函数的定义域和值域.docx
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函数的定义域和值域
函数的定义域和值域
函数定义
映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射(mapping).记作“”
函数的概念
1.定义:
如果A,B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合A到集合B的一个函数,记作
,。
其中,叫做自变量,的取值范围A叫做函数的定义域;与的值相对应的的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。
函数与映射的关系与区别
①f(x)=(x-1)0;g(x)=1
②f(x)=x;g(x)=
③f(x)=x2;f(x)=(x+1)2
④f(x)=|x|;g(x)=
重点一:
函数的定义域各种类型例题分析
例求下列函数的定义域(用区间表示)
(1);
解:
,解得函数定义域为.
例当a取何实数时,函数y=lg(-x2+ax+2)的定义域为(-1,2)?
分析:
可转化为:
确定a值,使关于x的不等式-x2+ax+2>0的解集为(-1,2).
解:
-x2+ax+2>0x2-ax-2<0,故由根与系数的关系知a=(-1)+2=1即为所求.
练习、求下列函数的定义域
(1)
(2)
抽象函数定义域
【类型一】“已知f(x),求f(…)”型
例:
已知f(x)的定义域是[0,5],求f(x+1)的定义域。
【类型二】“已知f(…),求f(x)”型
例:
已知f(x+1)的定义域是[0,5],求f(x)的定义域。
【类型三】“已知f(…),求f(…)”型
例:
已知f(x+2)的定义域为[-2,3),求f(4x-3)的定义域。
【思路】f(…)f(x)f(…)
例.函数的定义域为,则函数的定义域是___。
分析:
因为相当于中的x,所以,解得
或。
例已知函数f(2x)的定义域是[-1,2],求f(log2x)的定义域.
分析:
在同一法则f下,表达式2x与log2x的值应属于“同一范围”.
解:
∵-1≤x≤2,∴≤2x≤4故≤log2x≤4即
log2≤log2x≤log216≤x≤16.
总结:
已知F(g(x))的定义域为A,求F(h(x))的定义域,关键是求出既满足g(x)∈B,又满足h(x)∈B的x取值集合,在此例中,A=[-1,2],B=[,4].
例.已知函数定义域为(0,2),求下列函数的定义域:
(1);
(2)。
解:
(1)由0<x<2,得
练习
1、函数的定义域是[0,2],则函数的定义域是___________.
2、已知函数的定义域是[-1,1],则的定义域为
___________.
3、已知的定义域为,则的定义域为___________.
重点二:
求函数解析式的几种常用方法
1.换元法:
例已知f(x+1)=+2x-3,求f(x)
解:
令x+1=t,则x=t-1代入函数式中得:
f(t)=+2(t-1)-3=-4
∴f(x)=-4
说明:
f(x),f(t)都是同一个对应法则,只是自变量的表示不同,从函数来看没有区别.
练习、1若f(x)=2x2-1,求f(x-1)
2已知函数f(2x+1)=3x+2,求f(x).
2.配凑法:
上例中,把已知的f(x+1)中的x+1看成是一个整体变量进行处理.
∵f(x+1)=+2x+1-4
=-4
用x代替x+1,得:
f(x)=-4
例已知f(x+)=,求f(x).
分析:
将用x+表示出来,但要注意定义域。
解:
f(x+)=
=
变式、1已知x≠0,函数f(x)满足f()=,求f(x).
2已知,求
3、待定系数法:
例.一次函数f(x)满足f[f(x)]=9x+8,求f(x).
解:
设此一次函数解析式为f(x)=kx+b,则有:
f[f(x)]=kf(x)+b
=k(kx+b)+b
=
由已知得:
=9x+8.
即解得或所求一次函数解析式为:
f(x)=3x+2,或f(x)=-3x-4.
例已知是二次函数,若,求.
4.解方程组法:
例设f(x)满足f(x)+2f()=x(x≠0),求f(x).
分析:
要求f(x)需要消去f(),根据条件再找一个关于f(x)与f()的等式通过解方程组达到目的。
解:
将f(x)+2f()=x中的x用代替得f()+2f(x)=.
消去f()得:
例若3f(x)+f(-x)=2–x,求f(x).
解:
用-x替换式中x得:
3f(-x)+f(x)=2+x.
消去f(-x)得:
f(x)=2-2x
练习、1若,求.
2若满足求
重点三函数的值域
、观察法:
例、求下列函数的值域
(1)y=3x+2 (-1x1)
(2)
、配方法:
例、已知函数,分别求它在下列区间上的值域。
(1)x∈R;
(2)[3,4] (3)[0,1] (4)[0,5]
练习:
.已知函数,分别求它在下列区间上的值域。
(1);
(2);(3);(4)
2.求函数的值域
说明:
配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,一般是根据函数所给x的取值范围,结合函数的图象求得函数的值域.
例.若实数x、y满足x2+4y2=4x,求S=x2+y2的值域
解:
∵4y2=4x-x2≥0
∴x2-4x≤0,即0≤x≤4
∴当x=4时,Smax=16
当x=0时,Smin=0
∴值域0≤S≤16
例.已知函数y=f(x)=x2+ax+3在区间x∈[-1,1]时的最小值为-3,求实数a的值.
分析:
的位置取决于a,而函数的自变量x限定在[-1,1]内,因此,有三种可能性,应分别加以讨论.
解:
综合
(1)
(2)(3)可得:
a=±7
、换元法
例、求函数的值域。
解:
令,则13-4x=t2
∴
该二次函数的对称轴为t=1,又t≥0由二次函数的性质可知y≤4,当且仅当t=1即x=3时等式成立,∴原函数的值域为(-∞,4]。
例.求函数的值域。
解析:
方法1、可用换元法解答方法2、根据函数的单调性来做
例求函数y=2x+2-3×4 x(-1≤x≤0) 的值域
解y=2x+2-3·4x
=4·2x-3·22x
令2x=t
例
练习、1.求函数的值域
2.求函数的值域
形如:
的函数可令,则转化为关于t的二次函数求值。
(四)、分离常数法
例求函数的值域。
练习、1.求的值域
2.求值域
例、求函数的值域。
解析:
因为,
而,所以,则,
故所求函数的值域为。
(此题也可用判别式法求解)
对于形如的有理分式函数均可利用部分分式发求其值域。
(五)判别式法
例
解由已知得(2y-1)x2-(2y-1)x+(3y-1)=0(*)
(2)若2y-1≠0,则∵x∈R
∴Δ=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0
即(2y-1)(10y-3)≤0
练习1求函数的值域.
2求函数y=的值域。
(六)利用函数的单调性
例
解:
例
解:
调递减
例:
若函数的定义域为R,求k的取值范围。
【变】若函数的定义域为R,求k的取值范围。
函数的定义域与值域
目的:
1.能够由函数表达式求出定义域(各种不同类型);
2.对含字母系数的定义域会对字母参数取值范围进行全面讨论;
3.掌握求函数值域的基本方法:
观察法、配方法、判别法、换元法、反函数法、均值不等式法、
及图象法。
一、选择题:
1.函数y=的取定义域是()
A.[-1,1]B.C.[0,1]D.{-1,1}
2.已知函数f(x)=的定义域是一切实数,则M的取值范围是()
A.0<m<1B.0≤m≤4C.m≥4D.0<m≤4
3.已知函数f(x)的定义域为[0,1],那么函数f(x-1)的定义域为()
A.[0,1]B.[1,2]C.[1,]D.[-,-1]∪[1,]
5.函数y=2-的值域是()
A.[-2,2]B.[1,2]C.[0,2]D.[-,]
6.值域是(0,+∞)的函数是()
A.y=5-2B.y=()C.y=D.
7.函数的值域是()
A.(-∞,1)∪(5,+∞)B.(1,5)
C.(-∞,1)∪(1,+∞)D.(-∞,-)∪(-,+∞)
8.函数的值域是()
A.[-1,1]B.[0,1]C.[-1,0]D.[1,2]
9.函数的值域为()
A.B.C.D.
10.函数y=|x+1|+|x-2|的值域是()
A.B.C.D.
二、填空题:
11.函数的定义域为__________________
12.设,则f(x)的定义域是________________
13.函数y=2的值域为______________________
14.函数y=x+的值域为____________________
三.解答题:
15求下列函数的定义域
1、 2、
3、
4y=5y=
16求下列函数值域
(1)y=
(2)y=x2-2x+3,x∈[2,3]
(3)y=2x-(4)y=
17知函数在[5,20]上是单调函数,求实数k的取值范围。
18.当时,求函数的最小值。
19.已知在区间内有一最大值,求的值.
20.若函数的定义域为R,求实数a的取值范围。
21.若f(x+1)的定义域是,求的定义域。
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- 函数 定义域 值域