第9章 半群和群91394Word下载.docx

第9章 半群和群91394Word下载.docx

《第9章 半群和群91394Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第9章 半群和群91394Word下载.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

Z上剩余关系是（Z,×

）上同余关系.

例2．令A＝{0,1},自由半群（A*,）上关系R：

αRβα，β含有同样多个1。

则R是（A*,）上同余关系。

例3．设f（x）=x2-x-2,令（Z，＋）上关系R：

aRbf（a）=f（b）.

R是Z上等价关系，但不是同余关系。

－1R2，f（－1）=f

（2）=0

－2R3，f（-2）=f（3）=4

-1+-2=-3,2+3=5

f（-3）=10,f（5）=18

-1+-2与2＋3不满足R。

定理2.设R是半群（S，*）上同余关系。

定义商集S/R上二元运算*：

[a]*[b]=[a*b]。

则（S/R,*）是半群。

证明.设[a]=[a’],[b]=[b’],

要证[a*b]=[a’*b’]

aRa’,bRb’,由R是同余关系

a*bRa’*b’,因此[a*b]=[a’*b’]，*是映射，二元运算。

还要证*满足结合律：

[a]*（[b]*[c]）=[a]*[b*c]

=[a*（b*c）]=[（a*b）*c]

=[a*b]*[c]=（[a]*[b]）*[c]

因此（S/R,*）是半群。

称S/R为商半群。

推论1.设R是独异点（S，*）上同余关系，则（S/R,*）是独异点。

证明.恒等元e∈S,只要证明[e]是S/R,的恒等元。

任何a∈S，

[a]*[e]=[a*e]=[a]

[e]*[a]=[e*a]=[a].

例5．（Zn,+）,（Zn，×

）都是半群，独异点。

Zn＝{[0],[1],[2],……,[n-1]}

[m]+[n]=[m+n]

定理3.令R是半群（S，*）上同余关系,（S/R,*）是商半群。

f：

S→S/R,

f（a）=[a],

则f是满同态，称f为自然同态。

定理4.同态基本定理

设f:

（S，*）→（T，*’）

是两个半群间的同态映射，令R是S上二元关系：

a,b∈S，aRbf（a）=f（b）.

则

（a）R是（S，*）上同余关系。

（b）（T，*’）（S/R,*）.

HomeworkP337-338

4,10,14,16,22,24

9.4群Group

群的定义

群（G，*）是一个代数系统，

1）二元运算*满足结合律,

2）有单位元e，a*e=e*a=a,

3）对每个a∈G，存在a’∈G，a*a’=a’*a=e,

称a’为a的逆元。

群（G，*）是一个有单位元的独异点，对每个a∈G，存在逆元a’∈G，使a*a’=a’*a=e.

群（G，*）常简记为G，

a*b常简记为ab。

可换群叫Abel群AbelianGroup

群的例

（Z，＋），

（Q，＋），（Q，×

），

（R，＋），（R，×

（Zn，＋），

（P（S）,∪），（P（S）,∩），

（Mn，＋），

（F（x）,+）,

S上全体一一对应，对于复合，

最后一个不是Abel群。

例（R，*）：

a*b=ab/2是Abel群。

*满足结合律，交换律，

2是单位元，

4/a是a的逆元。

定理1.群的逆元唯一：

设G是群，任意a∈G，a只有一个逆元，记做a-1。

证明.

设a’，a”都是a的逆，

a’=a’aa”=a”.

定理2.群有消去律：

设G是群，a,b,c∈G,则

（a）ab＝acb＝c，

（b）ba＝cab＝c。

定理3.逆律

设G是群，a,b∈G,则

（a）（a-1）-1=a,

（b）（ab）-1=b-1a-1.

（c）a-n＝（a-1）n

定理4.方程有唯一解

设G是群，a,b∈G,则

（a）方程ax＝b在G中有唯一解。

（b）方程ya＝b在G中有唯一解。

定理4’.定理4的逆：

半群（A,*）方程ax＝b，ya＝b有唯一解，则（A,*）是群。

（1）A有单位元

（1’）A有右单位元：

取a∈A，ax＝a有解为e’，

ae’=a。

证e’是右单位元。

对任意b∈A，be’=b:

任意b∈A，xa＝b，有界c，

ca＝b，

be’=cae’=ca=b.

（1”）A有左单位元

同理xa＝a的解为e”，e”是左单位元，任b∈A，e”b=b。

左右单位元相等e”=e”e’=e’,记为e，任意b∈A，be＝eb＝b，e是单位元。

（2）任意a∈A，a有逆元：

（2’）任意a∈A，a有右逆元：

a’,aa’=e.

（2”）任意a∈A，a有左逆元：

a”,a”a=a.

a”=a’,记为a*，aa*=a*a=e.

a*是a的逆元。

a∈G，a的阶：

使ak＝e的最小的k。

如无这样的k，称a为无限阶。

a无限阶，任意n∈Z，an≠e.

|G|有限时称G为有限群。

群G的阶:

|G|.

一阶群G={e},

二阶群G＝{e,a}

e

a

三阶群G＝{e,a,b}

b

四阶群G＝{e,a,b,c}

*

c

例Klein四元群

G={e,a,b,c}

Klein四元群是Abel群。

例置换群，对称群SymetricGroup

A＝{1,2,3},A的所有置换对复合运算构成群：

S3={f1,f2,f3,g1,g2,g3}

称（S3,*）为对称群，Groupofsymeriesofatriangle。

S3的乘法表：

f1

f2

f3

g1

g2

g3

S4四元对称群，是四个元素的置换组成的对称群，共有4！

＝24个置换。

不是四边形的所有对称。

Snn元对称群，是n个元素的置换组成的对称群，有n！

个元素。

An是Sn中所有偶置换组成的n元交代群,有n！

/2个元素。

A3＝{f1,f2,f3}.

剩余类群（Zn，＋），

Zn＝{[0],[1],……,[n-1]},

简记为{0,1,……,n-1}.

a∈Zn，a-1＝n－a.

循环群cyclegroup

存在a∈G，任意x∈G，

x＝ak，k∈Z。

a的阶是n，G＝{e,a,a2,……,an-1}

ak的逆是an-k。

a无限阶，

G＝{……,a-2,a-1,e,a,a2,……}

Z是无限循环群，Zn是n阶循环群。

有限群G是循环群当且仅当存在a∈G，a的阶＝|G|.

Klein四元群不是循环群。

子群subgroup

HG，H对于G的运算*构成群。

H是G的子群当且仅当

（1）e∈H

（2）a，b∈Hab∈H

（3）a∈Ha-1∈H

a，b∈Hab-1∈H.

子群的例

设G是群，H＝{e}是子群。

G是群，a∈G，H＝{ak|k∈Z}是子群，叫做a生成的子群。

S3中，H＝{f1,f2,f3}是f2生成的子群。

交代群An是对称群Sn的子群。

命题.一个群的任意两个子群的交仍是子群。

群的同构与同态isomorphismandhomomorphismofgroups

同构f:

（G1，*）（G2，*），

f一一对应，保持运算。

|G1|=|G2|,对应元素有相同的阶。

同态f:

f多一到上，保持运算。

例13

G是实数加法群,G’是正实数乘法群。

f:

GG’

f（x）=ex,f-1（y）=lny.

1.f处处有定义，

2.满

3．单

4．f（a+b）=eaeb,保持运算。

例14SnB，B＝{0,1}.

例15ZZn

例16．S3与Z6都是6阶群，不同构。

定理5.设f:

（G，*）（G’，*’）是同态，

则（a）f（e）=e’,

（b）f（a-1）=f（a）-1,

（c）H是G的子群f（H）是G’的子群。

HomeworkPP348－349

6，12，19，22，24，28，30，32，33

9.5乘积群和商群