圆锥曲线题型总结Word格式.docx

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典型例题

（x+1）+y=36内切,与圆C2:

（x-1）+y=4外切,求圆心M的轨迹方程。

例2、方程

圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

由,,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

表示的曲线是2222

3、抛物线：

焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

x2y2

例1、已知方程?

?

1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是m?

12?

m

1的曲线：

例2、k为何值时,方程9?

k5?

k

（1）是椭圆;

（2）是双曲线.

题型三：

圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题

1、椭圆焦点三角形面积S?

btan2?

2；

双曲线焦点三角形面积S?

bcot2?

2

2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解

3、m?

n,m?

n,mn,m2?

n2四者的关系在圆锥曲线中的应用；

22xy例1、椭圆22?

，求1（a?

b?

0）上一点P与两个焦点FFPF?

1，2的张角∠F12?

ab

证：

△F1PF2的面积为btan2?

。

例2、已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且

．求该双曲线的标准方程

题型四：

圆锥曲线中离心率，渐近线的求法

1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；

，

2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；

3、注重数形结合思想不等式解法

例1、已知F1、F2是双曲线2?

2?

1（a?

0,b?

0）的两焦点，以线段F1F2为边作正ab

三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.4?

2B.?

1C.

1D.?

1

例2、双曲线2?

1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,ab

则双曲线离心率的取值范围为

A.（1,3）

B.?

1,3?

C.（3,+?

）D.?

3,?

例3、椭圆G：

0）的两焦点为F1（?

c,0）,F2（c,0），椭圆上存在ab

点M使F1M?

F2M?

0.求椭圆离心率e的取值范围；

例4、已知双曲线2?

0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60?

的直线ab

与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

（A）（1,2]（B）（1,2）（C）[2,?

）（D）（2,?

）

题型五：

点、直线与圆锥的位置关系判断

1、点与椭圆的位置关系

点在椭圆内?

1ab

点在椭圆上?

2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：

>

0?

相交

=0?

相切（需要注意二次项系数为0的情况）

<

相离

3、弦长公式：

AB?

k2x1?

x2?

k2（x1?

x2）?

k2?

a

AB?

111?

y?

y?

（y?

y）?

1212222kkka

4、圆锥曲线的中点弦问题：

1、伟达定理：

2、点差法：

（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简

（2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系

例1、双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M（3,-1）平分,求直线AB的方程.

例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:

x+y=1交于A,B两点，C是AB的中点，若|AB|=22，O为坐标原点，OC的斜率为2/2，求椭圆的方程。

题型六：

动点轨迹方程：

1、求轨迹方程的步骤：

建系、设点、列式、化简、确定点的范围；

2、求轨迹方程的常用方法：

（1）直接法：

直接利用条件建立之间的关系；

例1、如已知动点P到定点F（1,0）和直线

的距离之和等于4，求P的轨迹方程．

（2）待定系数法：

已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为

（3）定义法：

先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

例3、由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60，则动点0P的轨迹方程为

例4、点M与点F（4,0）的距离比它到直线

例5、一动圆与两圆⊙M：

的轨迹为

（4）代入转移法：

动点

在某已知曲线上，则可先用迹方程:

例6、如动点P是抛物线则M的轨迹方程为__________

（5）

参数法：

当动点

虑将

例7、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考上任一点，定点为,点M分所成的比为2，依赖于另一动点

的代数式表示的变化而变化，并且，再将又和⊙N：

都外切，则动圆圆心的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______代入已知曲线得要求的轨均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。

程是

题型七：

（直线与圆锥曲线常规解题方法）

一、设直线与方程；

（提醒：

①设直线时分斜率存在与；

二、设交点坐标；

（提醒:

之所以要设是因为不去求出；

三、联立方程组；

四、消元韦达定理；

抛物线时经常是把抛物线；

五、根据条件重转化；

常有以下类型：

①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：

需讨论K是；

OA?

OB?

K1?

K2?

1?

②“点在圆内、圆上、圆外问题”；

“直角、锐角、钝角问题

①设直线时分斜率存在与不存在；

②设为y=kx+b与x=my+n的区别）

之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）

抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）

需讨论K是否存在）

OB?

1?

0?

x1x2?

y1y2?

②“点在圆内、圆上、圆外问题”

“直角、锐角、钝角问题”?

“向量的数量积大于、等于、小于0问题”?

x1x2?

y1y2>

0；

③“等角、角平分、角互补问题”?

斜率关系（K1?

0或K1?

K2）；

④“共线问题”

（如：

AQ?

QB?

数的角度：

坐标表示法；

形的角度：

距离转化法）；

A、O、B三点共线?

直线OA与OB斜率相等）；

⑤“点、线对称问题”?

坐标与斜率关系；

⑥“弦长、面积问题”

转化为坐标与弦长公式问题（提醒：

注意两个面积公式的合理选择）；

六、化简与计算；

七、细节问题不忽略；

①判别式是否已经考虑；

②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.

基本解题思想：

1、“常规求值”问题：

需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；

2、“是否存在”问题：

当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3、证明定值问题的方法：

⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无

关；

⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法：

⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；

⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明

5、求最值问题时：

将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；

6、转化思想：

有些题思路易成，但难以实施。

这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

7、思路问题：

大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。

典型例题：

例1、已知点F?

0,1?

，直线l：

1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP?

QF?

FP?

FQ．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）已知圆M过定点D?

0,2?

，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设DA?

l1，DB?

l2，求

例2、如图半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为

线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上

运动且保持|PA|+|PB|的值不变.

（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

l1l2?

的最大值．l2l1

（2）过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设

求λ的取值范围.

DM=λ，DN

例3、设F1、F2分别是椭圆C：

0）的左右焦点。

ab

（1）设椭圆C

上点到两点F1、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）设K是

（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程；

（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线

PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，试探究kPM?

KPN的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。

例4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l:

kx?

m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：

直线l过定点，并求出该定点的坐标．

例5、已知椭圆两焦点F1、F2在y

轴上，短轴长为

，P是椭圆在第一2

象限弧上一点，且PF1?

PF2?

1，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆

于A、B两点。

（1）求P点坐标；

（2）求证直线AB的斜率为定值；