中考数学压轴题《因动点产生的面积问题》文档格式.docx
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如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1)、B(2,0)、O(0,0),
将此三角板绕原点O逆时针旋转90°
,得到三角形A′B′O.
(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;
(2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是
△A′B′O面积的4倍?
若存在,请求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由;
(3)在
(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?
并写出它的两条性质.
如图1,在平面直角坐标系中,直线y1x1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点,
点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D.
(1)求a、b及sin∠ACP的值;
(2)设点P的横坐标为m.
①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;
②连结PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积比为9∶10?
若存在,直接写出m的值;
若不存在,请说明理由.
如图1,直线l经过点A(1,0),且与双曲线ym(x>
0)交于点B(2,1).过点P(p,p1)(px
>
1)作x轴的平行线分别交曲线ym(x>
0)和ym(x<
0)于M、N两点.
xx
(1)求m的值及直线l的解析式;
(2)若点P在直线y=2上,求证:
△PMB∽△PNA;
(3)是否存在实数p,使得S△AMN=4S△AMP?
若存在,请求出所有满足条件的p的值;
如图1,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1).点D是线段BC上1
的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线yxb交折线OAB于点E.
(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;
(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?
若不变,求出重叠
1.6因动点产生的面积问题答案
若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”,则存在多个“好点”,且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.
动感体验
请打开几何画板文件名“15河南23”,拖动点P在A、C两点间的抛物线上运动,观察S随P变化的图像,可以体验到,“使△PDE的面积为整数”的点P共有11个.
思路点拨
1.第
(2)题通过计算进行说理.设点P的坐标,用两点间的距离公式表示PD、PF
的长.
2.第(3)题用第
(2)题的结论,把△PDE的周长最小值转化为求PE+PF的最小值.
满分解答
(1)抛物线的解析式为y1x28.
8
(2)小明的判断正确,对于任意一点P,PD-PF=2.说理如下:
设点P的坐标为(x,1x28),那么PF=yF-yP=1x2.
88
而FD2=x2+(1x286)2x2+(1x22)2(1x22)2,所以FD=1x22.
8888
因此PD-PF=2为定值.
(3)“好点”共有11个.
在△PDE中,DE为定值,因此周长的最小值取决于FD+PE的最小值.
而PD+PE=(PF+2)+PE=(PF+PE)+2,因此当P、E、F三点共线时,△PDE的周长最小(如图2).
此时EF⊥x轴,点P的横坐标为-4.
所以△PDE周长最小时,“好点”P的坐标为(-4,6).
考点伸展
第(3)题的11个“好点”是这样求的:
如图
3,
联结
OP,
那么S△
PDE=S△POD+S△
POE-S△DOE.
因为
S△
POD=
1
OD
(xP)
3x,S△POE=
OEyP
1x216,S△DOE=12,所以
2P
4
S△PDE=
3x
x
216
12=
x3x4=
(x6)2
13.
因此S是x的二次函数,抛物线的开口向下,对称轴为直线x=-6.
如图4,当-8≤x≤0时,4≤S≤13.所以面积的值为整数的个数为10.
当S=12时,方程1(x6)21312的两个解-8,-4都在-8≤x≤0范围内.
所以“使△PDE的面积为整数”的“好点”P共有11个.
在Rt△BQH中,
3BQ=t,所以QH=BQsinB=t.
5
所以S△PBQ=1BPQH1(63t)3t
225
190(t1)2
10
9
因为0≤t≤2,所以当t=1时,△PBQ的面积最大,最大面积是
(3)当△PBQ的面积最大时,t=1,此时P是AB的中点,P(1,0),BQ=1。
如图3,因为△PBC与△PBQ是同高三角形,S△PBC∶S△PBQ=BC∶BQ=5∶1。
当S△CBK∶S△PBQ=5∶2时,S△PBC∶S△CBK=2∶1。
因为△PBC与△CBK是同底三角形,所以对应高的比为2∶1。
如图4,过x轴上的点D画CB的平行线交抛物线于K,那么PB∶DB=2∶1。
因为点K在BC的下方,所以点D在点B的右侧,点D的坐标为(11,0).
过点K作KE⊥x轴于E.设点K的坐标为(x,(x2)(x4)).
解得x=1,或
x=3.所以点
图2
图3
图4
K的坐标为(1,27)或(3,15).
第(3)题也可以这样思考:
(2)连结BC,过点A作直线AE//BC,与抛物线交于点E.点D是x轴上一点,坐标为(2,0),当C、D、E三点在同一直线上时,求抛物线的解析式;
(3)在
(2)的条件下,点P是x轴下方的抛物线上的一动点,连结PB、PC.设△PBC的面积为S.
请打开几何画板文件名“13苏州29”,拖动点C在y轴负半轴上运动,可以体验到,△EHA与△COB保持相似.点击按钮“C、D、E三点共线”,此时△EHD∽△COD.拖动点P从A经过C到达B,数一数面积的正整数值共有11个.
请打开超级画板文件名“13苏州29”,拖动点C在y轴负半轴上运动,可以体验到,△EHA与△COB保持相似.点击按钮“C、D、E三点共线”,此时△EHD∽△COD.拖动点P从A经过C到达B,数一数面积的正整数值共有11个.
1.用c表示b以后,把抛物线的一般式改写为两点式,会发现OB=2OC.
2.当C、D、E三点共线时,△EHA∽△COB,△EHD∽△COD.
3.求△PBC面积的取值范围,要分两种情况计算,P在BC上方或下方.
4.求得了S的取值范围,然后罗列P从A经过C运动到B的过程中,面积的正整数值,再数一数个数.注意排除点A、C、B三个时刻的值.
(1)b=c,点B的横坐标为-2c.
12111
(2)由yx2(c)xc(x1)(x2c),设E(x,(x1)(x2c)).
过点E作EH⊥x轴于H.
由于OB=2OC,当AE//BC时,AH=2EH.
所以x1(x1)(x2c).因此x12c.所以E(12c,1c).当C、D、E三点在同一直线上时,EHCO.所以1cc
DHDO2c12
整理,得2c2+3c-2=0.解得c=-2或c1(舍去).
2所以抛物线的解析式为y1x23x2.
22
(3)①当P在BC下方时,过点P作x轴的垂线交BC于F.
1直线BC的解析式为y1x2.
123112
设P(m,m2m2),那么F(m,m2),FPm22m.
2222
1所以S△PBC=S△PBF+S△PCF=FP(xB
xC)
2FP
m4m(m2)4
因此当P在BC下方时,
△PBC的最大值为
4.
当P在BC上方时,因为
S△ABC=5,
所以
S△PBC<
5.
综上所述,0<
S<
②若△PBC的面积S为正整数,则这样的△PBC共有11个.
点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中,△PBC的面积为整数,依次为(5),4,3,2,1,(0),1,2,3,4,3,2,1,(0).
当P在BC下方,S=4时,点P在BC的中点的正下方,F是BC的中点.
请打开几何画板文件名“12菏泽21”,拖动点P在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,当四边形PB′A′B是等腰梯形时,四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.
请打开超级画板文件名“12菏泽21”,拖动点P在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,当四边形PB′A′B是等腰梯形时,四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.
1.四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,可以转化为四边形PB′OB的面积是△A′B′O面积的3倍.
2.联结PO,四边形PB′OB可以分割为两个三角形.
3.过点向x轴作垂线,四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形.
(1)△AOB绕着原点O逆时针旋转90°
,点A′、B′的坐标分别为(-1,0)、(0,2).因为抛物线与x轴交于A′-(1,0)、B(2,0),设解析式为y=a(x+1)(x-2),代入B′(0,2,)得a=1.
所以该抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-2)=-x+x+2.
(2)S△A′B′O=1.
如果S四边形PB′A′B=4S△A′B′O=4,那么S四边形PB′OB=3S△A′B′O=3.
如图2,作PD⊥OB,垂足为D.
设点P的坐标为(x,-x2+x+2).
1121312
S梯形PB'
OD2DO(B'
OPD)2x(2x2x2)2x32x22x.
1121332
SPDBDBPD(2x)(x2x2)x3x22.
解方程-x2+2x+2=3,得x1=x2=1.所以点P的坐标为(1,2).
图2图3图4
(3)如图3,四边形PB′A′B是等腰梯形,它的性质有:
等腰梯形的对角线相等;
等腰梯形同以底上的两个内角相等;
等腰梯形是轴对称图形,对称轴是经过两底中点的直线.
甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P:
作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE,那么点E的坐标为(1,2).而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的,所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.因此点E就是要探求的点P.
请打开几何画板文件名“12河南23”,拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动,可以体验到,PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分,当C是AB的中点时,PD达到最大值.观察面积比的度量值,可以体验到,左右两个三角形的面积比可以是9∶10,
也可以是10∶9.
1.第
(1)题由于CP//y轴,把∠ACP转化为它的同位角.
2.第
(2)题中,PD=PCsin∠ACP,第
(1)题已经做好了铺垫.
3.△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比.4.两个三角形的面积比为9∶10,要分两种情况讨论.
(1)设直线yx1与y轴交于点E,那么A(-2,0),B(4,3),E(0,1).
在Rt△AEO中,OA=2,OE=1,所以AE5.所以sinAEO25.
因为PC//EO,所以∠ACP=∠AEO.因此sinACP25.
将A(-2,0)、B(4,3)分别代入y=ax2+bx-3,得
4a2b30,
16a4b33.
5;
m;
232当S△PCD∶S△PCB=10∶9时,m.
第(3)题的思路是:
△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比.
而DNPDcosPDN
PDcos
ACP
25(1m2
m4)
51(m2)(m4),
BM=4-m.
①当S△PCD∶
S△PCB=9∶
10时,
(m
2)(m
4)
9(4
m).解得
m
5.
②当S△PCD∶
S△PCB=10∶
9时,
(4
32.
请打开几何画板文件名“11南通28”,拖动点P在射线AB上运动,可以体验到,当直线MN经过(0,2)点时,图形中的三角形都是等腰直角三角形;
△AMN和△AMP是两
个同高的三角形,MN=4MP存在两种情况.
1.第
(2)题准确画图,点的位置关系尽在图形中.
2.第(3)题把S△AMN=4S△AMP转化为MN=4MP,按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论.
(1)因为点B(2,1)在双曲线ym上,所以m=2.设直线l的解析式为ykxb,
kb0,k1,
代入点A(1,0)和点B(2,1),得kb0,解得k1,所以直线l的解析式为yx1.2kb1.b1.
(2)由点P(p,p1)(p>
1)的坐标可知,点P在直线yx1上x轴的上方.如图2,当y=2时,点P的坐标为(3,2).此时点M的坐标为(1,2),点N的坐标为(-1,2).
由P(3,2)、M(1,2)、B(2,1)三点的位置关系,可知△PMB为等腰直角三角形.由P(3,2)、N(-1,2)、A(1,0)三点的位置关系,可知△PNA为等腰直角三角形.所以△PMB∽△PNA.
在本题情景下,△AMN能否成为直角三角形?
情形一,如图5,∠AMN=90°
,此时点M的坐标为(1,2),点P的坐标为(3,2).情形二,如图6,∠MAN=90°
,此时斜边MN上的中线等于斜边的一半.
不存在∠ANM=90°
的情况.
图6
图5
如图1,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1).点D是线段BC上
动
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- 因动点产生的面积问题 中考 数学 压轴 产生 面积 问题
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