向量的数量积寻找合适的基底Word格式.docx
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442屯片片彳2
例如:
(a±
b)=a±
2a'
b+b
5、若a=^q+^d'
b=+,则
彳寸镯耐呻T呻2叫2时—
a,b=(^161+扎202卜(气ei+^e?
)=人气©
+為+(兀1»
2十兀2»
1
由此可见,只要知道基底的模与数量积,以及将a,b用基底表示出来,则可计算a:
(二)选择合适基底解题的步骤与技巧:
1、如何选择“合适”的基底:
题目中是否有两个向量模长已知,数量积可求呢?
如
果有,那就是它们了。
所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知。
常见的可以边所成向量作基底的图形有:
等边三角形,已知两边的直角三角形,矩形,特殊角的菱形等。
2、向量的表示:
尝试所求数量积的两个向量是否能被你所选中的基底进行表示,
常用的方法有:
(1)向量的加减运算
BDI:
CD=m:
n,J则AD=AC+aB,其
m+nm+n
(2)“爪”字型图:
在ABC中,D是BC上的点,如
中
T1T1T
AD,AB,AC知二可求一。
特别的,如果AD是BC边上的中线,贝UAD=—AC+—AB
22
3、计算数量积:
将所求向量用基地表示后,代入到所求表达式计算即可,但在计
算过程中要注意基底的夹角
、例题精炼例1:
如图,在LABC中,NBAC=120[aB=2,AC=1,D是边BC上一点,
rT
DC=2BD,贝UADBC=
知,所以很难直接求出数量积。
考虑是否有合适基底,NBAC=120,AB=2,AC=1,可计算出Ab-Ac=|AB|AC|cos120"
=-1,进而对于AB,AC,模长均已知,数量积已求,条件齐备,适合作为基底。
用AB,AC表示ADEC:
TTTT〔r2T
BC=AC—AB,AD=—AC+—AB,
33
.AD.BC=(AC—ABr1AC+2ABL1AC2+%;
AC—27B2—
(33丿33
133
心3
答案:
As訖一8
例2:
如图,已知在LABC中,AD丄AB,=V3BD,aD
TT
=1,贝yACAD=
思路:
观察条件,AC,AD很难直接利用公式求解.
虑选择两个向量表示AC,AD,条件中
AD丄AB=AD「AB=0(数量积有了),
考
AD=1(模长有了),所以考虑用AB,AD
作为基底。
下一步只需将AC表示出来,=BD:
CD=1:
(73-1)(底
边比值一一联想到“爪”字型图AS二住F+L7C,解得:
V3V3
AC=73aD-(73-1)AB
所以AC"
AD=(73aD-(73-1)AB).AD=73ad2=73
AC・AD=^
例3:
在边长为1的正三角形ABC中,设BC=2BD,CA=3CE,则
AD-BE=
如图,等边三角形三边已知,夹角已知,由此对于三边的向量,两两数量积均可计算,所以考虑aD,BE用三边向
所成
量进行表示,表示的方法很多,例如观察“爪”字形图可得
T1TTT2T[T
AD=—(AB+AC),BE=—BC+-BA
233
TT1TTCT1T)
二ADEE=—(AB+AC—BC+—BA2'
V33丿
AD・BE=-1
小炼有话说:
这道题由于是等边三角形,故可以建系去做,以
D为坐标原点,BC
所在直线为x轴,AD所在直线为y轴。
D,E坐标完成之时,就是AD”"
BE计算的
完成之日,且此法在计算上更为简便。
例4:
如图,在LABC中,已知AB=4,AC=6,NBAC=60,,点D,E分别在边AB,AC
cosBAC=12
由已知可得:
AB=16,AC=36,AB”AC=|aB||aC/.BF-DE=4答案:
C例5:
已知向量AB,AC的夹角是120,且IAb|=2,|AC|=3,若AP"
AB+AC,且AP丄BC,则实数A的值是思路:
题中AB,AC模长夹角已知,所以选择它们作为基底,表示AP,BC,再根据
AP丄BC求出A即可
rrrr
解:
BC=AC—AB*APIBC
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12
二①式变为:
4a+9-3(a-1)=0解得A=—
7
再作数量积运算并利用x+y=1消元即可求出最值
&
TtttTtttTt
CD=CB+BD=CB+xBABE=BC+CEBCyC
TtTTTtT2TTT--1TT
/.CD-BE=(CB+xBA卜(BC+yCA)=-BC+yCBCA+xBA-BC+xyBACA
=_1+1y+」x+-%=-1+-b+x”-Xy=--xj
2222222
»
X+y=1”y=1-X且0VXc1
(2)在消元时要注意,如果所消去的元本身有范围,则这个范围由主元来承担,比如本题中用X把y消掉,则X所满足的条件除了已知的x>
0之外,还有y>
0=y=1—x>
0,即卩Xc1例7:
如图,在四边形ABCD中,AB丄BC,AB=3,BC=4L|ACD是等边三角形,
则ACBD的值为思路:
从条件中可分析LABC,LADC的边所成的向
两之间数量积可求,其公共边为AC,所以以AC作为口,所求数量积中只有BD需要转换,可得
bd=bC+cd,所以AC.BD=AC・(BC+CD戶AC£
/ACCD,进而可解
TTT
BD=BC+CDtTtt—ttt—
二ACED=AC(BC+CD)=aCBC+ACQD在RtABC中,AC=Jab2+BC2=5
/.在等边三角形ADC中,DC=AC=5
(1)在求ACCD时要注意夹角不是NACD,而是它的补角!
甜,所以
(2)在求AC•BC也可以用投影定义来解,即AC在BC上的投影为
TT[Tf
ACBC=|bC
例8:
如图,四边形ABCD满足AB-AC=DBPC=0,|Ab|=2|Dc|=2,若M是BC
的中点,贝uAB”AM
A.1B.-1
C.
2
本题要抓住AB.AC.DC=0这个条件,所求表达式中主要解决
AM,DM。
从图中可发现AM,DM分别是LIABCUBDC的中线,从而AM,DM可
1TT1TT
用条件中的向量进行表示:
AM=2(AB+AC),DM=-(DB+DC),从而求得表达
式的值
AMJAB+AC),DMJDB+衣)
TT—MT1TTT1TTT
1—^21—!
=—AB+-AB227AB”AC=DB”DC=0,|AB|=2|dc|=2
T—HT1T21T23
.•.AB”AM-DMDC=—ABDC=-222
二AB”AM-DMDC=—AB(AB+AC)--DC(DB+DC)
*T1TT1T2
I”AC-—DCDBDC22T]
/.DC=1
D
3
2,则'
d)
例9:
菱形ABCD边长为2,ZBAD=120,点E,F分别在BC,CD上,且—ITTTTTTT
BE=aBC,DF=PDC,若AE”AF=1,CECF
A.1
C.5
四条边所成向量两两数量积可求,所以可以考虑
Trr3
将题目中所给的ALAF^CECF—2所涉及的向量用菱形的边和进行表
示,进而列出关于屮的方程,解出方程便可求出a+P
bTTTTTTTTTT解:
AE=AB+BE=AB+aBC,AF=AD+DF=AD+ADC
CE=(1-入=(1-A)CD
TTTTTT
二AE”AF=(AB+aBCHAD+ADC)
=AB.AD+^BC・AD+aDC.ABSBC睨一2+4"
4「2沖
TTTT
CECF=(1-A)(1-4)CBCD=—2()川一(A+A)+1)
I3
[—2+4(入+卩)+2aA=1j2(z+4)+)川=-
3={2=*
2(沖—(几+4)+1)=—I沖_(k+卩)=__L2[4
A+A=—
_1
_3
例10:
已知向量OA,OB,OC满足条件:
OA+OB+OC.O,且
=2,
点P是LABC内一动点,贝UAB”AP+BCbP+CACP=
TTTTrTT
本题已知OA,OB,OC模长,可对OA+OB+OC=0进行变形得到更多条件:
tTTTttTTT2T2tT
OA+OB+OC=0=OA+OB=-OC=(OA+OB)=OC=OAOB=—2,同理
OBOC=0COA=-2,从而可将所求式子中的向量均用OAQBQC表示再进行计
算即可。
1T^44TT^4TT22
OA+OB+OC=0=OA+OB=-OC=(OA+OB)=(—OC)
.OA^OBiOAO^OC2,代入IOatOB卜fOC
=2
TtTTTtTT
可得:
OAOB=—2,同理OBOC=OCOA=OA”OB=—2
/.AB”AP+BC”BP+CACP
=(OB-OA)(OP—OA)+(OC—OB)(OP—OB)+(OA—OC)(OP—OC)
TTTTTTTrTTtt
=(OB-OA)OP-(OB-OA)OA+(OC-OB)OP-(OC—OB)OB
+(OA-OC”O氐OAOCOC
「TTTTTTTTT
=(OB_OA)+(OC-OB)+(OA-OC)+OP-(OBQA+OCOB+OAQC)
^^222
+OA+OB+OC
=-(-6)+12=18
18
—IT—ITTT
(1)本题在处理OA,OB,OC关系时,从OA+OB=-0C入手两边同时模长平方,得到数量积的关系,这也是“向量等式-数量积等式”的常见变形方法
TT—ITr4
(2)在处理OA,OB,OC关系时也可以通过数形结合,从OA+OB+OC=0和
O^=|O^=|Oc|=2中发现OA,Ob,Oc在图像上的特点,推断出两两夹角120从而计算出它们的数量积
(3)P为动点,但从所求来看表达式有极大可能是一个定值,所以在应试时如果
想不到正规方法,也可以考虑利用特殊值进行处理,比如利用条件构造出一个特殊模型,即LABC为等边三角形,且0是中心,然后再给P选择一个特殊位置(比
如与0重合)计算出结果。
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