电磁场与电磁波第三版课后答案第3章解读Word文档格式.docx
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ε0
22
,可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点PE1'
=er'
-πaρ02πε0r'
产生的电场分别为E1=er
πbρ0
2πε0r
=
ρ0br
2ε0r
=-
ρ0ar'
2ε0r'
=
+
题3.3图(b)
点P处总的电场为E=E1+E1'
ρ
2ε0
(
brr
ar'
2r'
)
在r<
b且r'
>
a区域中,同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为
E2=er
πrρ
ρr
'
E2
-πaρ2πε0r'
ρar'
=点P处总的电场为E=E2+E2
ρ0
(r-
r'
在r'
<
a的空腔区域中,大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为
E3=er
πrρ0
ρ0r
E3
-πr'
ρ02πε0r'
ρ0r'
=点P处总的电场为E=E3+E3
(r-r'
)=
c
3.4半径为a的球中充满密度ρ(r)的体电荷,已知电位移分布为
⎧r3+Ar2
⎪
Dr=⎨a5+Aa4
⎪2⎩r
(r≤a)(r≥a)
其中A为常数,试求电荷密度ρ(r)。
1
解:
由∇D=ρ,有ρ(r)=∇D=故在r<
a区域ρ(r)=ε0在r>
a区域ρ(r)=ε0
d
rdr
(rDr)
[r(r+Ar)]=ε0(5r+4Ar)
23
1d
rdrr
3.5一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜,球内充满总电荷量为Q为
[r
(a+Aa)
54
]=0
4
的体电荷,球壳上又另充有电荷量Q。
已知球内部的电场为E=er(ra),设球内介质为
真空。
计算:
(1)球内的电荷分布;
(2)球壳外表面的电荷面密度。
解
(1)由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为
ρ=ε0∇E=ε0[
1dr
dr
(rE)]=ε0[
1drdr
(r
ra
44
)]=6ε0
34
(2)球体内的总电量Q为Q=
⎰ρdτ=⎰6ε
τ
r
4πrdr=4πε0a
球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷-Q,而且在球壳外表面上还要感应电荷Q,所以球壳外表面上的总电荷为2Q,故球壳外表面上的电荷面密度为σ=
2Q4πa
=2ε0
3.6两个无限长的同轴圆柱半径分别为r=a和r=b(b>
a),圆柱表面分别带有密
度为σ1和σ2的面电荷。
(1)计算各处的电位移D0;
(2)欲使r>
b区域内D0=0,则σ1和σ2应具有什么关系?
⎰D0dS=q,当r<
a时,有D01=0解
(1)由高斯定理
D02=er当a<
r<
b时,有2πrD02=2πaσ1,则
aσ1r
aσ1+bσ2
当b<
∞时,有2πrD03=2πaσ1+2πbσ2,则D03=er
(2)令D03=er
=0,则得到
σ1σ2
ba
3.7计算在电场强度E=exy+eyx的电场中把带电量为-2μC的点电荷从点
P1(2,1-,1移到点)P2(8,2,-1)时电场所做的功:
(1)沿曲线x=2y2;
(2)沿连接该两点
的直线。
解
(1)W=
⎰Fdl=q⎰Edl=q⎰E
C
x
dx+Eydy=
q⎰ydx+xdy=q⎰yd(2y)+2ydy=
-6
q⎰6ydy=14q=-28⨯10
(J)
(2)连接点P1(2,1,-1)到点P2(8,2,-1)直线方程为
x-2y-1
=x-8y-2
即x-6y+4=0
故
W=
q⎰ydx+xdy=q⎰yd(6y-4)+(6y-4)dy=
q⎰(12y-4)dy=14q=-28⨯10
(1)计算线电荷平分面上3.8长度为L的细导线带有均匀电荷,其电荷线密度为ρl0。
任意点的电位ϕ;
(2)利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E,并用E=-∇ϕ核对。
解
(1)建立如题3.8图所示坐标系。
根据电位的积分表达式,线电荷平分面上任意点
P的电位为
L2
ϕ(r,0)=
-Ldz'
L2Lρρl0
4πε0
ln(z'
+
-L2
ρl0
ln
-Lρl0
题3.8图
2πε0
(2)根据对称性,可得两个对称线电荷元ρl0dz'
在点P的电场为
dE=erdEr=er
θ=er
ρl0rdz'
2πε0(r+z'
故长为L的线电荷在点P的电场为
LE=er
⎰dE
=er
3=
er
由E=-∇ϕ求E,有
⎡E
=-∇ϕ=-∇⎢ln
2πε0⎢
⎣
r⎥
⎦
⎧ρl0-er2πε0⎫
1⎪e-⎬=r
r⎪⎭
rP
3.9已知无限长均匀线电荷ρl的电场E=er
电位函数。
其中rP为电位参考点。
ρl
,试用定义式ϕ(r)=
⎰Edl求其
解ϕ(r)=
Edl=
⎰2πε
dr=
2πε
lr=r
由于是无限长的线电荷,不能将rP选为无穷远点。
3.10一点电荷+q位于(-a,0,0),另一点电荷-2q位于(a,0,0),求空间的零电位面。
解两个点电荷+q和-2q在空间产生的电位
1ϕ(x,y,z)=-
4πε0令ϕ(x,y,z)=0,则有
(+a)+y+z]=(x-a)+y+z即4[x
故得(x+
5
33
由此可见,零电位面是一个以点(-a,0,0)为球心、a为半径的球面。
a)+y+z=(
222
a)
3.11证明习题3.2的电位表达式为ϕ(r)=
4πε0r
2ra
32ra
)Ze4πr
解位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为D1=er
电子云在原子外产生的电通量密度则为D2=er
ρ4πra3
Ze4πr
所以原子外的电场为零。
故原子内电位为
⎪2
⎨a
)cosφr≥a⎪ϕ(r)=A(r-
⎩r
(1)求圆柱内、外的电场强度;
(2)这个圆柱是什么材料制成的?
表面有电荷分布吗?
试求之。
解
(1)由E=-∇ϕ,可得到r<
a时,E=-∇ϕ=0
ε0r4πε0rrra
3.12电场中有一半径为a的圆柱体,已知柱内外的电位函数分别为
r≤a⎧ϕ(r)=0
ϕ(r)=
Ddr=
⎰(
)dr=3
r>
a时,E=-∇ϕ=-er
-erA(1+
∂∂r
[A(r-
)cosφ]-eφ
∂r∂φ
)cosφ]=
rr
(2)该圆柱体为等位体,所以是由导体制成的,其表面有电荷分布,电荷面密度为
)cosφ+eφA(1-
)sinφ
σ=ε0nE
r=a
=ε0erE
=-2ε0Acosφ
3.13验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足∇ϕ=0
(1)sin(kx)sin(ly)e-hz其中h2=k2+l2;
(2)rn[cos(nφ)+Asin(nφ)]圆柱坐标;
(3)r-ncos(nφ)圆柱坐标;
(4)rcosφ球坐标;
(5)r-2cosφ球坐标。
解
(1)在直角坐标系中∇ϕ=而
∂ϕ∂x
∂ϕ∂y
∂ϕ∂z
-hz
==
∂∂
∂x∂y
[sin(kx)sin(ly)e[sin(kx)sin(ly)e
]=-ksin(kx)sin(ly)e]=-lsin(kx)sin(ly)e
∂
∂z
[sin(kx)sin(ly)e
]=hsin(kx)sin(ly)e
)lysien(=)
2-hz
n(故∇ϕ=(-k-l+h)sikx+∂ϕ∂z
(2)在圆柱坐标系中∇ϕ=
1∂r∂r
∂ϕ∂r
)+
∂ϕr∂φ
而
1∂∂ϕ1∂∂n
(r)={rr[cos(nφ)+Asin(nφ)]}=n2rn-2[cos(nφ)+Asin(nφ)]r∂r∂rr∂r∂r
1∂ϕr∂φ
=-nr
2n-2
[cos(nφ)+Asin(nφ)]}
r[cos(nφ)+Asin(nφ)]=0
-n
故∇ϕ=0
(3)
-n-2
{r
cos(nφ)]}=nr
2-n-2
cos(nφ)
=-nrcos(nφ)
cos(nφ)]=0
故∇2ϕ=0
(4)在球坐标系中∇ϕ=
rsinθ∂θ
(sinθ[r
∂ϕ∂θ
∂ϕ
rsinθ∂φ
2r
(rcosθ)]=
cosθ
∂∂θ
(sinθ)=
rsinθ∂θ1∂
[sinθ
2rcosθ
rsinθ∂θ2
1∂ϕ1∂
=2(rcosθ)=022222
rsinθ∂φrsinθ∂φ
(-rsinθ)=-
(5)
1∂r∂
2∂
[rr∂
(rr
-2
cθos=2
∂[sinθ(-r
θcos
1∂
cosθ)]=
1∂ϕ1∂-2
=(rcosθ)=0222222
sinθ)=-
3.14已知y>
0的空间中没有电荷,下列几个函数中哪些是可能的电位的解?
(1)e-ycoshx;
(2)e-ycosx;
(3
)e2
cosxsinx
(4)sinxsinysinz。
解
(1)
∂∂x
(e
-y
coshx)+
∂y
coshx)=2e-ycoshx≠0
所以函数e-ycoshx不是y>
0空间中的电位的解;
(2)
∂x
cosx)+
cosx)=-e-ycosx+e-ycosx=0
所以函数e-ycosx是y>
0空间中可能的电位的解;
cosxsixn+2
y
cxos
∂x+s2)∂z
(xco=sxsin)
-4e
cosxsinx+2e
cosxsinx≠0
所以函数e-
(4)
2y
cosxsinx不是y>
(sinxsiynszi+n
x(sinysinz+2in
)xsin(ysin=zsin)
-3sinxsinysinz≠0
所以函数sinxsinysinz不是y>
0空间中的电位的解。
3.15中心位于原点,边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为
P=P0(exx+eyy+ezz)。
(1)计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度;
(2)证明总的束缚
电荷为零。
P解
(1)ρP=-∇
σP(x=
=3-P0
x=L)=nPL2
=exP
x=L2
P0=LP0
σP(x=-
)=nP
x=-L2
=-exPL
x=-L同理σP(y=
L
)=σP(y=)=σPz(22
)=σPz(
LL-=P022
(2)qP=
ρPdτ+
⎰σPdS=-3P0L+6L⨯
P0=0
3.16一半径为R0的介质球,介电常数为εrε0,其内均匀分布自由电荷ρ,证明中心点的电位为
2εr+12εr
3ε0
)R0
⎰DdS=q,可得到解由
R0时,4πrD1=
4πr3
D1
即D1=
ρr3
,E1=4πR0
3εrε0
εrε0
R0时,4πrD2=
即D2=故中心点的电位为
R0
∞
ρR0
3r
,E2=
ρR03ε0r
ϕ(0)=
E1dr+
E2dr=
⎰3ε
dr+
dr=ρR0+ρR0=2εr+1(ρ)R220
3ε0r6εrε03ε02εr3ε0
介电常数为ε,球内的极化强度P=erKr,其中K为3.17一个半径为R的介质球,
一常数。
(1)计算束缚电荷体密度和面密度;
(2)计算自由电荷密度;
(3)计算球内、外的电场和电位分布。
解
(1)介质球内的束缚电荷体密度为ρp=-∇P=-在r=R的球面上,束缚电荷面密度为σ
p
=nP
r=R
K
=erPr=R=
R
Kr
)=-
P
(2)由于D=ε0E+P,所以∇D=ε0∇E+∇
ε0ε∇D+∇P
即(1-
ε
由此可得到介质球内的自由电荷体密度为
εεεK
ρ=∇D=∇P=-ρp=2
ε-ε0ε-ε0(ε-ε)r0
)∇D=∇P
总的自由电荷量q=
⎰ρdτ=
εKε-ε0
⎰r
4πrdr=
4πεRK
ε-ε0
(3)介质球内、外的电场强度分别为
E1=
P
(ε-ε0)r
(r<
R)
(r>
εRKε0(ε-ε0)r
介质球内、外的电位分别为
ϕ1=
⎰Edl=⎰Edr+⎰E
rR
rR∞
⎰(ε-ε
)r0
⎰ε
εRK
(ε-ε0)r0
K(ε-ε0)
Rr
εK
ε0(ε-ε0)
(r≤R)
ϕ2=
(r≥R)
(2)导3.18
(1)证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度;
出束缚电荷密度ρP的表达式。
解
(1)由D=ε0E+P,得束缚电荷体密度为ρP=-∇P=-∇D+ε0∇E在介质内没有自由电荷密度时,∇D=0,则有ρP=ε0∇E
(εE)=ε∇E+Eε∇0由于D=εE,有∇D=∇=E∇ε
∇E=所以
由此可见,当电介质不均匀时,∇E可能不为零,故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。
ρρ=ε∇E=-E∇ε
(2)束缚电荷密度P的表达式为P0
3.19两种电介质的相对介电常数分别为εr1=2和εr2=3,其分界面为z=0平面。
如果已知介质1中的电场的
E1=ex2y-ey3x+ez(5+z)
那么对于介质2中的E2和D2,我们可得到什么结果?
能否求出介质2中任意点的E2和
D2?
解设在介质2中
E2(x,y,0)=exE2x(x,y,0)+eyE2y(x,y,0)+ezE2z(x,y,0)
D2=ε0εr2E2=3ε0E2
在z=0处,由ez⨯(E1-E2)=0和ez(D1-D2)=0,可得
⎧⎪ex2y-ey3x=exE2x(x,y,0)+eyE2y(x,y,0)
⎨
⎪⎩2⨯5ε0=3ε0E2z(x,y,0)
于是得到E2x(x,y,0=)
y2
E2y(x,y,0)=-3x
E2z(x,y,0)=103
故得到介质2中的E2和D2在z=0处的表达式分别为
E2(x,y,0)=ex2y-ey3x+ez(103)D2(x,y,0)=ε0(ex6y-ey9x+ez10)
不能求出介质2中任意点的E2和D2。
由于是非均匀场,介质中任意点的电场与边界
面上的电场是不相同的。
3.20电场中一半径为a、介电常数为ε的介质球,已知球内、外的电位函数分别为
ε-ε03cosθ
ϕ1=-E0rcosθ+aE0r≥a2
ε+2ε0r
ϕ2=-
ε+2ε0
E0rcosθr≤a
验证球表面的边界条件,并计算球表面的束缚电荷密度。
解在球表面上
ε-ε03ε0
ϕ(a,θ)=-Eacosθ+aEcosθ=-E0acosθ100
ε+2ε0ε+2ε0
ϕ2(a,θ)=-
∂ϕ1∂r∂ϕ2∂r
r=ar=a
E0acosθ2(ε-ε0)
E0cosθ=-
3ε
E0cosθ
=-E0cosθ-=-
∂ϕ1∂r
故有ϕ1(a,θ)=ϕ2(a,θ),ε0
=ε
∂ϕ2∂r
可见ϕ1和ϕ2满足球表面上的边界条件。
球表面的束缚电荷密度为
σp=nP2
d2
=(ε-ε0)erE2=-(ε-ε0)
3ε0(ε-ε0)
3.21平行板电容器的长、宽分别为a和b,极板间距离为d。
电容器的一半厚度(0~
)用介电常数为ε的电介质填充,如题3.21图所示。
(1)
(1)板上外加电压U0,求板上的自由电荷面密度、束缚电荷;
(2)
(2)若已知板上的自由电荷总量为Q,求此时极板间电压和束缚电荷;
(3)(3)求电容器的电容量。
解
(1)设介质中的电场为E=ezE,空气中的电场为E0=ezE0。
由D=D0,有
E0E0
又由于E
E0
U0
由以上两式解得
E
20U0(0)d
,E0
2U0(0)d
题3.21图
故下极板的自由电荷面密度为
20U0
下E
(0)d
20U0(0)d
上极板的自由电荷面密度为上0E0
电介质中的极化强度P(0)Eez
故下表面上的束缚电荷面密度为
20(0U)(0)d20(0U)(0)d
p下
ezP
上表面上的束缚电荷面密度为p上ezP
20(0U)(0)dQab
(2)由
20U(0)d
得到U
(0)dQ20ab
(0)Q
故
题
3.22图
ab(0)Q
p上
ab
20abQ
C(3)电容器的电容为
U(0)d
3.22厚度为t、介电常数为40的无限大介质板,放置于均匀电场E0中,板与E0
成角1
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