浙江省绍兴市一中高二上学期期末考试数学试卷_精品文档.doc
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绍兴一中2015学年第一学期期末考试
高二数学
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.与直线x+y+3=0平行,且它们之间的距离为的直线方程为( )
A.x-y+8=0或x-y-1=0 B.x+y+8=0或x+y-1=0
C.x+y-3=0或x+y+3=0 D.x+y-3=0或x+y+9=0
2.长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5,且它的八个顶点都在一个球面上,这个球的表面积是( )
A. B. C.50π D.200π
3.设l,m是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题中正确的是( )
A.若l∥α,α∩β=m,则l∥m B.若l⊥α,l∥β,则α⊥β
C.若l∥α,m∥α,则l∥m D.若l∥α,m⊥l,则m⊥α
4.若直线y=x+m与曲线=x有两个不同的交点,则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
5.某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()
A.4 B. C. D.8
6.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,E为DC边的中点,沿AE将△ADE折起,在折起过程中,有几个正确()
①.ED⊥平面ACD②.CD⊥平面BED③.BD⊥平面ACD④.AD⊥平面BED
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.点P(-3,1)在椭圆(a>b>0)的左准线()上.过点P且方向为=
(2,-5)的光线,经直线y=﹣2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
8.已知点A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题3分,其中第9,15题各4分,共23分)
9.直观图(如图)中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm,则在xOy坐标中四边形ABCD为 ,面积为 cm2.
10.李师傅在建材商店购买了三根外围直径都为10cm的钢管,为了便于携带,他将三根钢管用铁丝紧紧捆住,截面如图所示,则铁丝捆扎一圈的长度为 cm.
11.椭圆E:
内有一点P(2,1),则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为 .
12.四面体的棱长中,有两条为、,其余的全为1,它的体积是.
13.连接球面上两点的线段称为球的弦,半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为和,M、N分别是AB、CD的中点,两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题:
①弦AB、CD可能相交于点M;②弦AB、CD可能相交于点N;
③MN的最大值是5;④MN的最小值是1;
其中所有正确命题的序号为 .
14.设圆C:
x2+y2=3,直线l:
x+3y﹣6=0,点P(x0,y0)∈l,存在点Q∈C,使∠OPQ=60°(O为坐标原点),则x0的取值范围是.
15.在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点P是正方体棱上的一点(不包括棱的端点),满足|PB|+|PD1|=的点P的个数为;
若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为6,则m的取值范围是 .
三、解答题(本大题共5题,共53分)
16.(本题满分8分)如图,一个圆锥的底面半径为2cm,高为6cm,其中有一个高为xcm的内接圆柱.
(1)试用x表示圆柱的侧面积;
(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大.
17.(本题满分9分)已知圆,直线
(1)求证:
对,直线与圆总有两个不同的交点A、B;
(2)求弦AB的中点M的轨迹方程.
18.(本题满分10分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)证明:
CD⊥AE;
(2)证明:
PD⊥平面ABE;
(3)求二面角A﹣PD﹣C的正切值.
19.(本题满分12分)已知圆,点P是直线上的一动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.
(1)当切线PA的长度为时,求点P的坐标;
(2)若的外接圆为圆N,试问:
当P在直线上运动时,圆N是否过定点?
若存在,求出所有的定点的坐标;若不存在,说明理由.
(3)求线段AB长度的最小值.
20.(本题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知是椭圆上的一点,从原点O向圆作两条切线,分别交椭圆于点P,Q.
(1)若直线OP,OQ互相垂直,求圆R的方程;
(2)若直线OP,OQ的斜率存在,并记为,求证;
(3)试问是否为定值?
若是,求出该值;若不是,说明理由.
O
P
R
Q
x
y
绍兴一中2015学年第一学期期末考试
高二数学答案
一、选择题(每小题3分,共24分)
1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
B
B
B
A
A
B
二、填空题(每小题3分,其中第9,15题各4分,共23分)
9.矩形810.30+10π11.x+2y﹣4=012.13.①③④14.
15.12
16.
(1)S圆柱侧=…………………4分
(2)由
(1)知当时,这个二次函数有最大值为6π,
∴当圆柱的高为3cm时,它的侧面积最大为6πcm2…………………………8分
17.
(1)解法一:
圆的圆心为,半径为。
∴圆心C到直线的距离,∴直线与圆C相交,即直线与圆C总有两个不同交点;
方法二:
∵直线过定点,而点在圆内∴直线与圆C相交,即直线与圆C总有两个不同交点;………………………………………………4分
(2)当M与P不重合时,连结CM、CP,则,又因为
设,则,
化简得:
………………………………………………7分
当M与P重合时,也满足上式。
故弦AB中点的轨迹方程是。
……………………………………9分
18.
(1)证明:
∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,
又AC⊥CD,AC∩PA=A,
∴CD⊥平面PAC,又AE⊂平面PAC,
∴CD⊥AE;…………………………………………………………………………3分
(2)证明:
∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD∴PA⊥AB,
又AD⊥AB,AD∩PA=A
∴AB⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD∴AB⊥PD,
由PA=AB=BC,∠ABC=60°,则△ABC是正三角形.
∴AC=AB∴PA=PC
∵E是PC中点∴AE⊥PC
由
(1)知AE⊥CD,又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD
∴AE⊥PD,又AB⊥PD,AB∩AE=A
∴PD⊥平面ABE;…………………………………………………………………6分
(3)解:
过E点作EM⊥PD于M点,连结AM,
由
(2)知AE⊥平面PCD,则AE⊥PD,
则PD⊥平面AEM,∴AM⊥PD,
则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角.
设AC=a,AD==,PA=A,PD==a,
AM===,
在Rt△AEM中,AE=a,EM===a,
则tan∠AME===.………………………………………………10分
或直接建立空间直角坐标系求解,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,设AC=a,则A(0,0,0),P(0,0,a),D(0,,0),C(,0)。
19.
(1)由题意知,圆M的半径,设,
∵PA是圆M的一条切线,∴,
∴,解得,
∴或.…………………………………………………………4分
(2)设,∵,∴经过A,P,M三点的圆N以MP为直径,
其方程为,
即,
由,解得或,
∴圆过定点,.……………………………………………………8分
(3)因为圆N方程为,
即,
圆M:
,即,
②-①得:
圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为:
,
点M到直线AB的距离,
相交弦长即:
,
当时,AB有最小值.……………………………………………………12分
20.
(1)由圆R的方程知圆R的半径r=,|OR|==4,即①,又点R在椭圆上,所以②,联立①②,解得,所以圆R的方程为………………………………………………4分
(2)因为直线OP:
y=k1x和OQ:
y=k2x都与圆R相切,
所以,………………………………5分
化简得,,所以k1,k2是方程的两个不相等的实数根,由韦达定理得,k1k2=.因为点R在椭圆上,所以,即,所以k1k2=,即.…………………………………………9分
(3)当直线OP、OQ落在坐标轴上时,有=36;……………………10分
当直线OP、OQ落在坐标轴上时,设P(),Q(),因为,所以,故………………………………………………11分
因为P(),Q()在椭圆上,所以,,即,,所以,整理得,所以,所以=36.
综上,=36.………………………………………………………………14分
7
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