质数与合数Word文档下载推荐.docx
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任何一个合数都可以分解成若干个质因数乘积的形式。
5、分解质因数可以借助短除法。
例1有两个质数,它们之和既是一个小于100的奇数,又是17的倍数,这两个质数的积是多少?
【分析】既小于100,又是17的倍数的奇数有17、51和85三个数。
偶数+奇数=奇数,可知两个质数中必有一个质数是偶数2
例2一个数A为质数,且A+20,A+40也都是质数,A是多少?
【分析】A+20,A+40都是质数,所以A≠2。
例3用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数,如果每个数字都要用到,并且只能用一次,这九个数字最多能组成多少个质数?
【分析】由“每个数字都要用到,且只能用一次,同时组成的质数的个数最多”的条件,可知组成质数时,注意尽可能地将合数4、6、8、9和最小自然数1组成两位数,同时要注意质数的含义。
因为8和9既可以组成质数89,又可以组成合数98,而4和6不可能组成质数,但它们与1可以组成质数41或61。
剩下的6或4与7可组成质数67或47。
例472的全部约数有多少个?
【分析】先把72分解质因数72=2×
2×
3×
3=23×
32
求一个数的约数个数,须先把这个数分解质因数,然后将每一质因数右上角的数(表示质因数的个数)各加1后相乘,其积就是这个数的约数个数。
例5144的全部约数之和是多少?
【分析】求一个自然数的全部约数的和,只需先把它分解质因数,将仅含有一种质因数的全部约数相加,再将这些和相乘,则积就是这个自然数的全部约数之和。
如72=23×
32,则72的全部约数的和是(1+2+4+8)×
(1+3+9)=15×
13=195。
例6有8个不同约数的自然数中,最小的一个数是多少?
因为8=1×
8=2×
4=2×
2,所以所求自然数,只可能有三种情况:
a7,a×
b3,a×
b×
c,其中a、b、c是不同的质数。
又因为要求的自然数是最小的,则质数a,b,c应尽量小,所以这个数有三种可能:
(1)27=128
(2)3×
23=24(2×
33>3×
23)。
(3)2×
5=30。
例7已知p·
q+1=x,其中p、q为质数,且p、q均小于1000,x是奇数,求x的最大值。
【分析】因为p·
q+1=x,所以p·
q=x-1。
又因为p·
q为质数,x是奇数,所以x-1是偶数。
即p·
q是偶数,又因为P、q为质数,所以p、q中必有一个偶质数2,不妨设p=2。
现在只要找出符合题意的质数q就行了。
为了使x尽可能大。
又因为q<1000,所以我们只须取q为最大的三位数质数997。
例8用1155个大小相同的正方形拼成一个长方形,有多少种不同的拼法。
【分析】根据题意知用1155个同样大小的正方形组成的各种长方形,其面积不变,可应用分解质因数的原理分解组合成两个数的乘积形式。
分解1155=3×
5×
7×
11
组合1155=3×
385=5×
231=7×
165=11×
105=15×
77=21×
55
=33×
35=1×
1155
例9某班同学在班主任老师带领下去种树,学生恰好平均分成三组。
如果师生每人种树一样多,共种了572棵,那么平均每人种了多少棵树?
【分析与解】因为师生每人种树一样多,共种了572棵,所以有
种树总数=每人种树棵数×
师生总人数
即572=每人种树棵数×
而学生数恰好平均分成3组,即学生数是3的倍数,再加上老师一人,则师生总人数被3除余1。
例10975×
935×
972×
(),要使这个连乘积的最后四个数字都是0,问在括号内最小应填什么数?
【分析】一组2与5相乘,其积的末尾有一个零。
因此,只需看一下这个连乘积的质因数分解中共有多少个2和5,即可得出所求。
将975、935、972分解质因数:
975=3×
13
935=5×
11×
17
972=2×
3
例11504乘以自然数a,得到一个平方数(即为某自然数的平方)。
求a的最小值和这个平方数。
【分析与解】因为一个平方数所含不同质因数的个数是偶数,所以只需把504与自然数a的乘积504a分解质因数,则不难得出a的最小值。
例121×
4×
……×
199×
200这200个数乘积的末尾有多少个连续的零?
例13甲、乙、丙三人打靶,每人打三枪,三人各自中靶的环数之积是60,按个人中靶的总环数由高到低排,依次是甲、乙、丙。
靶上4环的那一枪是谁打的?
(环数是不超过10的自然数)
例14、有一个2n+1位整数(n是整数,n≥1)
求222...2223111...111是质数还是合数?
n个2
n个1
同步测试
姓名:
得分:
1.a、b、c都是质数,c是一位数,且a×
b+c=1993,那么a、b、c的和是多少?
2.A为质数,如果A2+3,A3+5也都是质数,那么A是多少?
3.有三张卡片,各写着一个数字1、2、3,从中抽出一张、二张、三张,任意排列,可得到不同的数。
请你将其中的质数都写出来。
4.270乘以自然数X,得到一个平方数(即为某自然数的平方)。
求X的最小值和这个平方数。
5.360这个数的约数有多少个?
这些约数的和是多少?
6.某自然数是3和4的倍数,包括1和本身在内共有10个约数,那么这个自然数是多少?
7.把35拆成若干个不同质数的和,如果要使这些质数的积最大,这几个质数分别是多少?
8.一个质数的3倍与另一个质数的2倍之和为100,那么,这两个质数的乘积是多少?
9.有三个学生,他们的年龄一个比一个大3岁,他们三人年龄的乘积是1620,这三个学生年龄数的和是多少?
10.筐里共有96个苹果,如果不一次全拿出,也不一个个地拿。
要求每次拿出的个数同样多,拿完时又正好不多不少,有多少种不同的拿法。
11.如果两个数的和是64,两数的积可以整除4875,那么这两数的差等于多少?
12.1×
399×
400这400个数乘积的末尾有多少个连续的零?
13、求有18个约数的最小自然数。
家庭作业
1.在一位的自然数中,既是奇数又是合数的有_____;
既不是合数又不是质数的有_____;
既是偶数又是质数的有_____.
2.最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____.
3.两个自然数的和与差的积是41,那么这两个自然数的积是_____.
4.在下式样□中分别填入三个质数,使等式成立.
□+□+□=50
5.三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____.
6.找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____.
7.如果自然数有四个不同的质因数,那么这样的自然数中最小的是_____.
8.9216可写成两个自然数的积,这两个自然数的和最小可以达到_____.
9.从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后,剩下的面积是108平方分米.木条的面积是_____平方分米.
10.四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:
8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?
作业参考答案
第[1]道题答案:
9,1,2.
在一位自然数中,奇数有:
1,3,5,7,9,其中仅有9为合数,故第一个空填9.
在一位自然数中,质数有2、3、5、7,合数有4、6、8、9,所以既不是合数又不是质数的为1.
在一位自然数中,偶数有2、4、6、8,既是偶数又是质数的数为2.
第[2]道题答案:
202
最小的质数是2,最接近100的质数是101,它们的乘积是2
101=202.
第[3]道题答案:
420
首先注意到41是质数,两个自然数的和与差的积是41,可见它们的差是1,这是两个连续的自然数,大数是21,小数是20,所以这两个自然数的积是20
21=420.
第[4]道题答案:
2、5、43
接近50的质数有43,再将7分拆成质数2与质数5的和.即
2+5+43=50
另外,还有
2+19+29=50
2+11+37=50
第[5]道题答案:
11,12,13
将1716分解质因数得
1716=2
2
=11
(2
3)
由此可以看出这三个数是11,12,13.
第[6]道题答案:
88
先把1992分解质因数,然后把不同质数相加,求出它们的和.
1992=2
83
所以1992所有不同的质因数有:
2,3,83.它们的和是
2+3+83=88.
第[7]道题答案:
210
最小的四个质数是2,3,5,7,所以有四个不同质因数的最小自然数是
2
5
7=210
第[8]道题答案:
192
先把9216分解质因数,然后再用“试验法”解答
9216=2
…
10个
=96
96
欲使这两个自然数的和最小,可使两数相等,所以这两个质因数的和最小为
96+96=192.
第[9]道题答案:
36
如下图所示,要求木条的面积,必须知道正方形木板的边长.把108分解质因数.
108(cm2)
平方分米
3分米
108=2
=12
9
由此可见,9加3正好等于12,所以正方形木板边长是12分米.所以,木条面积是12
3=36(平方分米)
第[10]道题答案:
由于每只瓶都称了三次,因此记录数之和是4瓶油(连瓶)重量之和的3倍,即4瓶油(加瓶)共重
(8+9+10+11+12+13)
3=21(千克)
而油重之和及瓶重之和均为质数,所以它们必为一奇一偶,而质数中是偶数的质数只有2,故有
(1)油重之和为19千克,瓶重之和为2千克,每只瓶重
千克,最重的两瓶内的油为13-
2=12(千克).
(2)油重之和为2千克,瓶重之和为19千克,每只瓶重
2=
(千克),这与油重之和为2千克矛盾,不合要求,删去.
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