初中数学三角形全等的判定Word下载.docx
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,一条边为3cm.
②三角形两内角分别为30°
和50°
.
③三角形两条边分别为4cm、6cm.
教师引导学生探究:
通过画图发现,满足六个条件中的一个或两个,两个三角形不一定全等.
【探究2】下面我们来观察一个三角形的平移过程,在观察中请你体会如果两个三角形的三边对应相等,这两个三角形是否全等.
我们看到平移前后三角形的三条线段的长度没有改变,反过来,如果两个三边对应相等,我们将其叠合,会发现两个三角形完全重合.
【思考】你如何验证你的结论呢?
(请每两个同学一组合作,先任意画一个三角形,然后再画一个三角形使其与前三角形的三边对应相等,并将所画的三角形裁剪下来与前三角形重叠,看看有什么结果.)
提醒学生注意:
已知三边画三角形是一种重要的作图,在几何中用途很多,所以这种画图方法一定要掌握.
通过观察和实验,我们得到一个规律:
三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).
我们在前面学习三角形的时候知道:
用三根木条钉成三角形框架,它的大小和形状是固定不变的,而用四根木条钉成的框架,它的形状是可以改变的.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.所以日常生活中常利用三角形做支架.就是利用三角形的稳定性.例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等.
用上面的规律可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据.
提出问题,明确探究方向,激发探究欲望.
学会观察,培养学生分析、探究问题的能力.
使学生明确:
判定两个三角形全等至少需要三个条件.
三、应用迁移巩固提高
【例1】如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支架.
求证:
△ABD≌△ACD.
[分析]要证△ABD≌△ACD,可以看这两个三角形的三条边是否对应相等.
证明:
【例2】如图,已知AC=FE、BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外,还应该有什么条件?
怎样才能得到这个条件?
四、总结反思拓展升华
本节课我们探索得到了三角形全等的条件,发现了证明三角形全等的一个规律SSS.并利用它可以证明简单的三角形全等问题.
五、课堂作业
P1512
教学理念/反思
第3课时三角形全等的判定
(2)
1、会用尺规作一个角等于已知角,并了解它在尺规作图中的简单应用。
2、掌握作已知角的平分线的方法及步骤。
用尺规作一个角等于已知角,作已知角的平分线。
规范使用尺规,规范使用作图语言,规范的按照步骤作出图形。
前面我们用量角器画一个角等于已知角和画一个已知角∠AOB的平分线OC,怎样用尺规来作一个角等于已知角和作已知角的平分线呢?
由具体的问题引入,激发学生的学生兴趣
【问题1】作一个角等于已知角。
已知如图,∠AOB
求作:
∠A’O’B’,使∠A’O’B’=∠AOB
教师在黑板上作图,同时写出作法:
⏹作射线O’A’。
⏹以O点为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D。
⏹以O’为圆心,以OC长为半径画弧,交O’A’于点C。
⏹以C’为圆心,以CD长为半径画弧,交前面的弧于点D’。
⏹过点D’作射线O’B’,∠A’O’B’就是所求作的角。
只用无刻度的直尽和圆规作图的方法称为尺规作图。
问:
你能验证你所作的角与已知角相等吗?
【问题2】作一个已知角∠AOB的平分线OC。
分析:
假如∠AOB的平分线OC已经画出,在前面角的平分线的研究中,我们用折线的实验发现:
如果有OE=OD,那么CE=CD.这个实验也启发我们:
如果有OE=OD,CE=CD,那么OC平分∠AOB吗?
用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC,∠EOC=∠DOC,即OC平分∠AOB.于是容易看出,要作∠AOB的平分线OC,在于怎样才能找到起关键作用的点C?
怎样确定点C呢?
不难看出,为了确定C点,必须先找点E、D.以O为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA、OB于D、E,那么OD=OE吗?
再分别以D、E为圆心,适当的长度为半径作弧,设两弧交于点C,那么CD=CE吗?
而D、E为圆心,“适当”的长度为半径作弧,两弧有一交点时,怎样的长度才“适当”呢?
已知:
∠AOB,如图
射线OE,使∠AOE=∠BOE.
作法:
(1)在OA和OB上,分别截取OC、OD,使OC=OD.
(2)分别以C、D为圆心,大于1/2CD的长为半径作弧,在∠AOB内,两弧交于点E.
(3)作射线OE.
OE就是所求的射线.
学生探索作图方法
通过示范,使学生明白如何利用尺规作一个角等于已知角。
【例1】已知∠AOB,利用尺规作∠A’O’B’,使∠A’O’B’=2∠AOB
【例2】如图,已知AD=AE,PD=PE,能否判定∠DAP=∠PAE?
请写出证明过程。
【练习】课本Р8练习
学生动手操作,教师加以指导,在具体的操作中巩固作法。
利用全等证明角相等的应用。
本节课我们主要学习了用尺规作一个角等于已知角和平分已知角,要会用自己的语言来书写作法,并要了解作一角等于已知角和平分已知角在尺规作图中的简单应用。
第4课时三角形全等的判定(3)
1.三角形全等的“边角边”的条件.
2.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
3.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.
会用“边角边”证明两个三角形全等。
会正确运用“SAS”判定定理,在实践观察中正确选择判定三角形的方法。
我们已经知道三条边对应相等的两个三角形全等,那么除此之外还有没有其它方法可以判定两个三角形全等?
我们来看下面的问题:
如图,AC、BD相交于O,AO、BO、CO、DO的长度如图所标,△ABO和△CDO是否能完全重合呢?
不难看出,这两个三角形有三对元素是相等的:
AO=CO,∠AOB=∠COD,BO=DO.
如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转,因为OA=OC,所以可以使OA与OC重合;
又因为∠AOB=∠COD,OB=OD,所以点B与点D重合.这样△ABO与△CDO就完全重合.
从上面的例子可以引起我们猜想:
如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等.
上述猜想是否正确呢?
不妨按上述条件画图并作如下的实验:
活动1:
画△ABC,∠B=60°
,BC=7cm,AB=5cm,用剪刀剪下来,看一下同桌的两个同学的图形能否完全重合。
引导学生去观察所画的边与角有什么特殊关系
由活动1:
让学生去猜想并归纳出“SAS”定理。
边角边判定定理:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)
活动2:
在△ABC与△A'B'C'中,若AB=A'B'AC=A'C'∠B=∠B',观察△ABC与△A'B'C'是否全等。
(强化类比“SAS”)由学生观察总结出“边角边”不一定能判定两三角形全等。
所以“SAS”定理一定是两边及两边的夹角对应相等才能判定两三个角全等。
【例1】填空:
(1)如图3,已知AD∥BC,AD=CB,要用边角边公理证明△ABC≌△CDA,需要三个条件,这三个条件中,已具有两个条件,一是AD=CB(已知),二是___________;
还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗?
).
(2)如图4,已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,要用边角边公理证明△ABD≌ACE,需要满足的三个条件中,已具有两个条件:
_________________________(这个条件可以证得吗?
【例2】已知:
如图5,AD∥BC,AD=CB.
△ADC≌△CBA.
问题:
如果把图5中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置(如图5),那么要证明△ADF≌△CEB,除了AD∥BC、AD=CB的条件外,还需要一个什么条件(AF=CE或AE=CF)?
怎样证明呢?
【例3】已知:
AB=AC、AD=AE、∠1=∠2(图4).求证:
△ABD≌△ACE.
【探究】
学生讨论,教师归纳
可通过画图来回答这个问题,如图,图中ΔABD与ΔABC满足两边及其中一边的对角对应相等,但显然这两个三角形不全等。
这说明有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。
【练习】课本Р10练习
1.根据边角边公理判定两个三角形全等,要找出两边及夹角对应相等的三个条件.
2.找使结论成立所需条件,要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件,如公共边、公共角等),并要善于运用学过的定义、公理、定理.
P1534
第5课时三角形全等的判定(4)
1.三角形全等的条件:
角边角、角角边.
2.三角形全等条件小结.
3.掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.
4.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.
已知两角一边的三角形全等探究.
灵活运用三角形全等条件证明.
1.复习:
(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?
三个角、三个边、两边一角、两角一边.
(2)到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?
各是什么?
三种:
①定义;
②SSS;
③SAS.
2.在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了三种,今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢?
【问题1】三角形中已知两角一边有几种可能?
1.两角和它们的夹边.
2.两角和其中一角的对边.
【问题2】三角形的两个内角分别是60°
和80°
,它们的夹边为4cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗?
将你画的三角形剪下,与同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么规律?
将所得三角形重叠在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等.
提炼规律:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
【问题3】我们刚才做的三角形是一个特殊三角形,随意画一个三角形ABC,能不能作一个△A′B′C′,使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢?
①先用量角器量出∠A与∠B的度数,再用直尺量出AB的边长.
②画线段A′B′,使A′B′=AB.
③分别以A′、B′为顶点,A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A,使∠D′AB=∠CAB,∠EB′A′=∠CBA.
④射线A′D与B′E交于一点,记为C′
即可得到△A′B′C′.
将△A′B′C′与△ABC重叠,发现两三角形全等.
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
思考:
在一个三角形中两角确定,第三个角一定确定.我们是不是可以不作图,用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢?
【问题4】
如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗?
能利用角边角条件证明你的结论吗?
∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D,∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(ASA).
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
【例1】如下图,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.
AD=AE.
[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中,所以要证AD=AE,只需证明△ADC≌△AEB即可.
在△ADC和△AEB中
所以△ADC≌△AEB(ASA)
所以AD=AE.
【例2】如图,海岸上有A、B两个观测点,点B在点A的正东方,海岛C在观测点A的正北方,海岛D在观测点B的正北方,从观测点A看C,D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C,D的视角∠CBD相等,那么点A到海岛C的距离与点B到海岛D的距离相等,为什么?
∵∠CAD=∠CBD,∠1=∠2∴∠C=∠D。
在△ABC与△BAD∠CAB=∠ABD(已知)∠C=∠D(已证)AB=BA(公共边)∴△ABC≌△BAD(AAS)∴AC=BD即点A到海岛C的距离与点B到海岛D的距离相等
【练习】课本Р13练习
培养学生的逻辑推理能力、独立思考能力,会用“ASA或AAS“判断三角形全等,规范地书写证明过程.培养学生合情合理的逻辑推理能力,语言表达能力,规范地书写证明过程.培养学生的符号感,体会数学知识的严谨性.
五种判定三角形全等的方法:
1.全等三角形的定义
2.判定定理:
边边边(SSS)
边角边(SAS)
角边角(ASA)
角角边(AAS)
推证两三角形全等时,要善于观察,寻求对应相等的条件,从而获得解题途径.
P1556
第6课时三角形全等的判定(5)综合探究
1、理解三角形全等的判定,并会运用它们解决实际问题.
2、经历探索三角形全等的四种判定方法的过程,能进行合情推理.
运用四个判定三角形全等的方法.
正确选择判定三角形全等的方法,充分应用“综合法”进行表达.
一、分层练习回顾反思
1.已知△ABC≌△A′B′C′,且∠A=48°
,∠B=33°
,A′B′=5cm,求∠C′的度数与AB的长.
【评析】表示两个全等三角形时,要把对应顶点的字母写在对应位置上,这时解题就很方便.
2.已知:
如图1,在AB、AC上各取一点E、D,使AE=AD,连接BD、CE相交于点O,连接AO,∠1=∠2.
∠B=∠C.
【思路点拨】要证两个角相等,我们通常用的办法有:
(1)两直线平行,同位角或内错角相等;
(2)全等三角形对应角相等;
(3)等腰三角形两底角相等(待学).
根据本题的图形,应考虑去证明三角形全等,由已知条件,可知AD=AE,∠1=∠2,AO是公共边,叫△ADO≌△AEO,则可得到OD=OE,∠AEO=∠ADO,∠EOA=∠DOA,而要证∠B=∠C可以进一步考查△OBE≌△OCD,而由上可知OE=OD,∠BOE=∠COD(对顶角),∠BEO=∠CDO(等角的补角相等),则可证得△OBF≌△OCD,事实上,得到∠AEO=∠AOD之后,又有∠BOE=∠COD,由外角的关系,可得出∠B=∠C,这样更进一步简化了思路.
【教师点评】在分析一道题目的条件时,尽量把条件分析透,如上题当证明△ADO≌△AEO之后,可以得到OD=OE,∠AEO=∠ADO,∠EOA=∠DOA,这些结论虽然在进一步证明中并不一定都用到,但在分析时对图形中的等量及大小关系有了正确认识,有利于进一步思考.
组织学生练习,请一位学生上台演示.
先独立完成演练1,然后再与同伴交流,踊跃上台演示.
巡视、启发引导,关注“学困生”,请学生上台演示,然后评点.
小组合作交流,共同探讨,然后解答.
分组合作,互相交流.
二、应用迁移能力提升
【例1】如图2,已知∠BAC=∠DAE,∠ABD=∠ACE,BD=CE.求证:
【思路点拨】欲证相等的两条线段AD、AE分别在△ABD和△ACE中,由于BD=CE,∠ABD=∠ACE,因此要证明△ABD≌△ACE,则需证明∠BAD=∠CAE,这由已知条件∠BAC=∠DAE容易得到.
∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中,
∵BD=CE,∠ABD=∠ACE,∠BAD=∠CAE,
∴△ABD≌△ACE(AAS),
∴AD=AE.
【例2】如图4,仪器ABCD可以用来平分一个角,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们落在角的两边上,沿AC画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线,你能说明其中道理吗?
小明的思考过程如下:
→△ABC≌△ADC→∠QRE=∠PRE
你能说出每一步的理由吗?
引导学生思考问题.
分析、寻找证题思路,独立完成例题
P16910
第7课时三角形全等的判定(6)
1、经历探索直角三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程;
2、掌握直角三角形全等的条件,并能运用其解决一些实际问题;
3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
一、课前热身复习旧知
1、判定两个三角形全等的方法:
、、、
2、如图,Rt△ABC中,直角边是、,斜边是。
3、如图,AB⊥BE于C,DE⊥BE于E,
(1)若∠A=∠D,AB=DE,
则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)根据(用简写法)
(2)若∠A=∠D,BC=EF,则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)
根据(用简写法)
(3)若AB=DE,BC=EF,则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)根据(用简写法)
(4)若AB=DE,BC=EF,AC=DF则△ABC与△DEF(填“全等”或“不全等”)根据(用简写法)
【做一做】任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°
,再画一个Rt△A′B′C,′,使B′C′=BC,A′B′=AB,把画好的Rt△A′B′C′剪下,放到Rt△ABC上,它们全等吗?
画一个Rt△A′B′C′,使B′C′=BC,AB=AB;
1、画∠MC′N=90°
。
2、在射线C′M上取B′C′BC。
3、以B′为圆心,AB为半径画弧,交射线C′N于点A′。
连接A′B′。
【学生活动】画图分析,寻找规律.如下:
规律:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).
【想一想】你能够用几种方法说明两个直角三角形全等?
【互动交流】直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般三角形判定全等的方法:
SSS、SAS、ASA、AAS,还有直角三角形特殊的判定方法——HL。
【例1】如课本图11.2─12,AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD,求证BC=AD.
【思路点拨】欲证BC=AD,首先应寻找和这两条线段有关的三角形,这里有△ABD和△BAC,△ADO和△BCO,O为DB、AC的交点,经过条件的分析,△ABD和△BAC具备全等的条件.
∵AC⊥BC,BD⊥BD,
∴∠C与∠D都是直角.
在Rt△ABC和Rt△BAD中,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC=AD.
【评析】在证明两个直角三角形全等时,要防止学生使用“SSA”来证明.
【例2】如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方面的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DEF的大小有什么关系?
下面是三个同学的思考过程,你能明白他们的意思吗?
→△ABC≌△DEF→∠ABC→∠DEF→∠ABC+∠DEF=90°
有一条直角边和斜边对应相等,所以△ABC与△DEF全等.这样∠ABC=∠DEF,也就是∠ABC+∠DEF=90°
在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF,因此这两个三角形是全等的,这样∠ABC=∠DEF,所以∠ABC与∠DEF是互余的.
【练习】课本Р14练习
引导学生共同参与分析例题
参与教师分析,提出自己的见解.
这个问题涉及的推理比较复杂,可以通过全班讨论,共同解决这个问题,但不需要每个学生自己独立说明理由,只要求学生能看懂三位同学的思考过程就可以了.
我们有六种判定三角形全等的方法:
1.全等三角形的定义2.边边边(SSS)
3.边角边(SAS)4.角边角(ASA)
5.角角边(AAS)6.HL(仅用在直角三角形中)
P167813
本节课通过动手操作,在合作交流、比较中共同发现问题,培养直观发现问题的能力,在反思中发现新知,体会解决问题的方法.通过今天的学习和对前面三角形全等条件的探求,可知判定直角三角形全等有五种方法.
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