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研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥妙。
他们从五个苹果、五个手指等事物中抽象出了五这个数。
这在今天看来是很平常的事,但在当时的哲学和实用数学界,这算是一个巨大的进步。
在实用数学方面,它使算术成为了可能。
在哲学方面,这个发现促使人们相信数是构成实物世界的基础。
毕达哥拉斯学派最大的贡献在于发现了勾股定理,在西方数学中是用毕达哥拉斯的名字命名勾股定理,根据记载毕达哥拉斯有一次应邀参加一位富有人家的餐会,这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着的是正方形美丽的大理石地砖,由于大餐迟迟不上桌,这些饥肠辘辘的贵宾虽然怨言,但却利用这闲暇的时间观察地板上美丽的方形瓷砖,并从方形瓷砖的结构中得到了一个大胆的假设:
任何直角三角形,其斜边的平方恰好等于另两边平方之和……据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂,杀牛百只以示庆贺。
因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号:
“百牛定理”。
然而,毕达哥拉斯证明了勾股定理后,他的一个学生希伯索斯却发现一个神秘的数,对于边长为1的正方形其对角线的长度是多少呢?
他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数表示。
而是一个人们还没认识的新数。
希伯索斯的大胆发现,实际上推翻了毕达哥拉斯的论断:
“世界上只有整数和分数,除此之外,就没有别的什么数了”,他的发现导致了数学历史的第一个无理数的诞生。
小小的出现却掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰,无理数的出现,标志着毕达哥拉斯学派作为一种自然哲学体系的衰落。
毕达哥拉斯学派所宣扬的算术和几何之间的完满和谐原来是一个骗局:
数对于宇宙的最直接方面——几何——尚且无法解释,它又如何能够统治宇宙呢?
实际上,这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。
对于当时所有古希腊人的观念都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上:
任何量在任何精确的范围内都可以表示成有理数。
在希腊当时是人们普遍接受的信仰,完全符合常识的论断居然被小小的的存在而推翻了!
这应该是多么违反常识,多么荒谬的事!
面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机,从而导致了西方数学史上的一场大风波,史称:
“第一次数学危机”。
1.2
第一次数学危机的解决
大约公元前370年,才华横溢的欧多克斯建立起一套完整的比例论。
他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第5篇中。
欧多克斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”,并保留住与之相关的一些结论,从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。
到18世纪,当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数后,拥护无理数存在的人才多起来。
到19世纪下半叶,现在意义上的实数理论建立起来后,无理数本质被彻底搞清,无理数在数学园地中才真正扎下了根。
无理数在数学中合法地位的确立,一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数,另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。
1.3
第一次数学危机的影响
无理数的发现对古希腊的数学观点都极大的冲击。
这表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示,反之数却可以由几何量表示出来。
整数的尊崇地位受到挑战,于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。
同时这也反映出,直觉和经验不一定靠得住,而推理证明才是可靠的。
从此希腊人开始由“自明的”公理出发,经过演绎推理,并由此建立几何学体系,这不能不说是数学思想上一次巨大革命。
这是第一次数学危机的自然产物。
亚里士多德的方法论对于数学方法的影响是巨大的。
它给出正确的定义原理,它继承自己老师柏拉图(Plato,公元前427-347)的观念,把定义与存在区分,由某些属性来定义的东西可能未必存在(如正九面体)。
另外,定义必须用已存在的定义过的东西来定义,所以必定有些最原始的定义,如点、直线等。
而证明存在的方法学要规定和限制。
他还指出公理的必要性,因为这是演绎推理的出发点。
他区别了公理和共设,认为公理是一切科学所公有的真理,而共设则只是某一门学科特有的最基本的原理。
他把逻辑规律(矛盾律、排中律等)也列为公理。
亚里士多德对逻辑推理过程进行深入研究,得出三段论法,并把它表达成一个公理系统。
这是最早的公理系统。
他关于逻辑的研究不仅使逻辑形成一个独立学科,而且对数学证明的发展也有良好的影响。
欧几里德的贡献在于他有史以来第一次总结了以往希腊人的数学知识,构成一个标准化的演绎体系。
这对数学乃至哲学、自然科学的影响一直延续到19世纪。
牛顿的《自然哲学的数学原理》和斯宾诺莎的《伦理学》等都采用欧几里德《几何原本》的体例,它在西方世界成为仅次于《圣经》而流传最广的书。
1.4
第一次数学危机在中学课本的体现
为了表示物体的个数或事物的顺序,产生了数1、2、3、……;
为了表示“没有”,引入了数0;
有时分配、测量的结果不是整数,需要用分数(小数)表示。
总之,数是为了满足生产和生活的需要而产生、发展起来的。
这里的每一对量都是具有相反意义的量。
(如向东与向西,零上与零下。
)只用自然数和分数很难把它们区分开来。
这时就引进了负数,把认识数的范围扩充到有理数。
《有理数》这一章的内容在《数学教材》(人民教育出版社)七年级上册中且安排在第一章。
作为学生学习数学转折的一个基础内容。
在引进负数这个新概念时,大多数学生刚开始都会觉得很茫然,为什么这个“-”号与以前学过的减号是如此的相似。
它们是否有一些必然的联系呢?
在这一大堆问题的困扰下,很有必要给学生对已经学过的有理数进行分类。
跟着提到这样的问题:
我们现在为止所学的数是否可以完全解决生活中所遇到的问题?
对这个问题,可在教材中添加一些阅读材料:
当人类逐渐脱离蒙昧走向文明的时候,不同的民族对这个世界的解释表现出各自的智慧形态。
在这里希腊人展示出一种可以与推理的作用的发现相媲美的、几乎同样富有想象力和独创性的洞察力:
以毕达哥拉斯为领袖的毕达哥拉斯学派最早提出自然界数学模式,他们企图用数学来解释一切。
认为:
世界上只有分数和整数,除此之外,就没有别的什么数了。
顺便提一句,我们现在所学的所有数,都可以表示成整数及其比。
也就是说在这个时候,古代的人和现在的我们所认识的数就是这么多。
那么除了现在所学的有理数外,我们究竟还有没有发现异于这些的数呢?
第二次数学危机
2.1
第二次数学危机产生的背景
古代人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。
古希腊的欧多克斯(Eudoxes,约公元前400-347)引入量的观念来考虑连续变动的东西,并完全依据几何来严格处理连续量。
这造成数与量的长期脱离,古希腊的数学中除了整数之外,并没有无理数的概念,连有理数的运算都没有,可是却有量的比例。
他们对于连续与离散的关系很有兴趣。
尤其是芝诺提出四个著名的悖论:
第一个悖论是说运动不存在,理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路,而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去,它必须通过无限多个点,这在有限长时间之内是无法办到的。
第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。
因为乌龟在他前面时,他必须首先到达乌龟的起点,然后用第一个悖论的逻辑,乌龟老在他的前面。
这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。
而第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。
第三个悖论是“飞矢不动”,因为在某一时间间隔,飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上,因而是静止的。
第四个悖论是游行队伍悖论,内容大体相似。
这说明希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾。
当然,他们无法解决这些矛盾。
到了16、17世纪,除了求曲线长度和曲线所包围的面积等问题外,还产生了许多新问题,如求速度、求切线,以及求极大、极小值等问题。
经过许多人多年的努力,终于在十七世纪晚期,形成了无穷小演算——微积分这门学科,这也是数学分析的开端。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高,17
世纪几乎在同一时期,
微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。
但是不管是牛顿,
还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。
两人的理论都建立在无穷小分析之上,
但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。
因而,从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。
其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
1734
年,贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。
例如他指责牛顿,
为计算比如说
的导数,
先将x
取一个不为0
的增量Δx,
由(x+
Δx)2-x2,
得到2xΔx+(Δx)2,
后再被Δx
除,
得到2x+
Δx,
最后突然令Δx=0,
求得导数为2x。
因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零,
一会儿又说不是零。
因此,贝克莱嘲笑无穷小量是“鬼魂”。
他说,
你们那些相信这种“鬼魂”的数学家们,
有什么理由怀疑上帝的存在呢?
数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。
笼统地说,
贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题。
这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱,
由此导致了第二次数学危机的产生。
当然,
在此也可清楚地看到已有的数学传统的影响。
经过文艺复兴所逐渐形成的西方数学观念主要渊源于古希腊文化,
而逻辑的严密性则更被置于至高无上的地位;
但是,
微积分学中对于无穷小量的“自由”应用在当时却完全建立在实用方面的有效性之上,
从而,
这就必然会使得深受传统影响的数学家们感到极大的困惑和不安。
除去这种主要源自数学内部的考虑以外,
围绕无穷小运算所展开的争论还有着更为广泛的意义,
特别是,
我们在此并可看到科学与上帝的一次较量。
如果上帝是用数学的方式、方法来设计世界的,
那就不可能、也不应当有任何不确定的东西;
但如果无穷小也可被视为表现世界的一种形式,
那么,
又如何去理解上帝的全智和全能呢?
这样,
一场源自数学内部的关于理论和方法的争论最终就演化成了基督教哲学对微积分无穷小运算的一个批判运动。
高扬这种批判大旗的代表人物就是前面提到的著名的神学家、哲学家贝克莱。
应当说,
在数学逻辑演绎和概念的清晰准确方面,
贝克莱准确地击中了当时的无穷小运算的要害;
但贝克莱不是数学家,
他也不是从数学意义上来批判微积分的。
在贝克莱看来,
这种矛盾百出、概念不清的数学方法是对上帝的挑战,
基督教神学对此不能视而不见,
上帝必须对微积分说不。
2.2
第二次数学危机的解决
使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。
柯西于1821
年开始出版了几本具有划时代意义的书与论文。
其中给出了分析学一系列基本概念的严格定义。
如他开始用不等式来刻画极限,
使无穷的运算化为一系列不等式的推导。
这就是所谓极限概念的“算术化”。
后来,
德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的目前所使用的“ε-
δ”方法。
另外,
在柯西的努力下,
连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。
不过,
在当时情况下,
由于实数的严格理论尚未建立起来,
所以柯西的极限理论还不可能完善。
柯西之后,
魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究,
都将分析基础归结为实数理论,
并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。
魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理;
戴德金建立了有名的戴德金分割;
康托尔提出用有理“基本序列”来定义无理数。
1892
年,
另一个数学家创用“区间套原理”来建立实数理论。
由此,
沿柯西开辟的道路,
建立起来的严谨的极限理论与实数理论,
完成了分析学的逻辑奠基工作。
数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性,
从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。
重建微积分学基础,
这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。
微积分学坚实牢固基础的建立,
结束了数学中暂时的混乱局面,
同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。
2.3
第二次数学危机在中学课本中的体现
我国庄子的《天下篇》中有“一尺之锤,日取一半,万世不竭”的极限思想。
极限这个内容在《高中数学教材》(人民教育出版社)第三册(选修Ⅱ)中有了详细的介绍,但对于他的起源和所经历过的过程,课本却没有提及。
有必要给学生讲述极限的起源和产生的背景。
学生都知道有龟兔赛跑的故事,于是可以给他们提出这样的问题:
如果按照上面的极限思想的话:
乌龟在前面,兔子在后面,如果兔子要达到乌龟所在的地方,就必需先到达它们距离的一半,要到达距离的一半又必需到达距离一半的一半,如此推出兔子永远也追不上乌龟。
当然,在现实生活中这是不合情理的。
这个问题有解决的必要吗?
或者这个问题本身就是无稽之谈,没有现实意义?
其实它有产生的背景,在16、17世纪,除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外,还产生了许多新问题,如求速度、求切线,以及求极大、极小值等问题。
经过许多人多年的努力,终于在十七世纪晚期,形成了无穷小演算——微积分这门学科。
由于运算的完整性和应用的广泛性,微积分成为当时解决问题的重要工具。
同时,关于微积分基础的问题也越来越严重。
关键问题就是无穷小量究竟是不是零?
无穷小及其分析是否合理?
无穷小量究竟是不是零?
牛顿对它曾作过三种不同解释:
1669年说它是一种常量;
1671年又说它是一个趋于零的变量;
1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。
但是,他始终无法解决上述矛盾。
莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量过渡到无穷小量的桥梁。
牛顿和莱布尼兹所创立的微积分理论度都是不严格的。
两个的理论都建立在无穷小分析之上,但是他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。
终于法国数学家给极限下了定义;
“若代表某变量的一串数值无限地趋向于某一数值时,其差可任意小,则该固定值称为这一串数值的极限”。
这个定义给无穷小一个准确的概念,完全摆脱了与几何直观的联系。
在这本教材的第三章是关于导数的内容。
导数是微积分研究的一个内容之一,微积分的产生和发展与力学、物理学和几何学的发展紧密相联,微积分的许多概念都有实际背景,并受实际需要的推动。
它具有深远的历史意义。
一方面,它极大地推动了数学科学的发展,丰富了数学科学的思想宝库,随着微积分的理论基础逐步完善,以微积分为基础的数学分析得到空前的发展。
另一方面,微积分在力学、天文学以及物理和其他科学技术中的运用,极大的促进了科学的发展。
在讲微积分时,很多学生对微积分的概念及思想方法不太理解。
这时有必要向他们讲述莱布尼兹发现微积分的过程。
约从1672年开始,莱布尼兹将他对数列研究的结果与微积分运算联系起来,借助于笛卡尔的解释几何,莱布尼兹把曲线的纵坐标用数值表示出来,并想象一个由无穷多个纵坐标y组成的序列,以及对应的x值的序列,而x看作是确定纵坐标的序列的次序,同时考虑任意两相继的y值之差的序列。
莱布尼兹在给洛必达的信中说:
“求切线不过是求差,求积分不过是求和。
”
第三次数学危机
3.1
第三次数学危机产生的背景
第三次数学危机产生于19世纪末及20世纪初,当时正是数学空前兴旺发达的时期。
首先是逻辑的数学化促使数理逻辑这门学科诞生。
十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础,也是产生危机的直接来源。
十九世纪末戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化推动了公理化运动,而公理化运动的最大成就则是希尔伯特在1899年对于初等几何的公理化。
公理化方法是现代数学最重要的方法之一,对于数学基础和数理逻辑的研究也有影响。
当时也是现代数学一些新分支兴起的时期,如抽象代数、点拓扑学和代数拓扑学、泛函分析、测度与积分理论等学科。
这些学科的发展一直与数学基础及数理逻辑的发展有密切的关系。
数学的更新与发展也对数学哲学有许多新的探讨,数学的陈腐哲学观念在当时已经几乎一扫而空了。
3.1.1
数学符号化的扩充:
数理逻辑的兴起
数学的主要内容是计算和证明。
在十七世纪,算术因符号化促使代数学的产生,代数使计算变得精确和方便,也使计算方法系统化。
费尔马(P.Fermant1601-1665)和笛卡尔(R.Descartes1596-1650)的解析几何,把几何学代数化,大大扩展了几何的领域。
这反映了代数学作为普遍科学方法的效力,于是笛卡尔尝试也把逻辑代数化。
不过他并没有系统地发展这种思想。
现在公认的数理逻辑创始人是莱布尼兹。
他的目的是选出一种“通用代数”,其中把一切推理都化归为计算。
实际上这正是数理逻辑的总纲领。
他希望建立一套普遍的符号语言,其中符号是表义的,这样就可以像数字一样进行演算,他的确将某些命题形式表达为符号形式,但他的工作只是一个开头,大部分没有发表,因此影响不大。
真正使逻辑代数化的是英国数学家布尔(G.Bool,1815-1864),他在1847年出版了《逻辑的数学分析》,给出了现代所谓的“布尔代数”原型。
布尔确信符号化会使逻辑变得严密。
他的对象是事物的类,1表示全类,0表示空类,x.y表示x和y共同分子所组成的类,运算是逻辑乘法,x+y表示x和y两类所合成的类,运算是逻辑加法。
所以逻辑命题可以表示如下:
凡x是y……x.(1-y)=0;
没有x是y……
x.y=0;
还可以表示矛盾律……x.(1-x)=0;
排中律……x+(1-x)=1.
布尔看出类的演算也可解释为命题的演算。
当x,y不是类而是命题,则x=1表示命题x为真,x=0表示命题x为假,1-x表示x的否定等等。
显然布尔的演算构成一个代数系统,遵守某些规律,这就是布尔代数。
特别是它遵从德.莫尔根(A.DeMorgan1806-1871)定律。
美国哲学家、数学家小皮尔斯(C.S.Peirce,1839-1914)推进了命题演算。
他区别命题和命题函数。
一个命题总是真的或假的,而一个命题函数包含着变元,随着变元值的选取的不同,它可以是真也可以是假。
皮尔斯还引进了两个变元的命题函数以及量词和谓词的演算。
对现代数理逻辑贡献最大的是德国数学家佛雷格。
他是耶拿大学教授,在十九世纪他的著作流传不广,他的符号系统繁琐复杂,从而限制了它的普及。
他在1879年出版的《概念文字》中不仅完备地发展了命题的演算,而且引进了量词概念以及实质蕴含的概念。
他还给出一个一阶谓词演算的公理系统。
这可以说是历史上第一个符号逻辑的公理系统。
因此这个小册子中,包含着现代数理逻辑一个颇为完备的的基础。
1884年,他的《算术基础》出版,后来又扩展成《算术的基本规律》(卷Ⅰ,1893,卷Ⅱ,1903)。
后来由于罗素的独立工作,才使得佛雷格工作受到重视。
用符号语言对数学进行公理化的是意大利数学家皮亚诺,他在1889年用拉丁文写了一本小册子《用新方法陈述的算术原理》。
在这之前,1888年,皮亚诺已经把布尔和施罗德(F.Schroder,1841-1902)的逻辑用在数学研究上,并且引进了一系列对于他前人工作的更新。
例如对逻辑运算和数学运算使用不同的符号,区别范畴命题和条件命题,这引导他得出量词理论。
这些改进对于布尔和施罗德理论的改进,而不是对佛雷格理论的改进,因为当时皮亚诺还不知道佛雷格的工作。
在《算术原理》中,他在引进逻辑概念和公式之后,开始用符号的记法来重写算术,在这本书中他讨论了分数、实数、甚至极限和点集论中的概念。
3.1.2寻找数学的基础:
集合论的创立
集合论诞生可以说是在1873年年底。
1873年11月,康托尔在和戴德金的通信中提出一个问题,这个问题使他从以前关于数学分析的研究转到了一个新方向。
他认为,有理数的集合是可以“数”的,也就是可以和自然数的集合成一对一的对应。
但是,他不知道,对于实数集合这种一对一的对应,但是他“讲不出什么理由”。
不久之后,他承认他“没有认真地考虑这个问题,因为它似乎没有什么价值。
”接着他又补充一句,“要是你认为它因此不值得再花费力气,那我就会完全赞同。
”可是,康托尔又考虑起集合的映射问题来。
很快,他在1873年12月7日又写信给戴德金,说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的了。
这一天可以看成是集合论的诞生日。
康托尔还成功地证明代数数的集合是可数的。
康托尔自己最早发现集合论的内在矛盾。
他在1895年文章中遗留下两个问题未解决:
一个是连续统假设,另一个是所有超穷基数的可比较性。
他虽然认为无穷基数有最小数但没有最大数,但没有明显叙述其矛盾之处。
第一个发表集合论悖论的是意大利数学家布拉里-福蒂(C.Burali-Forti,1861-1931)他指出所有序数的集合这个概念的内在矛盾,但是当时认为这也许能够补救。
一直到1903年罗素发表他的著名悖论,集合论的内在矛盾才突出来,成为二十世纪集合论和数学基础研究的出发点。
康托尔的集合论是数学上最具有革命性的理论,因此它的发展道路自然很不平坦。
在当时,占统治地位的地位的观念是,你要证明什么,就要具体造出什么来。
因此,人们只能从具体的数或形出发,一步一步经过有限多步得出结论来。
至于“无穷”的世界,即完全是超乎人的能力之外,决不是人所能掌握和控制得了的。
反对集合论最激烈的科洛耐克认为,只有他研究的数论及代数才最可靠。
他有一句著名的话:
“上帝创造了正整数,其余的是人的工作。
”他认为除了由数经过有限多步推出的事实,其他
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