通用版202x高考数学一轮复习 21 函数及其表示讲义 理文档格式.docx
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”)
(1)对于函数f:
A→B,其值域是集合B.( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数.( )
(3)函数是一种特殊的映射.( )
(4)若A=R,B=(0,+∞),f:
x→y=|x|,则对应f可看作从A到B的映射.( )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( )
答案:
(1)×
(2)×
(3)√ (4)×
(5)×
二、选填题
1.下列图形中可以表示为以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
解析:
选C A选项,函数定义域为M,但值域不是N,B选项,函数定义域不是M,值域为N,D选项,集合M中存在x与集合N中的两个y对应,不能构成函数关系.故选C.
2.下列函数中,与函数y=x+1是相等函数的是( )
A.y=(
)2 B.y=
+1
C.y=
+1D.y=
选B 对于A,函数y=(
)2的定义域为{x|x≥-1},与函数y=x+1的定义域不同,不是相等函数;
对于B,定义域和对应关系都相同,是相等函数;
对于C,函数y=
+1的定义域为{x|x≠0},与函数y=x+1的定义域不同,不是相等函数;
对于D,定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B.
3.函数f(x)=
+
的定义域为________.
由题意得
解得x≥0且x≠2.
[0,2)∪(2,+∞)
4.若函数f(x)=
则f(f
(2))=________.
由题意知,f
(2)=5-4=1,f
(1)=e0=1,
所以f(f
(2))=1.
1
5.已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则f
(2)=________.
∵函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4)
∴4=-a+2,∴a=-2,即f(x)=-2x3-2x,
∴f
(2)=-2×
23-2×
2=-20.
-20
[典例精析]
(1)已知f
=lgx,求f(x)的解析式.
(2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x)的解析式.
(3)已知函数f(x)满足f(-x)+2f(x)=2x,求f(x)的解析式.
[解]
(1)(换元法)令
+1=t,得x=
,
代入得f(t)=lg
,又x>
0,所以t>
1,
故f(x)的解析式是f(x)=lg
,x∈(1,+∞).
(2)(待定系数法)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由f(0)=0,知c=0,f(x)=ax2+bx,
又由f(x+1)=f(x)+x+1,
得a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1,
即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,
所以
解得a=b=
.
所以f(x)=
x2+
x,x∈R.
(3)(解方程组法)由f(-x)+2f(x)=2x,①
得f(x)+2f(-x)=2-x,②
①×
2-②,得3f(x)=2x+1-2-x.
即f(x)=
故f(x)的解析式是f(x)=
,x∈R.
[解题技法]
求函数解析式的3种方法及口诀记忆
待定系数法
当函数的特征已经确定时,一般用待定系数法来确定函数解析式
换元法
如果给定复合函数的解析式,求外函数的解析式,通常用换元法将内函数先换元,然后求出外函数的解析式
解方程组法
如果给定两个函数的关系式,可以通过变量代换建立方程组,再通过方程组求出函数解析式
口诀记忆
解析式,如何定,待定换元解方程;
已知函数有特征,待定系数来确定;
复合函数问根源,内函数,先换元;
两个函数有关系,方程组中破玄机.
[过关训练]
1.[口诀第3句]已知函数f(x-1)=
,则函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
选A 令x-1=t,则x=t+1,∴f(t)=
.故选A.
2.[口诀第2句]若二次函数g(x)满足g
(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,则g(x)=________.
设g(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵g
(1)=1,g(-1)=5,且图象过原点,
∴
解得
∴g(x)=3x2-2x.
3x2-2x
3.[口诀第4句]已知f(x)满足2f(x)+f
=3x,则f(x)=________.
∵2f(x)+f
=3x,①
把①中的x换成
,得2f
+f(x)=
.②
联立①②可得
解此方程组可得f(x)=2x-
(x≠0).
2x-
(x≠0)
[考法全析]
考法
(一) 已知函数解析式求定义域
[例1] 求下列函数的定义域:
(1)f(x)=
;
(2)f(x)=
[解]
(1)要使函数f(x)有意义,则
解不等式组得x≥3.
因此函数f(x)的定义域为[3,+∞).
(2)要使函数f(x)有意义,则
即
解不等式组得-1<x<1.
因此函数f(x)的定义域为(-1,1).
考法
(二) 求抽象函数的定义域
[例2] 已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f
+f(x-1)的定义域为( )
A.(-2,0) B.(-2,2)
C.(0,2)D.
[解析] 由题意得
∴0<x<2,∴函数g(x)=f
+f(x-1)的定义域为(0,2),故选C.
[答案] C
考法(三) 已知函数的定义域求参数的值(范围)
[例3]
(1)若函数y=
的定义域为R,则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
(2)若函数f(x)=
的定义域为{x|1≤x≤2},则a+b的值为________.
[解析]
(1)∵函数y=
的定义域为R,
∴mx2+4mx+3≠0,
∴m=0或
即m=0或0<m<
∴实数m的取值范围是
(2)∵函数f(x)=
的定义域为{x|1≤x≤2},
∴a+b=-
[答案]
(1)D
(2)-
[规律探求]
看个性
考法
(一)是根据具体的函数解析式求定义域,已知解析式的函数,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可.
考法
(二)是求抽象函数的定义域,有如下解法:
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
考法(三)是考法
(一)的逆运用,通常是转化为含参数的不等式求解
找共性
1.谨记函数定义域的有关口诀
定义域,是何意,自变量,有意义;
分式分母不为零,对数真数只取正;
偶次根式要非负,三者结合生万物;
和差积商定义域,不等式组求交集.
2.函数定义域问题注意事项
(1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围,而不是g(x)的取值范围;
(2)求函数的定义域时,对函数解析式先不要化简;
(3)求出函数的定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式;
(4)函数f(x)±
g(x)的定义域是函数f(x),g(x)的定义域的交集
[过关训练]
1.[口诀第1、2、3、4句]y=
-log2(4-x2)的定义域是( )
A.(-2,0)∪(1,2) B.(-2,0]∪(1,2)
C.(-2,0)∪[1,2)D.[-2,0]∪[1,2]
选C 要使函数有意义,则
解得x∈(-2,0)∪[1,2),
即函数的定义域是(-2,0)∪[1,2).
2.[口诀第1句]已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-
],则函数y=f(x)的定义域为________.
因为y=f(x2-1)的定义域为[-
],所以x∈[-
],x2-1∈[-1,2],所以y=f(x)的定义域为[-1,2].
[-1,2]
3.[口诀第1、3句]若函数f(x)=
的定义域为实数集R,则实数a的取值范围为________________.
若函数f(x)=
的定义域为实数集R,
则x2+ax+1≥0恒成立,即Δ=a2-4≤0,解得-2≤a≤2,
即实数a的取值范围是[-2,2].
[-2,2]
[全析考法过关]
考法
(一) 分段函数求值
[例1]
(1)(2019·
石家庄模拟)已知f(x)=
则f
=________.
(2)已知f(x)=
则f(7)=__________________________________.
[解析]
(1)∵f
=log3
=-2,
∴f
=f(-2)=
-2=9.
(2)∵7<9,
∴f(7)=f(f(7+4))=f(f(11))=f(11-3)=f(8).
又∵8<9,
∴f(8)=f(f(12))=f(9)=9-3=6.
即f(7)=6.
[答案]
(1)9
(2)6
考法
(二) 求参数或自变量的值(范围)
[例2]
(1)(2018·
全国卷Ⅰ)设函数f(x)=
则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是( )
A.(-∞,-1] B.(0,+∞)
C.(-1,0)D.(-∞,0)
(2)(2019·
长春模拟)已知函数f(x)=
若f(a)+f
(1)=0,则实数a=________.
[解析]
(1)∵f(x)=
∴函数f(x)的图象如图所示.
结合图象知,要使f(x+1)<f(2x),
则需
或
∴x<0,故选D.
(2)当a>
0时,由f(a)+f
(1)=0得2a+2=0,无实数解;
当a≤0时,由f(a)+f
(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件.
[答案]
(1)D
(2)-3
考法
(一)是求分段函数的函数值.在求分段函数的函数值时,一定要先判断自变量属于定义域的哪个子集,再代入相应的关系式.若涉及复合函数求值,则从内到外逐层计算,当自变量的值不确定时,要分类讨论.
考法
(二)是在考法
(一)的基础上迁移考查分段函数中,已知函数值或不等关系求参数或自变量的值或范围.解与分段函数有关的方程或不等式,从而求得自变量或参数的取值(范围)时,应根据每一段的解析式分别求解.解得值(范围)后一定要检验其是否符合相应段的自变量的取值范围
(1)无论考法
(一)还是考法
(二)都要根据自变量或参数所在区间来解决问题,搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件;
(2)解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”,即自变量的取值属于哪一段范围,就用哪一段的解析式来解决问题
1.已知函数f(x)=
则f(1+log25)=________.
因为2<log25<3,所以3<1+log25<4,则4<2+log25<5,则f(1+log25)=f(1+1+log25)=f(2+log25)=
=
×
2.(2018·
衡阳模拟)已知函数f(x)=
(a∈R),若f(f(-1))=1,则a=________.
∵f(-1)=2-(-1)=2,∴f(f(-1))=f
(2)=4a=1,解得a=
一、题点全面练
1.(2019·
重庆调研)函数y=log2(2x-4)+
的定义域是( )
A.(2,3) B.(2,+∞)
C.(3,+∞)D.(2,3)∪(3,+∞)
选D 由题意,得
解得x>
2且x≠3,所以函数y=log2(2x-4)+
的定义域为(2,3)∪(3,+∞),故选D.
合肥质量检测)已知函数f(x)=
则f(f
(1))=( )
A.-
B.2
C.4D.11
选C ∵f
(1)=12+2=3,∴f(f
(1))=f(3)=3+
=4.故选C.
3.已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f(g
(1))=1,则a=( )
A.1B.2
C.3D.-1
选A 由已知条件可知f(g
(1))=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a-1|=0,得a=1.故选A.
4.(2018·
荆州联考)若函数f(x)的定义域是[1,2019],则函数g(x)=
A.[0,2018]B.[0,1)∪(1,2018]
C.(1,2019]D.[-1,1)∪(1,2018]
选B 由题知,1≤x+1≤2019,解得0≤x≤2018,又x≠1,所以函数g(x)=
的定义域是[0,1)∪(1,2018].
5.已知f
=2x-5,且f(a)=6,则a等于( )
B.-
D.-
选A 令t=
x-1,则x=2t+2,f(t)=2(2t+2)-5=4t-1,故f(x)=4x-1,则f(a)=4a-1=6,解得a=
6.(2019·
(0<a<1),且f(-2)=5,f(-1)=3,则f(f(-3))=( )
A.-2B.2
C.3D.-3
选B 由题意得,f(-2)=a-2+b=5,①
f(-1)=a-1+b=3,②
联立①②,结合0<a<1,得a=
,b=1,
则f(-3)=
-3+1=9,f(f(-3))=f(9)=log39=2.
7.(2018·
福州二模)已知函数f(x)=
若f(a)=3,则f(a-2)=( )
B.3
C.-
或3D.-
或3
选A 当a>
0时,若f(a)=3,则log2a+a=3,解得a=2(满足a>
0);
当a≤0时,若f(a)=3,则4a-2-1=3,解得a=3,不满足a≤0,舍去.于是,可得a=2.故f(a-2)=f(0)=4-2-1=-
8.(2019·
合肥质检)已知函数f(x)满足f(2x)=2f(x),且当1≤x<2时,f(x)=x2,则f(3)=( )
D.9
选C ∵f(2x)=2f(x),且当1≤x<2时,f(x)=x2,∴f(3)=2f
=2×
2=
9.(2019·
合肥模拟)已知f(x)的定义域为{x|x≠0},且3f(x)+5f
+1,则函数f(x)的解析式为________________________.
用
代替3f(x)+5f
+1中的x,得3f
+5f(x)=3x+1,
3-②×
5得f(x)=
x-
f(x)=
10.设函数f(x)=
若f(m)>
f(-m),则实数m的取值范围是________.
函数f(x)=
当m>
0时,f(m)>
f(-m),即-lnm>
lnm,即lnm<0,解得0<m<1;
当m<0时,f(m)>
f(-m),即ln(-m)>
-ln(-m),
即ln(-m)>
0,解得m<-1.
综上可得,m<-1或0<m<1.
(-∞,-1)∪(0,1)
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1.若函数y=f(x+1)的值域为[-1,1],则函数y=f(3x+2)的值域为( )
A.[-1,1]B.[-1,0]
C.[0,1]D.[2,8]
选A 函数y=f(x+1)的值域为[-1,1],由于函数中的自变量取定义域内的任意数时,函数的值域都为[-1,1],故函数y=f(3x+2)的值域为[-1,1].故选A.
山西名校联考)设函数f(x)=lg(1-x),则函数f[f(x)]的定义域为( )
A.(-9,+∞)B.(-9,1)
C.[-9,+∞)D.[-9,1)
选B f[f(x)]=f[lg(1-x)]=lg[1-lg(1-x)],其定义域为
的解集,解得-9<x
<1,所以f[f(x)]的定义域为(-9,1).故选B.
3.(2018·
安阳三校联考)若函数f(x)=
的定义域为一切实数,则实数m的取值范围是( )
A.[0,4)B.(0,4)
C.[4,+∞)D.[0,4]
选D 由题意可得mx2+mx+1≥0恒成立.
当m=0时,1≥0恒成立;
当m≠0时,则
解得0<m≤4.
综上可得,0≤m≤4.
4.(2019·
珠海质检)已知函数f(x)=
的值域为R,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1]B.
选C 由题意知y=lnx(x≥1)的值域为[0,+∞),故要使f(x)的值域为R,则必有y=(1-2a)x+3a为增函数,且1-2a+3a≥0,所以1-2a>
0,且a≥-1,解得-1≤a<
5.(2018·
合肥质检)已知函数f(x)=
的值域是[0,+∞),则实数m的取值范围是________.
当m=0时,函数f(x)=
的值域是[0,+∞),显然成立;
0时,Δ=(m-3)2-4m≥0,解得0<m≤1或m≥9.显然m<0时不合题意.综上可知,实数m的取值范围是[0,1]∪[9,+∞).
[0,1]∪[9,+∞)
(二)技法专练——活用快得分
6.[排除法]设x∈R,定义符号函数sgnx=
则( )
A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|
C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx
选D 当x<0时,|x|=-x,x|sgnx|=x,xsgn|x|=x,|x|sgnx=(-x)·
(-1)=x,排除A、B、C,故选D.
7.[特殊值法]函数y=
(a>
0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则loga
+loga
=( )
C.3D.4
选C 当x=1时,y=0,则函数y=
在[0,1]上为减函数,故a>
1.∴当x=0时,y=1,则
=1,∴a=2.∴log2
+log2
=log2
=log28=3.
8.[数形结合法]设函数f(x)=
则满足f(x)+f(x-1)>
1的x的取值范围是________.
画出函数f(x)的大致图象如图,易知函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.又因为x>
x-1,且x-(x-1)=1,f(0)=1,所以要使f(x)+f(x-1)>
1成立,则结合函数f(x)的图象知只需x-1>
-1,解得x>
0.故所求x的取值范围是(0,+∞).
(0,+∞)
(三)素养专练——学会更学通
9.[逻辑推理]具有性质f
=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,给出下列函数:
①f(x)=x-
②f(x)=x+
③f(x)=
其中满足“倒负”变换的函数是( )
A.①③B.②③
C.①②③D.①②
选A 对于①,f
-x=-f(x),满足题意;
对于②,f
+x=f(x),不满足题意;
对于③,f
即f
故f
=-f(x),满足题意.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.故选A.
10.[数学运算]已知函数f(x)=
g(x)=2x-1,则f(g
(2))=__________,f(g(x))的值域为________.
g
(2)=22-1=3,∴f(g
(2))=f(3)=2.易得g(x)的值域为(-1,+∞),∴若-1<g(x)≤0,f(g(x))=[g(x)]2-1∈[-1,0);
若g(x)>
0,f(g(x))=g(x)-1∈(-1,+∞),∴f(g(x))的值域是[-1,+∞).
2 [-1,+∞)
11.[数学抽象]设函数f:
R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R都有f(xy+1)=
f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(2018)=________.
令x=y=0,则f
(1)=f(0)·
f(0)-f(0)-0+2=1×
1-1-0+2=2.令y=0,则f
(1)=f(x)f(0)-f(0)-x+2,将f(0)=1,f
(1)=2代入,可得f(x)=1+x,所以f(2018)=2019.
2019
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