11勾股定理精编版Word文档下载推荐.docx
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例1、如图,在△ABC中,CD⊥AB于D,若AB=5,,∠BCD=30°
,求AC的长.
解:
设BD=x,∵CD⊥AB,∠BCD=30°
∴BC=2BD=2x.
在Rt△BCD中,根据勾股定理得BD2+CD2=BC2.
即.
解得x=2.
∴BD=2,∵AB=5,∴AD=3.
在Rt△ACD中,由勾股定理有
例2、如图,在△ABC中,∠C=90°
,AD、BE是中线,,AD=5,求AB的长.
设CE=x,CD=y,则AC=2x,BC=2y.
在Rt△ACD和Rt△BCE中,由勾股定理得
例3、如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N,求MN.
连接AM,
∵AB=AC,M为BC的中点.
∴AM⊥BC.BM=MC=BC=3.
在Rt△AMB中,由勾股定理得.
设CN=x,则AN=5-x
在Rt△ANM中,MN2=AM2-AN2=42-(5-x)2.
在Rt△CNM中,MN2=MC2-CN2=32-x2.
∴32-x2=42-(5-x)2,解得.
.
方法2:
由面积法得:
AM·
MC=MN·
AC.
例4、如图,在△ABC中,∠A=90°
,P是AC的中点,PD⊥BC于D,BC=9,DC=3,求AB的长.
连结PB,BD=BC-DC=6.
在Rt△BDP和Rt△PDC中
PD2=BP2-BD2,PD2=PC2-DC2.
∴BP2-BD2=PC2-DC2.
∴BP2-PC2=BD2-DC2=36-9=27.
在Rt△ABP中,AB2=BP2-AP2.
∵AP=PC.
∴AB2=BP2-PC2=27.
例5、如图,已知∠A=60°
,∠B=∠D=90°
,AB=2,CD=1,求BC和AD的长.
如图,延长AD、BC交于点E.
∵∠B=90°
,∠A=60°
,∴∠E=30°
∴AE=2AB=4.
在Rt△ABE中,由勾股定理得.
同步测试
一、选择题
1、如图,矩形纸片ABCD中,AB=8cm,把矩形纸片沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点F,若,则AD的长为( )
A.4cm B.5cm
C.6cm D.7cm
二、填空题
2、在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A、∠B、∠C所对应的边分别是a、b、c.
(1)若a=3cm,b=5cm,则c=__________.
(2)若a=8cm,c=17cm,则b=__________.
(3)若a︰b=3︰4,c=10cm,则a=__________,b=__________.
3、分别以直角三角形的三边为边向形外作正方形,如图中所示的正方形A的面积是__________,B的面积是__________.
4、在Rt△ABC中,斜边AB=2cm,则AB2+BC2+CA2=__________cm2.
5、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则它的第三边长为__________.
6、已知:
直角三角形的两条直角边长分别为6cm、8cm,那么斜边上的高为__________.
7、矩形纸片ABCD中,AD=4cm,AB=10cm,按如图方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则DE=__________cm.
8、如图,已知圆柱体底面圆的半径为,高为2,AB、CD分别是两底面的直径,AD、BC是母线.若一只小虫从A点出发,从侧面爬行到C点,则小虫爬行的最短路线的长度是__________(结果保留根式).
三、解答题
9、如图所示,铁路上有A、B两点(看做直线上两点)相距40千米,C、D为两村庄(看做两个点),AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A、B,AD=24千米,BC=16千米,现在要在铁路旁修建一个煤栈E,使得C、D两村到煤栈的距离相等,问煤栈应建在距A点多少千米处?
10、如图所示,地面上有一个长方体,一只蜘蛛在这个长方体的顶点A处,一滴水珠在这个长方体的顶点C′处,已知长方体的长为6m,宽为5m,高为3m,蜘蛛要沿着长方体的表面从A处爬到C′处,沿着怎样的路线爬行的距离最短?
你能求出这个最短距离吗?
1、C2、
(1);
(2)15cm;
(3)6cm,8cm3、25;
2564、85、5cm或
6、4.8cm点拨:
设斜边上的高为h,.
7、点拨:
设DE=BE=xcm,则AE=(10-x)cm,∴(10-x)2+42=x2.8、
9、AE2+242=(40-AE)2+162,解得AE=16(千米)10、将长方体上面展开并与前面在同一平面上,则蜘蛛沿对角线AC′爬行距离最短,最短距离是
课外拓展
例、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,莲花村六组有四个村庄,A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图中的实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.(以下数据可供参考:
)
不妨设正方形的边长为1(也可以设为a),则图
(1)、
(2)中的总线路长分别为
AD+AB+BC=3,AB+BC+CD=3.
图(3)中,总线路长为AC+BD==2.828.
图(4)中,延长EF交BC于点H,则FH⊥BC,BH=HC.
由∠FBH=30°
,BH=及勾股定理,得
EA=ED=FB=FC=,FH=.
∴EF=1-2FH=1-.
此时,总线路长为4EA+EF=.
显然,3>
2.828>
2.732,
∴图(4)的连结线路最短,即图(4)的架设方案最省电线.
点评:
这里是逐一计算四条线路的长度,并加以比较,选出最短的方案.在方案(4)中注意作铺助线,构成直角三角形,再运用勾股定理.
中考解析
例1、如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边长分别是,斜边长为c和一个边长为c的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
(1)画出拼成的这个图形的示意图.
(2)证明勾股定理.
解析:
方法一、
(1)如图①
(2)证明:
大正方形的面积表示为,
大正方形的面积也可表示为,
,,
.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
方法二、
(1)如图②
(2)证明:
大正方形的面积表示为:
,
又可以表示为:
.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
例2、有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.
在中,
由勾股定理有:
,扩充部分为扩充成等腰应分以下三种情况.
①如图1,当时,可求
得的周长为32m.
②如图2,当时,可求
由勾股定理得:
,得的周长为
③如图3,当为底时,设则
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