《图形的初步认识》全章复习与巩固提高知识讲解Word文档格式.docx
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线动成面,面与面相交成线;
面动成体,体是由面组成.
要点二、直线、射线、线段
1.直线,射线与线段的区别与联系
2.基本性质
(1)直线的性质:
两点确定一条直线.
(2)线段的性质:
两点之间,线段最短.
①本知识点可用来解释很多生活中的现象.如:
要在墙上固定一个木条,只要两个钉子就可以了,因为如果把木条看作一条直线,那么两点可确定一条直线.
②连接两点间的线段的长度,叫做两点的距离.
3.画一条线段等于已知线段
(1)度量法:
可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
(2)用尺规作图法:
用圆规在射线AC上截取AB=a,如下图:
4.线段的比较与运算
(1)线段的比较:
比较两条线段的长短,常用两种方法,一种是度量法;
一种是叠合法.
(2)线段的和与差:
如下图,有AB+BC=AC,或AC=a+b;
AD=AB-BD。
(3)线段的中点:
把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点.如下图,有
,或AB=2AM=2MB.
①线段中点的等价表述:
如上图,点M在线段上,且有
,则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点(即二等分点)外,类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图,点M,N,P均为线段AB的四等分点.
要点三、角
1.角的相关概念
(1)角的定义:
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边;
此外,角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.其中起始位置的射线叫做角的始边,终止位置的射线叫做角的终边.
(2)角的表示方法:
角通常有四种表示方法:
一是用三个大写英文字母表示,二是用角的顶点的一个大写英文字母表示,三是用一个小写希腊字母,四是用一个数字表示.例如下图:
①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义;
②当一个角的顶点有多个角的时候,不能用顶点的一个大写字母来表示.
(3)角度制及角度的换算
1周角=360°
,1平角=180°
,1°
=60′,1′=60″,以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制.
①度、分、秒的换算是60进制,与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法:
由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行;
由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减:
度加(减)度,分加(减)分,秒加(减)秒;
超60进一,减一
成60.
(4)角的分类
∠β
锐角
直角
钝角
平角
周角
范围
0<∠β<90°
∠β=90°
90°
<∠β<180°
∠β=180°
∠β=360°
(5)画一个角等于已知角
(1)借助一副三角尺能画出15°
的倍数的角,在0~180°
之间共能画出11个角.
(2)借助量角器能画出给定度数的角.
(3)用尺规作图法.
2.角的比较与运算
(1)角的比较方法:
①度量法;
②叠合法.
(2)角的平分线:
从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线,例如:
如下图,因为OC是∠AOB的平分线,所以∠1=∠2=
∠AOB,或∠AOB=2∠1=2∠2.类似地,还有角的三等分线等.
3.角的互余互补关系
(1)若∠1+∠2=90°
,则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角,∠2是∠1的余角.
(2)若∠1+∠2=180°
,则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角,∠2是∠1的补角.
(3)结论:
同角(或等角)的余角相等;
同角(或等角)的补角相等.
①余角(或补角)是两个角的关系,是成对出现的,单独一个角不能称其为余角(或补角).
②一个角的余角(或补角)可以不止一个,但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系,与位置无关.
④“等角是相等的几个角”,而“同角是同一个角”.
4.方位角
以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向,这种表示方向的角叫做方位角.
(1)方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西,三要确定旋转角度的大小.
(2)北偏东45°
通常叫做东北方向,北偏西45°
通常叫做西北方向,南偏东45°
通常叫做东南方向,南偏西45°
通常叫做西南方向.
(3)方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
【典型例题】
类型一、概念或性质的理解
1.下列判断错误的有()
①延长射线OA;
②直线比射线长,射线比线段长;
③如果线段PA=PB,则点P是线段AB的中点;
④连接两点间的线段,叫做两点间的距离.
A.0个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【解析】①由于射线向一方无限延伸,因此,不能延长射线;
②由于直线向两方无限延伸,射线向一方无限延伸,因此它们都是不能度量的,所以它们不存在相等或不相等的关系,而线段是可以度量的,可以比较线段的长短;
③线段PA=PB,只有当点P在线段AB上时,才是线段AB的中点,否则就不是;
④两点间的距离是表示大小的量,而线段是图形,二者的本质属性不同.
【总结升华】本题考查的是基本概念,要抓住概念间的本质区别.
举一反三:
【变式】下列说法正确的个数有().
①若∠1+∠2+∠3=90°
,则∠1,∠2,∠3互余.②互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角.③因为钝角没有余角,所以,只有当角为锐角时,“一个角的补角比这个角的余角大”这个说法才正确.
A.0个B.1个C.2个D.3个
【答案】B提示:
③正确
类型二、立体图形与平面图形的相互转化
1.展开与折叠问题
2.如图所示,它们的平面展开图是由5个大小相同的正方形组成,其中沿正方形的边不能折成无盖小方盒的是().
【答案】B
【解析】图形B无论怎样折叠都有一个侧面重合,这样就缺少一个侧面,所以图形B不能折成无盖小方盒.
【总结升华】解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形.
【变式】已知O为圆锥的顶点,M为圆锥底面圆上一点,点P在OM上.一只蜗牛从P点出发,绕圆锥侧面爬行,回到P点时,所爬过的最短路线的痕迹如图所示.若沿OM将圆锥侧面剪开并展平,所得侧面展开图(如图)是().
【答案】D
2.从不同方向看
3.(河北)将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6,2和5,3和4)放置于水平桌面上,如图1所示.在图2中,将骰子向右翻滚90°
,然后在桌面上按逆时针方向旋转90°
,则完成一次变换.若骰子的初始位置为图1所示的状态,那么按上述规则连续完成10次变换后,骰子朝上一面的点数是().
A.6B.5C.3D.2
【答案】B
【解析】第一次变换:
将骰子向右翻滚90°
,正面向上的应当是5,右面的是3,正面是1,再在桌面上按逆时针方向旋转90°
,面向上的应当是5,右面的是1,正面是4;
第二次变换:
,正面向上的应当是6,右面的是5,正面是4,再在桌面上按逆时针方向旋转90°
,面向上的应当是6,右面的是4,正面是2;
第三次变换:
,正面向上的应当是3,右面的是6,正面是2,再在桌面上按逆时针方向旋转90°
,正面向上的应当是3,右面的是2,正面是1,就回到了初始状态.所以每完成三次变换即可回到原来的位置,所以第十次变换后的状态与第一次变换后的状态相同,所以朝上一面的点数是5.
【总结升华】先找到规律再从上面看便得答案.
【变式1】
(南昌)沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示,它的俯视图是().
【答案】D
【高清课堂:
图形认识初步章节复习399079多姿多彩的图形例2】
【变式2】如图,是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图,那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是()
A.5个B.6个C.7个D.8个
类型三、互余互补的有关计算
4.(安徽芜湖)如图所示的4×
4正方形网格中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7等于()
A.330°
B.315°
C.310°
D.320°
【解析】通过网格的特征首先确定∠4=45°
.由图形可知:
∠l与∠7互余,∠2与∠6互余,∠3与∠5互余,所以∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=90°
+90°
+45°
=315°
.
【总结升华】互余的两个角只与数量有关,而与位置无关.
【变式】如图所示,AB和CD都是直线,∠AOE=90°
,∠3=∠FOD,∠1=27°
20′,求∠2,∠3.
【答案】
解:
因为∠AOE=90°
,
所以∠2=90°
-∠1=90°
-27°
20′=62°
40′.
又∠AOD=180°
-∠1=152°
40′,∠3=∠FOD.
所以∠3=
∠AOD=76°
20′.
答:
∠2为62°
40′,∠3为76°
类型四、方位角
5.(山东潍坊)用A、B、C分别表示学校、小明家、小红家,已知学校在小明家的南偏东
,小红家在小明家正东,小红家在学校北偏东35°
,则∠ACB等于()
A.35°
B.55°
C.60°
D.84°
【思路点拨】根据方位角的概念,分清方向,正确地画出图形,即可求解.
【解析】根据题意画出图形如下:
∵∠ACB与35°
互余,∴∠ACB=90°
-35°
=55°
【总结升华】解答此类题需要从运动的角度,正确画出方位角,找准中心是解答此类题的关键.
【变式】
(张家界模拟)考点办公室设在校园中心O点,带队老师休息室A位于O点的北偏东45°
,某考室B位于O点南偏东60°
,请在图
(1)中画出射线OA、OB,并计算∠AOB的度数.
【答案】
如图
(2),以O为顶点,正北方向线为始边向东旋转45°
,得OA;
以O为顶点,正南方向线为始边向东旋转60°
,得OB,则∠AOB=180°
-(45°
+60°
)=75°
.
类型五、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算
1.方程的思想方法
6.如图所示,B、C是线段AD上的两点,且
,AC=35cm,BD=44cm,求线段AD的长.
【答案与解析】
设AB=xcm,则
或
于是列方程,得
解得:
x=18,即AB=18(cm)
所以BC=35-x=35-18=17(cm)
(cm)
所以AD=AB+BC+CD=18+17+27=62(cm)
【总结升华】根据题中的线段关系,巧设未知数,列方程求解.
2.分类的思想方法
7.同一直线上有A、B、C、D四点,已知AD=
DB,AC=
CB,且CD=4cm,求AB的长.
【思路点拨】先根据题意画出图形,再从图上直观的看出各线段的关系及大小.
利用条件中的AD=
CB,设DB=9x,CB=5y,
则AD=5x,AC=9y,分类讨论:
(1)当点D,C均在线段AB上时,如图所示:
∵AB=AD+DB=14x,AB=AC+CB=14y,∴x=y
∵CD=AC-AD=9y-5x=4x=4,∴x=1,∴AB=14x=14(cm).
(2)当点D,C均不在线段AB上时,如图所示:
方法同上,解得
(cm).
(3)如图所示,当点D在线段AB上而点C不在线段AB上时,方法同上,解得
(4)如图所示,当点C在线段AB上而点D不在线段AB上时,方法同上,解得
综上可得:
AB的长为14cm,
cm,
cm.
【总结升华】解决没有图形的题目时,一要注意满足条件下的图形的多样性;
二要注意解决的方法,注意方程法在解决图形问题中的应用.在正确答案中,(3)与(4)的答案虽然相同,但作为图形上的差别应了解.
类型六、钟表上的角
8.如图所示,时钟的时针由3点整的位置(顺时针方向)转过多少度时,与分针第一次重合.
解:
设时针转过的度数为x°
时,与分针第一次重合,依题意有
12x=90+x
解得
答:
时针转过
时,与分针第一次重合.
【总结升华】在相同时间里,分针转过的度数是时针的12倍,此外此问题可以转化为追及问题来解决.
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