人教A版选修22模块综合检测题Word格式.docx
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C.y=2sin2x-2cosxD.y=sin2x-2cosx
解析 y′=2(1-sinx)(1-sinx)′
=2(1-sinx)(-cosx)
=2sinxcosx-2cosx
=sin2x-2cosx.
4.函数f(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是( )
A.0<
f′
(2)<
f′(3)<
f(3)-f
(2)
B.0<
f(3)-f
(2)<
f′
(2)
C.0<
D.0<
f′(3)
5.如果复数的实部和虚部互为相反数,那么实数b的值为( )
A.B.-2
C.-D.
答案 C
6.观察按下列顺序排列的等式:
9×
0+1=1,9×
1+2=11,
2+3=21,9×
3+4=31,…,猜想第n(n∈N*)个等式应为( )
A.9(n+1)+n=10n+9
B.9(n-1)+n=10n-9
C.9n+(n-1)=10n-9
D.9(n-1)+(n-1)=10n-10
解析 等式的左边是9×
(等式的序号-1)+等式的序号,故选B.
7.如图阴影部分的面积是( )
A.e+B.e+-1
C.e+-2D.e-
8.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调增函数,则m取值范围是( )
A.m>
3B.m≥
C.m<
D.m<
9.曲线y=x3+x在点(1,)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )
A.B.
C.D.
答案 A
解析 ∵y′=x2+1,∴切线斜率k=12+1=2.
∴切线方程为y-=2(x-1),
与坐标轴的交点坐标为(0,-),(,0).
∴所求三角形面积为×
×
=.
10.a、b是非零实数,若a<
b,则下列不等式成立的是( )
A.a2<
b2B.ab2<
a2b
C.<
D.<
11.若函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.a≥3B.a=2
C.a≤3D.0<
a<
3
12.若关于x的方程x3-3x+m=0在[0,2]上有根,则实数m的取值范围是( )
A.[-2,2]B.[0,2]
C.[-2,0]D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
解析 m=-x3+3x,
令f(x)=-x3+3x,则f′(x)=-3x2+3.
令f′(x)=-3x2+3=0,得x=±
1,
且f(0)=0,f
(1)=2,f
(2)=-2.
∴f(x)max=2,f(x)min=-2.
∴m∈[-2,2].
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)
13.()2+()2=________.
答案 -4-3i
14.变速直线运动的物体的速度为v(t)=1-t2(m/s)(其中t为时间,单位:
s),则它在前2s内所走过的路程为________m.
答案 2
15.数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),依次计算a2,a3,a4,然后归纳猜想出an的表达式为________.
答案 an=
16.已知f(x)=x3+3x2+a(a为常数)在[-3,3]上有最小值3,那么[-3,3]上f(x)的最大值是________.
答案 57
解析 f′(x)=3x2+6x,令f′(x)=0,得x=0或x=-2.
①当0≤x≤3,-3≤x≤-2时,
f′(x)≥0,f(x)单调递增;
②当-2<
x<
0时,f(x)单调递减.
则最小值为f(-3)或f(0).
又由f(-3)=(-3)3+3×
(-3)2+a=a,f(0)=a,则a=3.
所以f(x)=x3+3x2+3在x=-2或x=3处取得最大值,而f(-2)=7,f(3)=57.所以最大值为57.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知复数z1=2-3i,z2=,
求
(1)z1·
z2;
(2).
解析 ∵z2===
==1-3i.
(1)z1·
z2=(2-3i)(1-3i)=2-9-9i=-7-9i;
(2)====+i.
18.(12分)在曲线y=x2(x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为,试求切点A的坐标以及切线方程.
解析 设点A(x0,x),函数y=x2的导函数为y′=2x,所以当x=x0导数为2x0.
曲线在点A处的切线方程为y-x=2x0(x-x0),
即y=2x0x-x.
可得切线与x轴交于点(,0),阴影部分的面积S=
x2dx-·
·
x=x3x00-x=x=,解得x0=1.
所以切点为(1,1),切线方程为y=2x-1.
19.(12分)
(1)求证:
tan(x+)=;
(2)设x∈R,a≠0,f(x)是非常数函数,且f(x+a)=.试问f(x)是周期函数吗?
证明你的结论.
解析
(1)tan(x+)==.
(2)类比猜想:
f(x)是以T=4a为周期的周期函数.
因为f(x+2a)=f(x+a+a)===-,
所以f(x+4a)=-=f(x).
所以f(x)是以T=4a为周期的周期函数.
20.(12分)已知a<
2,函数f(x)=(x2+ax+a)ex.
(1)当a=1时,求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x)的极大值是6·
e-2,求a的值.
解析
(1)当a=1时,f(x)=(x2+x+1)ex,
∴f′(x)=(x2+3x+2)ex.
由f′(x)≥0,得x2+3x+2≥0,
解得x≤-2或x≥-1.
∴f(x)的单调递增区间是(-∞,-2],[-1,+∞).
(2)f′(x)=[x2+(a+2)x+2a]ex.
由f′(x)=0,得x=-2或x=-a.
∵a<
2,∴-a>
-2.
当x变化时,f′(x),f(x)变化情况列表如下:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,-a)
-a
(-a,+∞)
f′(x)
+
-
f(x)
极大值
极小值
∴x=-2时,f(x)取得极大值.
而f(-2)=(4-a)·
e-2,
∴(4-a)e-2=6·
e-2.
∴a=-2.
21.(12分)设正数数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(an+),试求an,并用数学归纳法证明你的结论.
解析 当n=1时,a1=(a1+),∴a1=1.
当n=2时,a1+a2=(a2+),∴a2=-1(an>
0).
当n=3时,a1+a2+a3=(a3+),∴a3=-.
猜想:
an=-.
证明:
(1)当n=1时,已证.
(2)假设n=k时,ak=-成立,则当n=k+1时,
ak+1=Sk+1-Sk
=(ak+1+)-(ak+),
即ak+1-=-(ak+)
=-(-+)=-2.
∴ak+1=-.
由
(1)、
(2)可知,对n∈N*,an=-.
22.(12分)已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值-2.
(1)求f(x)的单调区间和极大值;
(2)证明对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<
4恒成立.
解析
(1)由奇函数的定义,
应有f(-x)=-f(x),x∈R,
即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d,∴d=0.
因此f(x)=ax3+cx,f′(x)=3ax2+c.
由条件f
(1)=-2为f(x)的极值,必有f′
(1)=0.
故解得a=1,c=-3.
因此f(x)=x3-3x,
f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
f′(-1)=f′
(1)=0.
当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>
0,
故f(x)在区间(-∞,-1)上是增函数;
当x∈(-1,1)时,f′(x)<
故f(x)在区间(-1,1)上是减函数;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>
故f(x)在区间(1,+∞)上是增函数.
∴f(x)在x=-1处取得极大值,极大值为f(-1)=2.
(2)由
(1)知,f(x)=x3-3x(x∈[-1,1])是减函数,且f(x)在[-1,1]上的最大值M=f(-1)=2,f(x)在
[-1,1]上的最小值m=f
(1)=-2.
∴对任意的x1,x2∈(-1,1),
恒有|f(x1)-f(x2)|<
M-m=2-(-2)=4.
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- 人教 选修 22 模块 综合 检测