高考数学江苏专版三维二轮专题复习教学案专题五 函数 Word版含答案Word格式.docx
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1.求函数定义域的类型和相应方法
1若已知函数的解析式,则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式组即可.
2实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还应使实际问题有意义.
2.求函数值的注意点
形如fgx的函数求值时,应遵循先内后外的原则;
而对于分段函数的求值解不等式问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解;
对具有周期性的函数求值要利用其周期性.
3.函数的图象
1作图
若函数表达式或变形后的表达式是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征描点作出;
若函数图象可由基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.尤其注意y=fx与y=f-x,y=-fx,y=-f-x,y=f|x|,y=|fx|及y=afx+b的相互关系.,2识图,从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.
3用图
图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.
函数的基本性质
[必备知识]
1.函数的单调性
单调性是函数的一个局部性质,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.判断函数单调性常用定义法、图象法及导数法.
2.函数的奇偶性
函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的图象关于y轴对称,在关于坐标原点对称的定义域上具有相反的单调性;
奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐标原点对称的定义域上具有相同的单调性,判断函数奇偶性的常用方法有定义法、图象法及性质法.
3.函数的周期性
周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数满足f(a+x)=f(x)(a不等于0),则其一个周期T=|a|,最小正数T叫做f(x)的最小正周期.
4.函数的对称性
若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)或f(x)=f(2a-x),则函数f(x)关于直线x=a对称.
若函数f(x)满足f(a-x)=-f(a+x)或f(x)=-f(2a-x),则函数f(x)关于点(a,0)中心对称.
[题组练透]
南京三模)已知函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数.当x∈[2,4]时,f(x)=,则f的值为________.
因为函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数,所以f=f=f,因为当x∈[2,4]时,f(x)=,所以f=f==log42=.
盐城期中)若函数f(x)=在区间(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是________.
函数f(x)=根据反比例函数的性质可知,在区间(-∞,0)上单调递减,要使函数f(x)在区间(-∞,a)上单调递减,则a≤0.因此函数f(x)=|x+1|在区间(a,+∞)上单调递增,那么a+1≥0,解得a≥-1.所以实数a的取值范围是[-1,0].
[-1,0]
苏北四市期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>
0时,f(x)=2x-3,则不等式f(x)≤-5的解集为______________.
若x<0,则-x>0,
∵当x>0时,f(x)=2x-3,
∴当-x>0时,f(-x)=2-x-3,
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=2-x-3=-f(x),
则f(x)=-2-x+3,x<0,
当x>0时,不等式f(x)≤-5等价于2x-3≤-5,
即2x≤-2,无解,不成立;
当x<0时,不等式f(x)≤-5等价于-2-x+3≤-5,即2-x≥8,得-x≥3,即x≤-3;
当x=0时,f(0)=0,不等式f(x)≤-5不成立,
综上,不等式的解为(-∞,-3].
(-∞,-3]
4.(2017·
江苏高考)已知函数f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然对数的底数.若
f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是________.
由f(x)=x3-2x+ex-,
得f(-x)=-x3+2x+-ex=-f(x),
所以f(x)是R上的奇函数.
又f′(x)=3x2-2+ex+≥3x2-2+2=3x2≥0,当且仅当x=0时取等号,
所以f(x)在其定义域内单调递增.
因为f(a-1)+f(2a2)≤0,
所以f(a-1)≤-f(2a2)=f(-2a2),
所以a-1≤-2a2,解得-1≤a≤,
故实数a的取值范围是.
1.破解函数的单调性的四种方法
数形结合法
对于填空题能画出图象的函数
转化法
由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数,(常转化为基本初等函数单调性的判断问题)
导数法
解析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数
定义法
抽象函数
2.判断函数的奇偶性的三个技巧
(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称;
(2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;
(3)对于偶函数而言,有f(-x)=f(x)=f(|x|).
3.函数性质的应用
可以利用函数的性质确定函数图象,并充分利用已知区间上函数的性质解决问题,体现转化思想.
基本初等函数
1.指数函数的图象与性质
y=ax(a>
0,且a≠1)
a>
1
0<
a<
图象
性质
定义域:
R
值域:
(0,+∞)
过定点(0,1)
当x>
0时,y>
1;
x<
0时,0<
y<
在(-∞,+∞)上是增函数
在(-∞,+∞)上是减函数
2.对数函数的图象与性质
y=logax(a>
过定点(1,0),即x=1时,y=0
1时,y>
0;
当0<
1时,y<
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
3.二次函数的图象和性质
y=ax2+bx+c(a≠0)
函数性质
定义域
值域
奇偶性
b=0时为偶函数,b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
单调性
x∈时递减,
x∈时递增
x∈时递增,
x∈时递减
图象特点
对称轴:
x=-;
顶点:
4.幂函数图象的比较
5.常见幂函数的性质
特征
y=x
y=x2
y=x3
y=x-1
[0,+∞)
{x|x∈R
且x≠0}
{y|y∈R
且y≠0}
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
增
x∈[0,+∞)
时,增;
x∈(-∞,0]
时,减
x∈(0,+∞)和
(-∞,0)时,减
公共点
(1,1)
南通海安检测)已知幂函数f(x)=xα,其中α∈.则使f(x)为奇函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数的α的所有取值的集合为________.
幂函数f(x)为奇函数,则α=-1,1,3,f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,则α的所有值为1,3.
{1,3}
江苏学易联考期末)函数y=
的单调递增区间是__________.
由题意可得-x2+x+2≥0,解得-1≤x≤2,故函数y=
的定义域为[-1,2].又函数f(x)=-x2+x+2在区间上单调递增,在区间上单调递减,根据复合函数的单调性可得函数y=
的单调递增区间为.
扬州期中)已知函数f(x)=x(1-a|x|)+1(a>0),若f(x+a)≤f(x)对任意的x∈R恒成立,则实数a的取值范围是__________.
∵f(x)=x(1-a|x|)+1
=
=(a>
0),
f(x+a)=(x+a)(1-a|x+a|)+1,
又∵f(x+a)≤f(x)对任意的x∈R恒成立,
在同一直角坐标系中作出满足题意的y=f(x+a)与y=f(x)的图象如图所示:
∴x(1+ax)+1≥(x+a)[1-a(x+a)]+1恒成立,
即x+ax2+1≥-a(x2+2ax+a2)+x+a+1,
整理得:
2x2+2ax+a2-1≥0恒成立,
∴Δ=4a2-4×
2×
(a2-1)≤0,解得a≥.
[,+∞)
4.(2017·
苏北三市三模)如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函数y1=3logax,y2=2logax和y3=logax(a>
1)的图象上,则实数a的值为________.
设C(x0,logax0),则2logaxB=logax0,
即x=x0,解得xB=,
故xC-xB=x0-=2,解得x0=4,
即B(2,2loga2),A(2,3loga2),
由AB=2,可得3loga2-2loga2=2,解得a=.
基本初等函数图象与性质的应用技巧
(1)指数函数与对数函数的单调性都取决于其底数的取值,当底数a的值不确定时,要注意分a>
1和0<
1两种情况讨论.
(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数,其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质,然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断.
(3)对于幂函数y=xα的性质要注意α>
0和α<
0两种情况的不同.
函数的零点
1.函数零点的定义
对于函数f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点.
2.确定函数零点的常用方法
(1)解方程法;
(2)利用零点存在性定理;
(3)数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
苏锡常镇一模)若函数f(x)=则函数y=|f(x)|-的零点个数为________.
当x≥1时,y=-,
则=,即lnx=x2,
令g(x)=lnx-x2,x≥1,则函数g(x)是连续函数且先增后减,
g
(1)=-<0,g
(2)=ln2->0,
g(4)=ln4-2<0,由函数的零点判定定理可知g(x)=lnx-x2,有2个零点.
当x<1时,
y=
函数的图象与y=的图象如图,
则两个函数有2个交点,
综上,函数y=|f(x)|-的零点个数为4个.
4
南通二调)已知函数f(x)=其中m>
0.若函数y=f(f(x))-1有3个不同的零点,则m的取值范围是________.
令f(x)=t,则f(t)=1,所以t=或t=m-1,即f(x)=与f(x)=m-1有3个不同解.
所以即0<
m<
1.
(0,1)
江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=其中集合D=,则方程f(x)-lgx=0的解的个数是________.
由于f(x)∈[0,1),因此只需考虑1≤x<
10的情况,
在此范围内,当x∈Q且x∉Z时,设x=,q,p∈N*,p≥2且p,q互质.
若lgx∈Q,则由lgx∈(0,1),可设lgx=,m,n∈N*,m≥2且m,n互质,
因此10=,则10n=m,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾,因此lgx∉Q,
故lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等,
只需考虑lgx与每个周期内x∉D部分的交点.
画出函数草图(如图),图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期x∉D的部分,
且x=1处(lgx)′==<
1,则在x=1附近仅有一个交点,因此方程f(x)-lgx=0的解的个数为8.
8
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
[课时达标训练]
苏锡常镇一模)函数f(x)=的定义域为________.
由题意得
解得x>且x≠1,
故函数的定义域是.
2.函数f(x)=ln的值域是________.
因为|x|≥0,所以|x|+1≥1.
所以0<≤1.所以ln≤0,
即f(x)=ln的值域为(-∞,0].
(-∞,0]
启东模考)设函数f(x)=
则f(f
(2))=________.
因为f
(2)=-4+2=-2,f(-2)=-2-1=3,所以f(f
(2))=3.
3
4.已知f(x)是奇函数,g(x)=.若g
(2)=3,则g(-2)=________.
由题意可得g
(2)==3,则f
(2)=1,又f(x)是奇函数,则f(-2)=-1,所以g(-2)===-1.
-1
5.已知函数f(x)=若f
(1)+f(a-1)=2,则a的值为________.
因为f
(1)+f(a-1)=2,又f
(1)=0,所以f(a-1)=2,当a-1>0,即a>1时,有log2(a-1)=2,解得a=5.当a-1≤0,即a≤1时,有2a-1=2,解得a=2(舍去),所以a=5.
5
6.(2017·
泰州二中模考)函数f(x)是R上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=x+2,则f(7)=________.
因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则函数f(x)是周期为4的周期函数,则f(7)=f(7-8)=f(-1)=-f
(1)=-(1+2)=-3.
-3
7.(2017·
苏州考前模拟)设a=log2,b=log,c=0.3,则a,b,c按从小到大的顺序排列为______________.
由已知结合对数函数图象和指数函数图象得到a<
0,b>
1,0<
c<
b
8.(2017·
盐城响水中学学情分析)设函数f(x)=lg(x+)是奇函数,则实数m的值为________.
∵函数f(x)=lg(x+)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
即lg(-x+)=-lg(x+),
即lg(-x+)+lg(x+)
=lg[(-x+)(x+)]
=lg[1+(m-1)x2]=0,
即1+(m-1)x2=1,故m=1.
9.已知在(-1,1)上函数f(x)=若f(x)=-,则x的值为________.
当-1<x≤0时,由f(x)=sin=-,解得x=-;
当0<x<1时,由f(x)=log2(x+1)=-,解得x=-1,不符合题意,舍去,故x的值为-.
-
10.已知f(x)=(a>0且a≠1)满足对任意x1≠x2都有>0,那么实数a的取值范围是________.
因为任意x1≠x2,都有>0,则f(x)在R上为单调递增函数,则函数y=ax在[1,+∞)和函数y=(a-2)x+1在(-∞,1)上均为单调递增函数,所以⇒a>2.
(2,+∞)
11.(2017·
全国卷Ⅰ改编)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f
(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是________.
∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∵f
(1)=-1,∴f(-1)=-f
(1)=1.
故由-1≤f(x-2)≤1,
得f
(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又f(x)在(-∞,+∞)单调递减,
∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3.
[1,3]
12.(2017·
浙江高考)已知a∈R,函数f(x)=+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是________.
∵x∈[1,4],∴x+∈[4,5],
①当a≤时,f(x)max=|5-a|+a=5-a+a=5,符合题意;
②当a>
时,f(x)max=|4-a|+a=2a-4=5,
解得a=(矛盾),故a的取值范围是.
13.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是________.
依题意,h(x)=
当0<x≤2时,h(x)=log2x是增函数;
当x>2时,h(x)=3-x是减函数,
所以h(x)在x=2时,取得最大值h
(2)=1.
14.(2017·
全国卷Ⅲ)设函数f(x)=则满足f(x)+f>
1的x的取值范围是________.
由题意知,可对不等式分x≤0,0<
x≤,x>
讨论.
当x≤0时,原不等式为x+1+x+>
1,解得x>
-,所以-<
x≤0.
x≤时,原不等式为2x+x+>
1,显然成立.
时,原不等式为2x+2x->
综上可知,x的取值范围是.
1.已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是________.
法一:
根据题意,作出f(x)的大致图象,如图所示.
当x≤1时,若要f(x)≥恒成立,结合图象,只需x2-x+3≥-,即x2-+3+a≥0,故对于方程x2-+3+a=0,Δ=2-4(3+a)≤0,解得a≥-;
1时,若要f(x)≥恒成立,结合图象,只需x+≥+a,即+≥a.又+≥2,当且仅当=,即x=2时等号成立,所以a≤2.综上,a的取值范围是.
法二:
关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立等价于-f(x)≤a+≤f(x),
即-f(x)-≤a≤f(x)-在R上恒成立,
令g(x)=-f(x)-.
当x≤1时,g(x)=-(x2-x+3)-=-x2+-3
=-2-,
当x=时,g(x)max=-;
1时,g(x)=--=-≤-2,
当且仅当=,且x>
1,即x=时,“=”成立,
故g(x)max=-2.
综上,g(x)max=-.
令h(x)=f(x)-,
当x≤1时,h(x)=x2-x+3-=x2-+3
=2+,
当x=时,h(x)min=;
1时,h(x)=x+-=+≥2,
1,即x=2时,“=”成立,
故h(x)min=2.
综上,h(x)min=2.
故a的取值范围为.
2.已知函数y=与函数y=的图象共有k(k∈N*)个公共点:
A1(x1,y1),A2(x2,y2),…,Ak(xk,yk),则(xi+yi)=________.
y===2-,易知该函数在R上单调递增,值域为(0,2),且图象关于点(0,1)对称.y==1+,易知该函数在R上单调递减,且图象关于点(0,1)对称.故两函数图象有两个交点,它们关于点(0,1)对称,所以(xi+yi)=2.
2
扬州考前调研)已知函数f(x)=有两个不相等的零点x1,x2,则+的最大值为________.
当k=0时,函数f(x)只有一个零点,不合题意;
当k>0时,由于-<0,所以函数f(x)在(0,1]上至多有一个零点,在(1,+∞)上没有零点,不合题意;
当k=-1时,函数f(x)只有一个零点1,不合题意;
当k<-1时,函数f(x)在(0,1]上Δ=4+4k<0,没有零点,不合题意;
当-1<k<0时,函数f(x)在(0,1]上的零点为x1=,在(1,+∞)上零点为x2=,符合题意.所以+=-k+,令=t∈(0,1),则k=t2-1,则+=-t2+t+2=-2+≤.
南通三模)已知函数f(x)=若函数g(x)=2f(x)-ax恰有2个不同的零点,则实数a的取值范围是________.
g(x)=
显然当a=2时,g(x)有无穷多个零点,不符合题意;
当x≥a时,令g(x)=0,得x=0,
当x<
a时,令g(x)=0,得x=0或x2=,
①若a>
0,且a≠2,则g(x)在[a,+∞)上无零点,
在(-∞,a)上存在零点x=0和x=-,
∴≥a,解得0<
2,
②若a=0,则g(x)在[0,+∞)上存在零点x=0,
在(-∞,0)上存在零点x=-,符合题意.
③若a<
0,则g(x)在[a,+∞)上存在零点x=0,
∴g(x)在(-∞,a)上只有1个零点,
∵0∉(-∞,a),
∴g(x)在(-∞,a)上的零点为-,
∴-<
a,解得-<
0,
综上,a的取值范围是.
第2课时
不等式(基础课)
[常考题型突破]
不等式的解法
1.一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.
2.简单分式不等式的解法
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0);
(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0
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