初中数学圆中最值定值问题专题推荐文档格式.docx
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点A为圆外一点,P为圆O上动点,连接AO并延长交圆于P1、P2,则AP的最小值为AP2,,最大值为AP1
例、如图4,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°
,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN,连接A′C,请求出A′B长度的最小值.
1、已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标洗中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,则CB’的最小值为______
2、四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90,AD=1,AB=2,BC=3,P是线段AD上一动点,将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP,则△CQD的面积最小值为____
类型三、随动位似隐圆
例、在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,∠BAC=30°
,BC=6.点D是边AC上一点D且AD=2
,将线段AD绕点A旋转得线段AD′,点F始终为BD′的中点,则将线段CF最大值为_________
[分析]:
易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆,则在运动过程中AD’为定值2
,故取AB中点G,则FG为中位线,FG=
AD'
=
故F点轨迹为以G为圆心,
为半径的圆。
问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F,求CF的最大值。
思路2:
倍长BC到B’,则CF为△B’D’B的中位线,CF=
B’D’,当B’D’最大时,CF也取最大值,问题实质为D在圆A上运动至何处时,BD取最大。
【方法归纳】
、如图,点A和点O1为定点,圆O1半径为定值,P为圆O1上动点,M为AP中点⇒点M运动轨迹为圆O2,且O2为AO1中点。
、构造中位线
1、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,D是AC的中点,M是BD的中点,将线段AD绕A点任意旋转(旋转过程中始终保持点M是BD的中点),若AC=4,BC=3,那么在旋转过程中,线段CM长度的取值范围是_______
2、如图,△ABC是边长为2的等边三角形,以AC为直径作半圆,P为半圆上任意一点,M为BP中点,则在点P由A到C运动过程中,点M运动路径长为________
类型四、定性分析——垂线段最短
例、如图,半圆O的半径为1,AC⊥AB,BD⊥AB,且AC=1,BD=3,P是半圆上任意一点,则封闭图形ABDPC面积的最大值是_______________
【分析】:
思路1、连接CD、梯形ABCD面积为定值,要使封闭图形ABDPC面积取最大值,则使△CPD面积取最小即可,△CPD中,底边CD为定值,则当高取最小值时,面积有最小值,故问题变成当点P在圆上运动至何处时,点P到CD距离最小。
C、D、O为定点,则点O到CD距离为定值,计算CD、OC、OD长,由勾逆知OC⊥CD,设点P到CD距离为h,则h+r≥OC,∴h≥OC-r,即当O、P、M三点共线时,h有最小值,此时M与点C重合,故OC与圆O交点即为所求点P。
P点的确定也可以这样想,平移CD,设平移后的直线为m,则直线m与CD间的距离即为CD边上的高,显然,当直线m与圆O相切时,高h有最小值。
1、如图,P为圆O内一个定点,A为圆O上一个动点,射线AP,AO分别与圆O交于B,C两点,若圆O的半径为3,OP=
,则弦BC的最大值为________
2、如图,AB为⊙O的直径,C为半圆的中点,⊙C的半径为2,AB=8,点P是直径AB上的一动点,PM与⊙C切于点M,则PM的取值范围为___________
类型五、定弦定角
如图1\⊙O中,A、B为定点,则AB为定弦,点C为优弧上任一点,在C点运动过程中则∠ACB的度数不变⇒逆运用⇒如图2、点A、B为定点,点C为线段AB外一点,且∠ACB=θ(θ为固定值)⇒点C在以AB为弦的圆上运动(不与A、B重合)
图1图2
例、如图,AB为定长,点C为线段AB外一点,且满足∠ACB=60度,请在图中画出点C的运动轨迹,简要说明作图步骤
步骤1、___________________________________________________
步骤2、___________________________________________________
练习、1、如图,AB为定长,点C为线段AB外一点,且满足∠ACB=120度,请在图中画出点C的运动轨迹,并写出圆心角∠AOB=__________
2、如图,AB为定长,点C为线段AB外一点,且满足∠ACB=120度,请在图中画出点C的运动轨迹,
【实战应用】
例、如图,⊙O的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C,则△ABC的最大面积是_______________
1、如图,△ABC是边长为2的等边三角形,D是边BC上的动点,BE⊥AD于E,则CE的最小值为___________
2、如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为_________
类型六、定弦定角——反客为主
例、如图,∠XOY=45°
,一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动,其中AB=10,那么点O到顶点A的距离最大值为_______点O到AB的距离的最大值为______
题意中AB为定长线段在角的两边滑动,O为定点,滑动中C为动点,AB两点位置发生变化,点O到AB距离的最大值的确定有难度,若改变思路,借助物理中运动的相对性可知,若将△ABC固定,将∠XOY的两边绕AB滑动,与原题中运动效果等价,题目中数量关系不会发生改变。
问题则变为当点O在圆上运动至何处时,点O到AB距离最大。
1、如图,D,E分别为等腰直角三角形ABC的边AC、AB上的点,且DE=2
以DE为边向外作正方形DEFG,则AF的最大值为__________
2、如图,△ABC中,∠ABC=45°
,AC=2,半径为
的圆O始终过A、C两点,连接OB,则线段OB长的的最大值为__________
类型七、定弦定角——条件的确定
例、如图,扇形AOD中,∠AOD=90°
,OA=6,点P为弧AD上任意一点(不与点A和D重合),PQ⊥OD于点Q,点I为△OPQ的内心,则当点P在弧AD上运动时,求I点运动路径长。
.
由内心的基本结论知∠PIO=90o+
∠PHO=135o为定角,但其所对的边OP并非定弦,连ID,易证△AIO≌△OID,∴∠OID=∠PIO=135O,且其所对的边为OD,符合定弦定角条件,故I点轨迹为圆弧,问题易解。
1、如图,边长为3的等边△ABC,D、E分别为边BC、AC上的点,且BD=CE,AD、BE交于P点,则CP的最小值为_________
2、如图,AC=3,BC=5,且∠BAC=90°
,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,连接BD交圆于E点,连CE,则CE的最小值为()
类型八、隐切线
例、已知A(2,0),B(4,0)是x轴上的两点,点C是y轴上的动点,当∠ACB最大时,则点C的坐标为__________
将∠ACB看作以AB为弦的圆上的角,则圆心在AB的垂直平分线上,当圆心运动时,∠ACB的大小也随之改变,又因为点C为为y轴上的点,所以可将点C理解为圆O与y轴交点。
Y轴与圆o的位置关系有两种:
相交或相切,当圆O与y轴相交时,记交点为C1,当圆O与y轴相切时,记交点为C,如图所示,∠AC1B=∠AC2B,由圆上的角大于圆外的角可知,∠ACB>∠AC2B,故当圆O于y轴相切时,∠ACB有最大值。
考虑对称性可知,点C的位置有两个,y轴正半轴和y轴负轴上各有一个点。
1、已知点A、B的坐标分别是(0,1)、(0,3),点C是x轴正半轴上一动点,当∠ACB最大时,点C的坐标为____
在Rt△ABC中,∠BAC=30°
,斜边AB=
,动点P在AB边上,动点Q在AC边上,且∠CPQ=90°
,则线段CQ长的最小值=____________
类型九、捆绑旋转
例、已知A(2,0),B(5,0),点P为圆A上一动点,圆A半径为2,以PB为边作等边△PMB,求线段AM的取值范围。
思路1:
要求AM的取值范围,则先确定M点运动轨迹。
由等边三角形联想共顶点的双等边结构,可构造和△PBM共顶点B的等边△ABH,则△APB≌△HBM⇒HM=PA=2,所以点M运动轨迹为以H为圆心,半径为2的圆H上的点。
AM过圆心时取得相应最大和最小值。
线段BM可看作由线段PB绕点B顺时针旋转60度得到,当点P在圆A上运动时,作出其绕点B顺时针旋转60度后的每一个对应点,则其应点的集合就是点M运动轨迹。
显然其轨迹为圆。
因为每个对应点都是点P绕点B顺时针旋转60度得到,所以点M所在圆的圆心即为将P点所在圆圆心A绕点B顺时针旋转60度得到。
[想象成钟摆绕点B顺时针旋转60度]
1、如图,已知A(2,0),圆O半径为1,点B为圆O上一动点,点C在第一象限,且△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90度,求线段OC的最大值_____________
2、如图,AB为⊙O的直径,AB=4,点C为半圆AB上动点,以BC为边在⊙O外作正方形BCDE,(点D在直线AB的上方)连接OD.当点C运动时,则线段OD的最大值为__________
类型十、半径不确定的处理策略
例、在△ABC中,AB=4,BC=6,∠ACB=30°
将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中,点P的对应点是点P1,则线段EP1长度的最大值为_____________,最小值为_____________
[分析]:
显然BP=BP1,P1点轨迹为以B为圆心,BP为半径的圆,半径是多少呢?
好象无法确定,因为点P为AC上动点,则BP长度有最小值和最大值。
如图当BP垂直AC时,半径最小,当P与C重合时,半径最大,由图可知P1点轨迹为以B为圆心的无数个同心圆。
不难确定其最小值和最大值
1、在△ABC中,∠ACB=90°
,∠ABC=30°
,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°
<θ<180°
),得△A′B′C.E为AC的中点,A′B′中点为P,AC=4cm,则EP的最大值为__________
2、在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,将△ABC绕点C顺时针方向旋转,得到△A1B1C,点E是BC上的中点,点F为线段AB上的动点,在△ABC绕点C顺时针旋转过程中,点F的对应点是F1,请直接写出线段EF1长度的最大值与最小值的差.
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