相似三角形证明题之欧阳史创编Word格式文档下载.docx
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如图,D是△ABC的边AC上一点,且CD=2AD,AE⊥BC于E,若BC=13,△BDC的面积是39,求AE的长。
8、已知:
如图,在△ABC中,AB=15,AC=12,AD是∠BAC的外角平分线且AD交BC的延长线于点D,DE∥AB交AC的延长线于点E。
9、已知:
如图,四边形ABCD中,CB⊥BA于B,DA⊥BA于A,BC=2AD,DE⊥CD交AB于E,连结CE,求证:
DE2=AE•CE
10、如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于F.
(1)ΔABE与ΔADF相似吗?
请说明理由.
(2)若AB=6,AD=12,BE=8,求DF的长.
11、如图:
三角形ABC是一快锐角三角形余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,是正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少?
12、已知:
如图:
FGHI为矩形,AD⊥BC于D,
,BC=36cm,AD=12cm。
求:
矩形FGNI的周长。
13、已知:
如图,DE∥BC,AF∶FB=AG∶GE。
ΔAFG∽ΔAED。
14、己知:
如图,AB∥CD,AF=FB,CE=EB.求证:
GC2=GF·
GD.
15、如图,在正方形ABCD中,E是CD的中点,EF⊥AE.求证:
AE2=AD×
AF.
[提示:
延长AE、BC交于G,先证ΔADE≌ΔGCE,ΔGCE∽ΔAEF]
16、如图,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,求AD的长
17、如图,正方形ABCD中,E是AD的中点,DM⊥CE,AB=6,求DM的长。
18、己知:
如图,AD是ΔABC的角平分线,EF垂直平分AD交BC的延长线于F.
FD2=FB·
FC.[提示:
连结AF]
19、已知:
如图,ΔABC中,∠ACB=900,F为AB的中点,EF⊥AB.求证:
ΔCDF∽ΔECF.
20、已知:
如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:
ΔAEF∽ΔACB.
21、已知:
如图,DE∥BC,AD2=AF·
AB。
ΔAEF∽ΔACD。
22、已知:
如图,ΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,DE⊥BC,AC=6,DE=4,求CD和AB的长
23、已知:
如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.求证:
AB·
BC=AC·
CD.
24、已知:
如图,CE是RtΔABC的斜边AB上的高,BG⊥AP.求证:
CE2=ED·
EP.
25、已知:
如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:
ΔABC∽ΔEAD.
26、已知:
如图,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:
ΔDBE∽ΔABC.
27、如图,∠B=900,AB=BE=EF=FC=1。
求证:
ΔAEF∽ΔCEA.
28、如图,在梯形ABCD中,AB⊥BC,∠BAD=90°
,对角线BD⊥DC。
(1)△ABD与△DCB相似吗?
请说明理由。
(2)如果AD=4,BC=9,求BD的长。
29、已知,如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点,△ADQ与△QCP是否相似?
为什么?
30、已知:
如图所示,D是AC上一点,BE//AC,BE=AD,AE分别交BD、BC于点F、G,∠1=∠2。
则BF是FG、EF的比例中项吗?
请说明理由
31、如图,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F,AC·
AE=AF·
AB吗?
说明理由。
32、如图,AD是Rt△ABC斜边BC上的高,DE⊥DF,且DE和DF
分别交AB、
33、如图,已知△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,点E、F在AB上,∠ECF=45°
.
(1)求证:
△ACF∽BEC;
(2)设△ABC的面积为S,求证:
AF·
BE=2S.
34、如图,在
ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.
(1)求证:
△ABF∽△EAD;
(2)若AB=4,∠BAE=30°
,求AE的长;
(3)在
(1)
(2)的条件下,若AD=3,求BF的长.
35、将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的点M重合,折线交AD于E,交BC于F,边AB折叠后与BC交于点G,
(1)如果M为CD的中点,求证:
DE∶DM∶EM=3∶4∶5.
(2)如果M为CD上任一点,设AB=2a,问△CMG的周长是否与点M的位置有关?
若有关,请把△CMG的周长用含DM的长x(即DM=x)的代数式表示;
若无关,请说明理由.
36、某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10米,20米的梯形空地上种植花木如图①,
(1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花,单价为8元/㎡,当△AMD地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元,请计算种满△BMC地带所需费用.
(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉两种花木可供选择,单价分别为12元/㎡和10元/㎡,应选择哪种花木,刚好用完所筹集的资金.(3)若梯形ABCD为等腰梯形,面积不变(如图②)请你设计一种花坛图案,即在梯形内找到一点P,使得△APB≌△DPC,且S△APD=S△BPC,并说明你的理由.
37、如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在BC、CD上,若△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似,求CM的长.
38、如图,已知△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,P点在AC上(与A、C不重合),Q在BC上.
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长.
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长.(3)试问:
在AB上是否存在一点M,使得△PQM为等腰直角三角形,若不存在,请简要说明理由;
若存在,请求出PQ的长.
39、操作:
如图,在正方形ABCD中,P为CD上一动点(与C、D不重合),使三角尺的直角顶点与点P重合,并且一条直角边始终经过点B,另一条直角边与正方形的某一边所在直线交于点E,探究:
(1)观察操作结果,哪一个三角形与△BPC相似?
并说明你的结论.
(2)当点P位于CD的中点时,你找到的三角形与△BCP的周长比是多少?
40、如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,DE⊥AC,M为DE的中点,AM与BE相交于N,AD与BE相交于F.
(1)
=
;
(2)△BCE∽△ADM;
(3)AM与BE互相垂直.
41、如图,在矩形ABCD中,AB=12㎝,BC=6㎝,点P沿AB边从点A开始向点B以2㎝/s的速度移动;
点Q沿DA边从点D开始向点A以1㎝/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6),那么
(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形;
(2)求四边形QAPC的面积,提出一个与计算结果有关的结论;
(3)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
42、如图,已知点E是四边形ABCD的对角线BD上一点,且∠BAC=∠BDC=∠DAE.
(1)求证:
BE·
AD=CD·
AE;
(2)根据图形特点,猜想
可能等于哪两条线段的比(只需写出图形中已有线段的一组比即可),并证明你的结论.
43、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
CD⊥AB,M是CD上的点,DH⊥BM于H,DH的延长线交AC的延长线于E.求证:
(1)△AED∽△CBM;
(2)AE·
CM=AC·
44、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上点,且满足AB2=DB·
CE.
(1)求证:
△ADB∽△EAC;
(2)若∠BAC=40°
,求∠DAE的度数
45、如图,P为正方形ABCD的边BC上的点,BP=3PC,Q是CD中点,
(1)求证:
△ADQ∽△QCP;
(2)在现在的条件下,请再写出一个正确结论.
46、如图,在△ABC中,∠BAC=90°
D为BC的中点,AE⊥AD,AE交CB的延长线于点E.
(1)求证:
△EAB∽△ECA;
(2)△
ABE和△ADC是否一定相似?
如果相似,加以说明,如果不相似,那么增加一个怎样的条件,△ABE和△ADC一定相似.
47、已知,如图,在△ABC中,D是BC的中点,且AD=AC,DE⊥BC交AB于点E,
EC与AD相交于点F.
(1)求证:
△ABC∽△FCD;
(2)若S△FCD=5,BC=10,求DE的长.
48、已知,梯形ABCD中,AD∥BC,AD<
BC,且AD=5,AB=DC=2.
(1)P为AD上一点,满足∠BPC=∠A,
△ABP∽△DPC;
(2)如果点P在AD边上移动(P与点A、D不重合),且满足∠BPE=∠A,
PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么,当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,
求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.
49、已知,如图,等边三角形ABC中,AB=2,点P是AB边上的任意一点(点P与点A重合,但不与点B重合),过点P作PE⊥BC于E,过点E作EF⊥AC于F,过点F作FQ⊥AB于点Q,设BP=x,AQ=y.
(1)写出y与x之间的函数关系式:
(2)当BP的长等于多少时,点P与点Q重合;
(3)当线段PE、FQ相交时,写出线段PE、EF、FQ所围成三角形的周长的取值范围.
50、如图,在△ABC中,AC=BC,F为边AB上的一点,BF∶AF=m∶n(m、n>0),取CF的中点D,连结AD并延长交BC于点E。
(1)求BE∶EC的值;
(2)若BE=2EC,那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系?
证明你的结论。
(3)E点能否成为BC中点?
若能,求出相应的m∶n,若不能,证明你的结论。
51、如图,已知,在△ABC中,BA=BC=20㎝,AC=30㎝,点P从A点出发,沿AB以4㎝/s的速度向点B运动;
同时点Q从C点出发,沿CA以3㎝/s的速度向A点运动,设运动时间为x,
(1)当x为何值时,PQ∥BC;
(2)当S△BCQ∶S△ABC=1∶3时,求S△BPQ∶S△ABC的值;
(3)△APQ能否与△CQB相似,若能,求出AP的长,若不能,请说明理由.
52、如图,△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°
∠BDC=60°
,CE⊥BD于E,连结AE.
(1)写出图中所有相等的线段,并加以说明;
(2)图中有无相似三角形,若有,请写出一对,若没有,请说明理由;
(3)求△BEC与△BEA的面积之比.
53、如图,在⊿ABC(AB>
AC)的边AB上取一点,在边AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P,求证:
BP:
CP=BD:
CE
54、已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AB,AD交BC于点E,DC⊥BC,与AD交于点D.
AC2=AE·
AD.提示:
证明△AEC∽△ACD.
55、已知:
如图,在△ABC中,∠CAB=90°
,AD⊥BC于点D,点E是AC边的中点,ED的延长线与AB的延长线交于点F.
△AFD∽△DFB.
56、已知:
如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O,OF⊥AC于点O,交AB于点E,交CB的延长线于点F,求证:
AO2=OE·
OF.
57、已知:
如图,ΔABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°
,点E、F是AB边所在直线上的两点,且∠ECF=135°
.
(1)求证:
ΔECA∽ΔCFB;
(2)若AE=2,设AB=x,BF=y,求y与x之间的函数关系式,并求定义域;
(3)若点P(a,b)在上述
(2)中的函数图象上移动,点P到点M(0,1)的距离为PM,P到x轴的距离为PN,PM-PN的值有变化吗?
若认为没有变化,请简要说明理由;
若认为有变化,请加以证明.
(1)略;
(2)y=
x2(x>0);
(3)PM-PN=1,不变
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