高中数学空间向量与立体几何章末评估验收 新人教A版选修21Word下载.docx
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A.x=1,y=1B.x=,y=-
C.x=,y=-D.x=-,y=
4.已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k,则5a与3b的数量积等于( )
A.-15B.-5
C.-3D.-1
a=(3,2,-1),b=(1,-1,2),所以5a·
3b=15a·
b=-15.
5.已知a·
b=0,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)·
(λa-b)=0,则λ等于( )
A.B.-
C.±
D.1
6.(2014·
广东卷)已知向量a=(1,
0,-1),则下列向量中与a成60°
夹角的是( )
A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)
C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)
利用向量数量积公式的变形公式cos〈a,b〉=求向量的夹角,各项逐一验证.选项B中cos〈a,b〉===,所以〈a,b〉=60°
.
B
7.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,=,N为B1B的中点,则||为( )
A.aB.a
C.aD.a
8.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量中,能作为平面AE
F的法向量的是( )
A.(1,-2,4)B.(-4,1,-2)
C.(2,-2,1)D.(1,2,-2)
9.在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,AB1⊥BC1,则平面DBC1与平面CBC1所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
10.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A.B.
C.D.
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系.设AA1=2AB=2,则D(0,0,0),C1(0,1,2),B(1,1,0),C(0,1,0),
从而=(1,1,0),=(0,1,2
),=(0,1,0).
设平面BDC1的法向量n=(x,y,z),
则即
令z=-1,得n=(
-2,2,-1).
因为cos〈,n〉==,
所以CD与平面BDC1所成角的正弦值为.
11.如图,在
正方体ABCDA1B1C1D1中,下面结论错误的是( )
A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1D.向量与的夹角为60°
D
12.已知=(1,2,3
),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当·
取得最小值时,点Q的坐标为( )
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.已知a=(2,-1,0),b=(k,0,1),若〈a,b〉=120°
,则k=________.
因为cos〈a,b〉===-<0,所以k<0,且k2=.所以k=-.
-
14.已知a=(x,2,-4),b=(-1,y,3),c=(1,-2,z),且a,b,c两两垂直,则(x,y,z)=________.
(-64,-26,-17)
15.设a,b是直线,α,β是平面,a⊥α,b⊥β,向量a1在a上,向量b1在b上,a1=(1,1,1),b1=(-3,4,0),则α,β所成二面角中较小的一个的余弦值为________.
由题意,cosθ=|cos〈a1,b1〉|==
=.
16.已知四面体顶点A(2,3,1)、B(4,1,-2)、C(6,3,7)和D(-5,-4,8),则顶点D到平面ABC的距离为________.
11
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3).
求证:
四边形ABCD是一个梯形.
证明:
因为=(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),=(3,-5,3)-(-1,1,-3)=(4,-6,6),
因为==,所以和共线,即AB∥CD.
又因为=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1),=(-1,1,-3)-(1,2,-1)=(-2,-1,-2),
因为≠≠,所以与不平行,
所以四边形ABCD为梯形.
18.(本小题满分12分)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.
(1)求a和b的夹角θ的余弦值;
(2)若向量ka+b与ka-2b互相垂直,求k的值.
解:
a==(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),
b==(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2).
(1)cosθ===-,
所以a与b的夹角θ的余弦值为-.
(2)ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),ka-2b=(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4),
所以(k-1,k,2)·
(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0.
即2k2+k-10=0,所以k=-或k=2.
19.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.
(1)证明:
AC⊥BC1;
(2)求二面角C1ABC的余弦值大小.
直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,故AC,BC,CC1两两垂直,建立空间直角坐标系(如图),
则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).
=(-3,0,0),=(0,-4,4),
所以·
=0.故AC⊥BC1.
(2)解:
平面ABC的一个法向量为
m=(0,0,1),设平面C1AB的一个法向量为n=(x,y,z),
=(-3,0,4),=(-3,4,0),
由得
令x=4,则y=3,z=3,n=(4,3,3),
故cos〈m,n〉==.
即二面角C1ABC的余弦值为.
20.(本小题满分12分)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4,M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B
1C1的中点,求平面AMN与平面EFBD间的距离.
如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),
从而=(2,2,0),=(2,2,0),=(-2,0,4),=(
-2,0,4),
所以=,=,
所以EF∥MN,AM∥EF,EF∩
BF=F,MN∩AM=M.
所以平面AMN∥平面EFBD.
设n=(x,y,z)是平面AMN的法向
量,
从而解得
取z=1,得n=(2,-2,1),由于=(0,4,0),
所以在n上的投影为==-.
所以两平行平面间的距离d==.
21.(本小题满分12分)如图,在Rt△ABC中,AB=BC=4,点E在线段AB上.过点E作EF∥BC交AC于点F,将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合),使得∠PEB=60°
(1)求证:
EF⊥PB.
(2)试问:
当点E在线段AB上移动时,二面角PFCB的平面角的余弦值是否为定值?
若是,求出其定值;
若不是,说明理由.
在Rt△ABC中,
因为EF∥BC,所以EF⊥AB,所以EF⊥EB,EF⊥EP,
又因为EB∩EP=E,EB,EP⊂平面PEB,所以EF⊥平面PEB.
又因为PB⊂平面PEB,所以EF⊥PB.
在平面PEB内,过点P作PD⊥BE于点D,
由
(1)知EF⊥平面PEB,所以EF⊥PD,
又因为BE∩EF=E,BE,EF⊂平面BCFE,所以PD⊥平面BCFE.
在平面PEB内过点B作直线BH∥PD,则BH⊥平面BCFE.
如图所示,以B为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.
设PE=x(0<x<4),
又因为AB=BC=4,
所以BE=4-x,EF=x.
在Rt△PED中,∠PED=60°
,
所以PD=x,DE=x,所以BD=4-x-x=4-x,
所以C(4,0,0),F(x,4-x,0),P.
从而=(x-4,4-x,0),=.
设n1=(x0,y0,z0)是平面PCF的一个法向量,
所以即
所以
取y0=1,得n1=(1,1,)是平面PFC的一个法向量.
又平面BFC的一个法向量为
n2=(0,0,1),
设二面角PFCB的平面角为α,
则cosα=|cos〈n1,n2〉|==.
因此当点E在线段AB上移动时,二面角PFCB的平面角的余弦值为定值,且定值为.
22.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成的角为60°
AC⊥平面BDE;
(2)求二面角FBED的余弦值;
(3)设点M是线段BD上一个动点,试确定点M的位置,使得AM∥平面BEF,并证明你的结论.
因为DE⊥平面ABCD,所以DE⊥AC,
因为四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,
又DE∩BD=D,所以AC⊥平面BDE.
因为DE⊥平面ABCD,
所以∠EBD就是BE与平面ABCD所成的角,
即∠EBD=60°
所以=.
由AD=3,得DE=3,AF=.
如图,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0),所以=(0,-3,),=(3,0,-2).
设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z),
令z=,则n=(4,2,).
因为AC⊥平面BDE,
所以=(3,-3,0)为平面BDE的一个法向量,
所以cos〈n,〉===.
故二面角FBED的余弦值为.
(3)解:
依题意,设M(t,t,
0)(t>0),则=(t-3,t,0),
因为AM∥平面BEF,
n=0,
即4(t-3)+2t=0,解得t=2.
所以点M的坐标为(2,2,0),此时=,
所以点M是线段BD上靠近点B的三等分点.
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