spc统计之变异数分析Word文件下载.docx
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Treatment(Level)
觀測值
(Observations)
總和
(Totals)
平均值
(Average)
1
y11y12…y1n
y1
2
y21y22…y2n
y2
…
….
a
ya1ya2…y1n
ya
y
N=an
yij:
第i個處理、第j個觀測值
一因子變異數分析是根據變異來源:
組內、組間、與總變異等統計量,建立變異數分析表(ANOVATable),以進行檢定工作。
變異來源
平方和SS
自由度df
均方和MS
F
因子(組間)
SST
a-1
MST=
SST/(a-1)
MST/MSE
隨機(組內)
SSE
N-a
MSE=
SSE/(N-a)
SS
N-1
MS=
SS/(N-1)
其中:
◎總變異(TotalSumofSquaredDeviation)
SS=
=SST+SSE(8.2)
◎組間變異(TreatmentSumofSquares)(BetweenTreatment)
SST=
(8.3)
◎組內變異(ErrorSumofSquares)(WithinTreatment)
SSE=
(8.4)
簡化之:
SS=
;
SST=
SSE=SS–SST(8.5)
一因子變異數分析的統計假設為
H0:
1=2=….=k;
即因子對依變數無影響。
H1:
i不全等;
即因子對依變數有影響。
上述的假設中,1,2,….,k分別為k個因子水準所造成的效果。
若H0為真,即表示k個效果不存在,因子對依變數無影響。
檢定統計式:
F=MST/MSE(8.6)
若各組樣本均來自常態分佈,則檢定統計量為一F分佈。
在顯著水準下,倘
FF,a-1,N-aAcceptH0
F>
F,a-1,N-aRejectH0
各組樣本數相等
範例、隨機抽取IDF、F16、與幻象2000等三種戰機各10架,測其速度,這三種戰機的平均速度有差異?
SOL:
(1)建立統計假設
1=2=3;
H1:
i不全等
(2)顯著水準=0.05
IDF
F16
2000
單因子變異數分析
2.25
1.99
2.78
2.12
2.48
2.64
摘要
1.89
2.51
2.98
組
個數
平均
變異數
1.93
2.08
2.84
10
20.95
2.095
0.0357
2.43
2.31
3.01
22.06
2.206
0.0593
1.87
2.27
2.72
28.32
2.832
0.0153
2.04
1.84
2.85
2.11
2.69
2.32
2.89
ANOVA
2.92
變源
df
MS
P-值
組間
3.157887
1.578943
42.938
4.1E-09
組內
0.99285
27
0.036772
臨界值
3.354131
4.150737
29
F(=42.94)值遠大於臨界值(=3.35),且P-值為4.1E-09遠小於顯著水準0.05
RejectH0
即至少有二種戰機(母體)的平均速度是有差異的。
各組樣本數不等
範例、工管系欲採三種工廠實習課程:
(1)電視教學
(2)講師講習(3)實地觀摩,其對學習效果是否有不同的影響?
電視教學
講師講習
實地觀摩
70
76
82
83
85
80
88
75
92
90
89
7
588
84
55
8
688
86
34
72
6
468
78
50
94
自由度
228.9524
114.4762
2.519036
0.108502
818
18
45.44444
3.554561
1046.952
20
F(=2.52)值小於臨界值(=3.55),且P-值為0.1085大於顯著水準0.05
AcceptH0
三種工廠實習課程對學生學習效果無差異的。
8.3集區隨機設計(TheRandomizedBlockDesign)
在任何實驗中,擾動因子(NuisanceFactor)引起的變異對其結果會有影響。
擾動因子之定義:
一設計因子,其對反應有效果而實驗者卻對此效果無興趣。
未知且無法控制(UnknownandUncontrolled)的擾動因子:
不知其存在及實驗進行時可能改變水準。
隨機化是一種設計技巧用來防範此『潛伏』的擾動因子。
然而,已知但不可控制(KnownbutUncontrollable)的擾動因子,倘於每次實驗時會觀測到此的擾動因子之值,則於ANOVA時其會被補償。
如擾動變異來源是已知且可控制(KnownandControllable)時,集區劃分(Blocking)之設計將可系統化地消除其對處理間統計比較的影響。
上節敘述一因子變異數分析,且完全隨機設計,藉此中和或消弭一些非特定因子(不是我們想知道的重點)對依變量(輸出y)所造成的影響。
但某些情況下,非特定因子對依變量的干擾過大,甚至完全隨機設計亦無法消弭這些干擾。
此時依變量不只受到特定因子的影響,亦受到非特定因子的影響。
倘致遠管理學院欲對6個學系有開統計學課程,採4種不同教學方式,以研究統計學對各系學生學習效果是否有不同的影響。
此時,學生學習效果為依變量(輸出y),教學方式為特定因子,但學生學習效果卻不只受到教學方式的影響,而受到各學系的影響,因為各學系各具不同的特性。
若用上節的檢定方式,會將各系所導致的影響計入SSE中,而使得SSE膨脹起來,因而影響結論的正確性。
如欲評鑑各系學生學習統計學的效果,則各系學生學習成績形成一個集區(Block)。
因此總變異的分解為:
SS(總變異)=
SST(組間變異)+SSB(集區變異)+SSE(隨機誤差)
Block1
Block2
Blockb
y11
y12
y1b
y21
y22
y2b
y31
y32
y3b
.
ya1
ya2
yab
集區
SSB
b-1
MSB=
SSB/(b-1)
MSB/MSE
(a-1)(b-1)
SSE/(a-1)(b-1)
=
=SST+SSB+SSE(8.7)
(8.8)
SSB=
(8.9)
(8.10)
SSE=SS–SST-SSB(8.11)
集區隨機設計的統計假設為
上述的假設中,1,2,….,k分別為k個因子水準所造成的效果。
F=MST/MSE(8.12)
FF,a-1,(a-1)(b-1)AcceptH0
F,a-1,(a-1)(b-1)RejectH0
範例、欲研究硬度實驗。
共有4種尖銳物和4塊可供測試的金屬物品。
每1種尖銳物在每塊金屬物品上測試一次,成為一個集區隨機設計。
尖銳物種類
金屬物品(集區)
1
3
4
9.3
9.4
9.6
10.0
9.8
9.9
9.2
9.5
9.7
10.2
SOL:
處理(尖銳物種類)
38.50
12.83
14.44
集區(金屬物品)
82.50
27.50
P-Value
誤差
8.00
9
0.89
0.0009
129.00
15
F(=14.44)值大於臨界值(=3.86),且P-值為0.0009小於顯著水準0.05
RejectH0
尖銳物種類的確會影響平均硬度讀值(即尖銳物對平均硬度有效)。
(考慮集區)
(倘無考慮集區)
1.70
90.50
12
7.54
F(=1.70)值小於臨界值(=3.49)。
尖銳物種類的平均硬度讀值相等,即尖銳物種類不會影響平均硬度讀值(即尖銳物對平均硬度無效)。
8.4二因子變異數分析(Two-wayANOVA)
在上述一因子變異數分析和集區隨機設計中,均研究一個因子對依變量所造成的影響,將此觀念擴展至二因子時,此研究架構即為二因子變異數分析。
在進行二因子變異數分析時,須考因子間是否對依變數有交互作用(Interaction),此作用不存在,則變異數分析的結構較簡單,則二個因子對依變量的影響可分開研究;
倘此作用存在,則變異數分析的結構較複雜,則二個因子對依變量的影響須置於一起討論。
考慮一般情況,令yijk為A因子在第i個水準(i=1,2,…,a)、B因子在第j個水準(j=1,2,…,b)、在第k次重複(k=1,2,…,n)時所觀測到的反應值。
如下:
y2b1,y2b2,…,y2bn
B因子
b
A
因
子
y111,y112,…,y11n
y121,y122,…,y12n
y1b1,y1b2,…,y1bn
y211,y212,…,y21n
y221,y222,…,y22n
y2b1,y2b2,…,y2bn
:
ya11,ya12,…,ya1n
ya21,ya22,…,ya2n
yab1,yab2,…,yabn
總變異=
A因子變異+B因子變異+AB因子交互變異+隨機誤差
因子A
SSA
MSA=
SSA/(a-1)
MSA/MSE
因子B
交互作用
SSAB
MSAB=
SSAB/[(a-1)
(b-1)]
MSAB/
MSE
隨機誤差
ab(n-1)
SSE/ab(n-1)
abn-1
SS/(abn-1)
SS=
=
+
=SST+SSB+SSAB+SSE(8.13)
SSA=
Subtotal=
SSAB=Subtotal–SSA-SSB
SSE=SS–Subtotal(8.14)
在進行二因子變異分析時,一般是先檢定交互作用存在與否,倘接受H0:
交互作用不存在,則二因子變異分析的架構可簡化之,此時再繼續進行A、B因子效果檢定假設才有意義。
若拒絕H0,則無論A、B因子效果檢定的結果為何,交互作用都會保留在模式中,此已認定A、B因子會對依變量造成影響。
二因子變異分析三階段檢定過程:
(1)檢定交互作用是否存在:
統計假設為
H0:
交互作用不存在。
H1:
交互作用存在。
若H0為真,即表示A、B因子未對依變數產生交叉影響。
F=MSAB/MSE(8.15)
倘
FF,(a-1)(b-1),ab(n-1)AcceptH0
F,(a-1)(b-1),ab(n-1)RejectH0
(2)檢定A因子是否影響依變量:
假設已作出交互作用不存在,則分別檢定二因子對依變量的影響。
1j=2j=…=aj,j=1,2,…,b;
1j,2j,…,aj不全相等。
若H0為真,即表示A因子未對依變數產生影響。
F=MSA/MSE(8.16)
倘FF,(a-1),ab(n-1)AcceptH0
F>
F,(a-1),ab(n-1)RejectH0
(3)檢定B因子是否影響依變量:
檢定B因子對依變量的影響。
i1=i2=…=ib,i=1,2,…,a;
i1,i2,…,ib不全相等。
若H0為真,即表示B因子未對依變數產生影響。
F=MSB/MSE(8.17)
倘FF,(b-1),ab(n-1)AcceptH0
F,(b-1),ab(n-1)RejectH0
電池設計實驗
材料種類
溫度(F)
125
130
155
40
74
180
58
150
188
36
122
25
159
126
106
115
45
138
110
120
96
104
168
160
139
60
ANOVAforBatteryLifeData
DOF
樣本
10683.72222
5341.86111
7.911372269
0.00197608
3.35413119
欄
39118.72222
19559.3611
28.96769195
1.9086E-07
9613.777778
2403.44444
3.5595354
0.01861116
2.72776645
18230.75
675.212963
77646.97222
35
由ANOVA表示,F0.05,4,27=2.72,則材料種類與溫度之間有顯著性,再者,F0.05,2,27=3.35,則材料種類與溫度之主效果亦有顯著性。
為解釋實驗的結果,構建各處理組合下平均反應圖,由圖5-9所示,結論如下
材料種類-溫度之反應圖
◎由直線缺乏平行性質視出顯著的交互作用,
◎不論材料種類,低溫會得到較長的壽命,
◎如要求溫度變化時,其電池有效壽命折損較小,則材料種類3的表現似最佳。
高
中
低
貨品陳架(二因子---位置與高度)與銷售量
前面
95
雙因子變異數分析:
重複試驗
100
30
5
後面
65
175
475
305
955
105
61
63.7
62.5
723.1
320
480
170
970
64
64.7
42.5
726.7
495
49.5
95.5
47.5
285.833
74.7
256.9
樣本(前後)
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- spc 统计 变异 分析