分段函数的几种常见题型及解法.docx
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分段函数的几种常见题型及解法
函数的概念和性质
考点分段函数
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却又常常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用,时常在高考试题中“闪亮”登场,本文就几种具体的题型做了一些思考,解析如下:
1.求分段函数的定义域和值域
例1.求函数的定义域、值域.
2.求分段函数的函数值
例2.已知函数求.
3.求分段函数的最值
例3.求函数的最大值.
4.求分段函数的解析式
例4.在同一平面直角坐标系中,函数和的图象关于直线对称,现将的图象沿轴向左平移2个单位,再沿轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示),则函数的表达式为()
5.作分段函数的图像
例5.函数的图像大致是()
6.求分段函数得反函数
例6已知是定义在上的奇函数,且当时,,设的反函数为,求的表达式.
7.判断分段函数的奇偶性
例7.判断函数的奇偶性.
8.判断分段函数的单调性
例8.判断函数的单调性.
例9.写出函数的单调减区间.
9.解分段函数的方程
例10.设函数,则满足方程的的值为
10.解分段函数的不等式
例11.设函数,若,则得取值围是()
例12.设函数,则使得的自变量的取值围为()
A.B.
C.D.
反馈练习
1.(2013新课标全国Ⅰ,5分)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值围是( )
A.(-∞,0]B.(-∞,1]
C.[-2,1]D.[-2,0]
2.(2013,4分)已知函数f(x)=则f=________.
3.(2013,5分)函数f(x)=的值域为________.
4.(2012,5分)若函数f(x)=则f(f(10))=( )
A.lg101B.2
C.1D.0
5.(2011,5分)根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:
分钟)为
f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是( )
A.75,25B.75,16
C.60,25D.60,16
6.(2012,5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f()=f(),则a+3b的值为________.
7.(2011,5分)已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+a),则a的值为________.
函数的概念和性质
考点一分段函数
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却又常常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用,时常在高考试题中“闪亮”登场,本文就几种具体的题型做了一些思考,解析如下:
1.求分段函数的定义域和值域
例1.求函数的定义域、值域.
【解析】
作图,利用“数形结合”易知的定义域为,值域为.
2.求分段函数的函数值
例2.已知函数求.
【解析】
因为,所以.
3.求分段函数的最值
例3.求函数的最大值.
【解析】当时,,当时,,当时,,综上有.
4.求分段函数的解析式
例4.在同一平面直角坐标系中,函数和的图象关于直线对称,现将的图象沿轴向左平移2个单位,再沿轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示),则函数的表达式为()
【解析】
当时,,将其图象沿轴向右平移2个单位,再沿轴向下平移1个单位,得解析式为,所以,当时,,将其图象沿轴向右平移2个单位,再沿轴向下平移1个单位,得解析式,所以,综上可得,故选A.
5.作分段函数的图像
例5.函数的图像大致是()
解析:
在定义围讨论,当0
6.求分段函数得反函数
例6已知是定义在上的奇函数,且当时,,设的反函数为,求的表达式.
【解析】
设,则,所以,又因为是定义在上的奇函数,所以,且,所以,因此
从而可得.
7.判断分段函数的奇偶性
例7.判断函数的奇偶性.
【解析】
当时,,,当时,,当,,因此,对于任意都有,所以为偶函数.
8.判断分段函数的单调性
例8.判断函数的单调性.
【解析】
显然连续.当时,恒成立,所以是单调递增函数,当时,恒成立,也是单调递增函数,所以在上是单调递增函数;或画图易知在上是单调递增函数.
例9.写出函数的单调减区间.
【解析】,画图易知单调减区间为.
9.解分段函数的方程
例10.(01年)设函数,则满足方程的的值为
【解析】
若,则,得,所以(舍去),若,则,解得,所以即为所求.
10.解分段函数的不等式
例11.设函数,若,则得取值围是()
【解析1】
首先画出和的大致图像,易知时,所对应的的取值围是.
【解析2】
因为,当时,,解得,当时,,解得,综上的取值围是.故选D.
例12.设函数,则使得的自变量的取值围为()
A.B.
C.D.
【解析】
当时,,所以,当时,,所以,综上所述,或,故选A项.
【点评:
】
以上分段函数性质的考查中,不难得到一种解题的重要途径,若能画出其大致图像,定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解,方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显.
反馈练习
1.(2013新课标全国Ⅰ,5分)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值围是( )
A.(-∞,0]B.(-∞,1]
C.[-2,1]D.[-2,0]
解析:
本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值围问题,意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力.当x≤0时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤0,所以|f(x)|≥ax化简为x2-2x≥ax,即x2≥(a+2)x,因为x≤0,所以a+2≥x恒成立,所以a≥-2;当x>0时,f(x)=ln(x+1)>0,所以|f(x)|≥ax化简为ln(x+1)>ax恒成立,由函数图象可知a≤0,综上,当-2≤a≤0时,不等式|f(x)|≥ax恒成立,选择D.
答案:
D
2.(2013,4分)已知函数f(x)=则f=________.
解析:
本题主要考查分段函数的求值,意在考查考生的应用能力和运算求解能力.∵f=-tan=-1,∴f=f(-1)=2×(-1)3=-2.
答案:
-2
3.(2013,5分)函数f(x)=的值域为________.
解析:
本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质,意在考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度.
分段函数是一个函数,其定义域是各段函数定义域的并集,值域是各段函数值域的并集.当x≥1时,logx≤0,当x<1时,0<2x<2,故值域为(0,2)∪(-∞,0]=(-∞,2).
答案:
(-∞,2)
4.(2012,5分)若函数f(x)=则f(f(10))=( )
A.lg101B.2
C.1D.0
解析:
f(10)=lg10=1,故f(f(10))=f
(1)=12+1=2.
答案:
B
5.(2011,5分)根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:
分钟)为
f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是( )
A.75,25B.75,16
C.60,25D.60,16
解析:
因为组装第A件产品用时15分钟,所以=15
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- 分段 函数 常见 题型 解法
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