数值分析第4章Word文档格式.docx
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Aif(h)Aof(0)Aif(h)
因此,
“f(x)dxAif(h)Aof(0)Aif(h)
i
(3)若if(x)dx[f(i)2f(xi)3f(x2)]/3令f(x)i,则
if(x)dx2[f(i)
2f(xi)3f(x2)]/3
0i2x-i3x2
22
2i2xi3x2
x.0.2899xi0.6899
或i
x20.5266x20.i266
ii3
1f(x)dx/dx0
[f(i)2f(xi)3f(x2)]/30
故1f(x)dx[f(i)2f(xJ3f(x2)]/3不成立。
因此,原求积公式具有2次代数精度。
(4)
f(h)]
若0f(x)dxh[f(0)f(h)]/2ah[f(0)
令f(x)i,则
h,
h[f(0)
f(h)]/2
ah2[f(0)
令f(x)
x,则
0f(x)dx
xdx
!
h2
f(h)]/2
ah[f(0)
x2
,则
\2dx
1h3
h[f(0)f(h)]/2
132
h2ah
故有
1.313
32
a
12
2ah2
x3
h3
x3dx
1h4
4
12
f(h)]/2才[f(0)
x4
h415
05
12h[f(0)f(h)]/2h[f(0)12
h5
1h5
6
0f(x)dxh[f(0)f(h)]/2
h2[f(0)f(h)],
h12
f(x)dxh[f(0)f(h)]/2-h2[f(0)f(h)]
2•分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:
1x
(1)0rdx,n8;
04x
1(1ex)2.
dx,n0x
1xdx,n4;
06..,厂命
n
6;
解:
(1)n8,a0,b
1,h
8,f(x)
x
4x2
复化梯形公式为
7
f(xk)
f(b)]
0.11140
复化辛普森公式为
S8-[f(a)
f(Xk
1)
f(Xk)
0.11157
⑵n10,a
0,b
10,f(x)
(1
T102[f(a)
f(Xk)f(b)]
1.39148
SI0
h9
-[f(a)4
6k0
f(xk1)
1.45471
(3)n
4,a1,b9,h
2,f(x)
T4-[f(a)2f(xQf(b)]
2k1
17.22774
S4h[f(a)4
f(xk
f(Xk)f(b)]
17.32222
⑷n6,a0,b,h
36,f(x)C
T6
2[f(a)
2f(xQ
f(b)]1.03562
f(b)]1.03577
h55
S6-[f(a)4f(xki)2f(Xk)
6k0k2k1
3。
直接验证柯特斯教材公式(2。
4)具有5交代数精度。
证明:
柯特斯公式为
ba
"
90"
[7f(xo)
32f(xJ12f(X2)32f(X3)7f(%)]
bba
af(X)dX莎
詈[7f(X0)32f(X1)12f(X2)
32f(X3)
7f(X4)]
bb
f(x)dxxdx
aa
122
2(ba)
『仏)32f(X1)12f(X2)
7心)]
1(b2
2(b
a2)
bf(x)dxbx2dx】
(b3a3)
aa3
90
[7f(Xo)32f(xJ12f(X2)
32心)
7f(X4)]
1(b3
3(b
3\
a)
令f(x)X3,则
bf(x)dxbx3dx丄(b4a4)
aa4'
'
[7f(Xo)32f(xJ12f(X2)
32仏)
1(b4
a4)
令f(X)x4,则
bf(x)dxbx4dx](b5a5)
aa5
5\
^^[7f(x0)32f(xJ12f(X2)32f(x3)7f(x4)]-(b5
905
令f(x)x
b
f(x)dxa
\5dx
6(bQa6)
KaA
——[7f(x。
)32f(xJ12f(X2)32f(X3)7f(Q]-(b6
906
a6)
令f(x)x6,则
hba
0f(x)dx苛[7f(x。
)32f(N)12f(X2)32f(xJ7彳仇)]
因此,该柯特斯公式具有
4。
用辛普森公式求积分
5次代数精度。
exdx并估计误差。
辛普森公式为
S山
此时,
[f(a)
4f(-a
壬f(b)]
a0,b
1,f(x)
从而有
S6(1
4e2
)0.63233
误差为
R(f)
180
27
ba(ba、4
180'
2k(
e0.00035,
(0,1)
5。
推导下列三种矩形求积公式:
(b
a)f(a)
a)f(b)
a)f(七
n
2号*b)
)(b
a)2;
24)(ba)3;
证明:
(a,b)
(1)Qf(x)f(a)f()(xa),
两边同时在[a,b]上积分,
(ba)f(a)
)(xa)dxa
f(x)dxa
即
(2)Qf(x)
f(b)f(
f(
)(ba)2
x),(a,b)
两边同时在
[a,b]上积分,
(ba)f(a)
)a(bx)dx
af(x)dx
(ba)f(b)
(3)Qf(x)
f号)
2)(ba)2
f(竽)(x护
Jx专)2,
两连边同时在[a,b]上积分,得
(ba)f(乎)
(ba)f
心)
a(x
jdx
6。
若用复化梯形公式计算积分
山(b
24
IQexdx,问区间[0,1]应人多少等分才能使截断误差不超
a)3;
15
过2io5?
若改用复化辛普森公式,要达到同样精度区间[0,1]应分多少等分?
采用复化梯形公式时,余项为
R(f)bah2f(),(a,b)
又QIexdx
故f(x)ex,f(x)ex,a0,b1.
Rn(f)
即2
15
若FUf)2105,则
265
h2—105
e
当对区间[0,1]进行等分时,
:
105212.85
因此,将区间213等分时可以满足误差要求采用复化辛普森公式时,余项为
ba/h\4七(4)
硕
(2)f(),
又Qf(x)
f(x)
2880h4|f^)l
若R(f)
-105,则
105
当对区间[0,1]进行等分时
1n_
h故有
(1440
105)4
3.71
因此,将区间8等分时可以满足误差要求。
7。
如果f(x)0,证明用梯形公式计算积分
If(x)dx所得结果比准确值I大,并说
明其几何意义。
采用梯形公式计算积分时,余项为f()3
Rt古(ba)3,[a,b]
又Qf(x)0且ba
Rt0
又QRT1T
IT
即计算值比准确值大。
0为下凸函数,梯形面积大于曲边梯形面积。
其几何意义为,f(x)
&
用龙贝格求积方法计算下列积分,使误差不超过
10
(1)
21
..0
⑵
0xsin
⑶
八1
x2dx.
(1)1
1x,
T
dx
k
T0(k)
T1(k)
T2(k)
T3(k)
0.7717433
0.7280699
0.7135121
0.7169828
0.7132870
0.7132720
0.7142002
0.7132726
0.7132717
因此I0.713727
⑵1°
xsinxdx
3.45131310
8.628283107
21
-4.44692310
因此I0
(3)I\1x2dx
丁(k)
T4
14.2302495
11.1713699
10.1517434
10.4437969
10.2012725
10.2045744
10.2663672
10.2072240
10.2076207
10.2076691
10.2222702
10.2075712
10.2075943
10.2075939
10.2075936
5
10.2112607
10.2075909
10.2075922
因此I10.2075922
9。
用n2,3的高斯-勒让德公式计算积分
1e
sinxdx.
exsinxdx.
Qx[1,3],令tx2,则t[1,1]
用n2的高斯一勒让德公式计算积分
I0.5555556[f(0.7745967)f(0.7745967)]0.8888889f(0)
10.9484
用n3的高斯一勒让德公式计算积分
I0.3478548[f(0.8611363)f(0.8611363)]
0.6521452[f(0.3399810)f(0.3399810)]
10.95014
10地球卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是
1(c)2sin2
这是a是椭圆的半径轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h为近地点距离,H为远地点距离,R=6371(km)为地球半径,则
a(2RHh)/2,c(Hh)/2.
我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km),远地点距离H=2384(km)。
试求卫星轨道的周
长。
QR6371,h439,H2384
从而有。
a(2RHh)/27782.5
c22
(_)2sin2d
c(Hh)/2972.5
1.564640
1.564646
1.564648
S
I1.564646
S48708(km)
即人造卫星轨道的周长为48708km
11。
证明等式
35
nsin_24L
n3!
n5!
试依据nsin(—)(n3,6,12)的值,用外推算法求的近似值。
解
若f(n)nsin—,
又Qsinxx^x3—x5L
3!
5!
此函数的泰勒展式为
f(n)nsin—
n[n
5!
Q5
当n3时,nsin—2.598076n
当n6时,nsin—3
当n12时,nsin—3.105829
由外推法可得
T0(n)
2.598076
3.000000
9
3.105829
T1(n)
T2(n)
3.133975
3.141105
3.141580
故3.14158
12。
用下列方法计算积分1号,并比较结果。
(1)龙贝格方法;
(2)三点及五点高斯公式;
(3)将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式。
解
3dy
(1)采用龙贝格方法可得
T畀
T4(k)
1.333333
1.166667
1.099259
1.116667
1.100000
1.103211
1.098726
1.098641
1.098613
1.099768
1.098620
故有I1.098613
(2)采用高斯公式时
此时y[1,3],
令xy乙则x[1,1],
f(x)
利用三点咼斯公式,则
1.098039
利用五点高斯公式,则
I0.2369239[f(0.9061798)f(0.9061798)]
0.4786287[f(0.5384693)f(0.5384693)]0.5688889f(0)
1.098609
(3)采用复化两点高斯公式
将区间[1,3]四等分,得
II1I2I3丨4
1.5dy2dy2.5dy3dy
1y1.5y2y2.5y
作变换y,则
I1
—dx,
1x5
r_5,
I1f(0.5773503)
f(0.5773503)
0.4054054
x7
I2
dx,
1x7
x7,
I2f(0.5773503)
0.2876712
x9
作变换y,则
11
f(x)—,
I3f(0.5773503)
0.2231405
作变换y
I4
1dx,
1x11
x11
I4f(0.5773503)
因此,有
I1.098538
0.1823204
13•用三点公式和积分公式求f(x)
2在x1.0,1.1,和1.2处的导数值,并估计误差。
(1x)
1.0
1.1
1.2
F(x)
0.2500
0.2268
0.2066
f(x)的值由下表给出:
(1x)2
f(X。
)
2h[4f(Gf(X2)]
f(X1)
2h[f(X0)
f(X2)]
¥
f(X2)
[g
4f(X1)
3f(X2)]
由带余项的三点求导公式可知
又Qf(x0)0.2500,f(x1)0.2268,f(x2)0.2066,
f(x。
)[3f(X0)4f(xJf(X2)]0.247
f(Xi)[f(x0)f(x2)]0.217
f(X2)[f(x。
)4f(xJ3f(X2)]0.187
又Qf(x)12
24f(X)k
又Qx[1.0,1.2]
f()0.75
故误差分别为
R(X0)|亍(
R(xj|丨(
R(X2)|(
2.5
103
1.25
103
利用数值积分求导,设(x)f(x)
f(Xk1)f(Xk)
Xk1
x(x)dx
xk
由梯形求积公式得
(Xk)(Xk1)]
xk1h
(x)dx-[兀2
f(Xki)f(Xk)2[(Xk)(Xk1)]
故
(Xo)(为)[f(Xi)f(X。
)]
(为)(X2)2【f(X2)f(Xi)]
又Qf(Xki)
f(Xki)X(X)dX
Xki
(x)dxh[(Xki)
(Xki)]
f(Xki)f(Xki)h[(Xki)(Xki)]
故(Xo)(X2)-[f(X2)f(Xo)]
(Xo)
(Xi)
O.464
(X2)
O.4O4
O.434
解方程组可得
0.247
0.2i7
O.i87
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