,红,红
①红红,红红,红,红
红红与红红之间必为两白,1种:
√√,××,√√,×,√,×,√;②红,红,红红,红红
同①,对称性,1种;
③红红,红,红红,红
5-2=3,这两个间隔里必然一个是1白,一个是两白,2种:
√√,××,√,×,√√,×,√;√√,×,√,××,√√,×,√;
④红,红红,红,红红
同③,2种
⑤红红,红,红,红红
6-2=4,两端必然不可能放白,3种:
√√,××,√,×,√,×,√√;√√,×,√,××,√,×,√√;√√,×,√,×,√,××,√√;
⑥红,红红,红红,红
红红与红红之间必为两白,1种:
√,×,√√,××,√√,×,√;小计,6红分四堆共1+1+2+2+3+1=10种;
(3)6红分五堆,红红,红,红,红,红
①红红在第一或第五位置,四个间隔各插1白,共2种:
√√,×,√,×,√,×,√,×,√;
√√,×,√,×,√,×,√,×,√;
②红红在第二、三、四位置,四个间隔各插1白,共3种:
√,×,√√,×,√,×,√,×,√;√,×,√,×,√√,×,√,×,√;√,×,√,×,√,×,√√,×,√;
小计,6红分五堆共2+3=5种;所以,6红4白共1+10+5=16种;
(二)4红6白
同6红4白,共16种;
(三)5红5白
(1)5红分三堆,红红,红红,红
①红红,红红,红
第一个间隔红红与红红之间必为两白,第二个间隔可能1白,可能两白,5种:
×,√√,××,√√,××,√;√√,××,√√,××,√,×;√√,××,√√,×,√,××××,√√,××,√√,×,√,×,√√,××,√√,×,√,×
②红,红红,红红
同①,对称性,5种;
③红红,红,红红
5-2=3,1+2=3,划线处两间隔必为一处1白,一处两白,6种:
××,√√,××,√,×,√√;
√√,××,√,×,√√,××;×,√√,××,√,×,√√,×;××,√√,×,√,××,√√;√√,×,√,××,√√,××;×,√√,×,√,××,√√,×;
小计,5红分三堆共5+5+6=16种;
(2)5红分四堆,红红,红,红,红①红红,红,红,红
1+2=3,2+2=4,划线处三个间隔为3到4白,9种:
×,√√,××,√,×,√,×,√;√√,××,√,×,√,×,√,×;×,√√,×,√,××,√,×,√;√√,×,√,××,√,×,√,×;×,√√,×,√,×,√,××,√;√√,×,√,×,√,××,√,×;××,√√,×,√,×,√,×,√;√√,×,√,×,√,×,√,××;×,√√,×,√,×,√,×,√,×;
②红,红,红,红红
同①,对称性,9种;③红,红红,红,红
1+2=3,红两边间隔处最多一处为两白,根据三处间隔两白数量可为2,1,0枚举,11种:
√,××,√√,××,√,×,√,;√,××,√√,×,√,××,√,;
×,√,××,√√,×,√,×,√;√,××,√√,×,√,×,√,×;×,√,×,√√,××,√,×,√;√,×,√√,××,√,×,√,×;×,√,×,√√,×,√,××,√;√,×,√√,×,√,××,√,×;
××,√,×,√√,×,√,×,√;
√,×,√√,×,√,×,√,××;
×,√,×,√√,×,√,×,√,×;④红,红,红红,红
同③,11种;
小计,5红分四堆共9+9+11+11=40种
(3)5红分五堆,红,红,红,红,红,四个间隔各用1白,还剩1白有6处可放,6种:
×,√,×,√,×,√,×,√,×,√;√,××,√,×,√,×,√,×,√;√,×,√,××,√,×,√,×,√;√,×,√,×,√,××,√,×,√;√,×,√,×,√,×,√,××,√;√,×,√,×,√,×,√,×,√,×;
小计,5红分五堆共6种;所以,5红5白共16+40+6=62种;
综上,共16+16+62=94种
20、将下图1中的方格用图2中的图形进行填充(每类图形可使用多次,且要避开黑色方格),两个同类图形不能相邻(有公共边的图形称为相邻图形,仅有公共顶点的图形不是相邻图形)。
每一类图形可以旋转、翻折后再放入方格内。
每一类图形用一个字母表示,方格内小正方形中的字母表示这个小正方形被哪类图形填充了,下左图中用箭头标注了三行,假设标注的第一行格子中共用到了A个图形,标注的第二行格子中共用到了B个图形,标
注的第三行格子中共用到了C个图形,则ABC_____
比如:
我们进行如图3所示的填充后(请无视最后两行,只是作为举例,用来解释A、B、C的含义),标注的第一行格子用到了2个图形(一个横过来的I图形,一个旋转、翻折后的L图形),所以A2;标注的第二行格子到了4个图形(一个翻折的Z图形,一个旋转的T图形,一个T图形,一个O图形),所以B4;标注的第三行格子到了4个图形,所以C4。
于是,答案就写为244
A
OZA
IO
BTB
L
OT
CTC
Z
TZ
【考点】智巧趣题
【答案】333
A=3OZ
B=3T
O
C=3T
TZ
所以ABC333。
(\(^o^)/~特别感谢苏昊老师、俞家老师、朱博老师、焦俊老师、吴中亚老师、邵国栋老师、刘泽南老师、张岱鹏老师、范基程老师、景亚军老师)
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