学年人教版数学七年级下册 第5章 《相交线与平行线》 常考题型训练四文档格式.docx
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②如图3,EG1和EG2为∠BEF内满足∠1=∠2的两条线,分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2.求证:
∠FG1E+∠G2=180°
5.如图,已知AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为D、F,∠2+∠3=180°
,试说明:
∠GDC=∠B.请补充说明过程,并在括号内填上相应的理由.
解:
∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知)
∴∠ADB=∠EFB=90°
( ),
∴EF∥AD( ),
∴ +∠2=180°
( ).
又∵∠2+∠3=180°
(已知),
∴∠1=∠3( ),
∴AB∥ ( ),
∴∠GDC=∠B( ).
6.如图,直线AB、CD相交于O,∠EOC=90°
,OF是∠AOE的角平分线,∠COF=34°
,求∠BOD的度数.
其中一种解题过程如下:
请在括号中注明根据,在横线上补全步骤.
∵∠EOC=90°
∠COF=34°
( )
∴∠EOF= °
∵OF是∠AOE的角平分线
∴∠AOF= =56°
∴∠AOC= °
∵∠AOC+ =90°
∠BOD+∠EOB=90°
∴∠BOD=∠AOC= °
7.如图,已知直线AB和CD相交于点O,∠COE=90°
,OF平分∠AOE.
(1)写出∠BOE的余角;
(2)若∠COF的度数为29°
,求∠BOE的度数.
8.如图,已知,BC∥OA,∠C=∠OAB=100°
,试回答下列问题:
(1)如图1,求证:
OC∥AB;
(2)如图2,点E、F在线段BC上,且满足∠EOB=∠AOB,并且OF平分∠BOC:
①若平行移动AB,当∠BOC=6∠EOF时,求∠ABO;
②若平行移动AB,
那么的值是否随之发生变化?
若变化,试说明理由;
若不变,求出这个比值.
9.如图,直线PQ∥MN,点C是PQ、MN之间(不在直线PQ,MN上)的一个动点,
(1)若∠1与∠2都是锐角,如图甲,请直接写出∠C与∠1,∠2之间的数量关系;
(2)若把一块三角尺(∠A=30°
,∠C=90°
)按如图乙方式放置,点D,E,F是三角尺的边与平行线的交点,若∠AEN=∠A,求∠BDF的度数;
(3)将图乙中的三角尺进行适当转动,如图丙,直角顶点C始终在两条平行线之间,点G在线段CD上,连接EG,且有∠CEG=∠CEM,求
的值.
10.平面内两条直线EF、CD相交于点O,OA⊥OB,OC恰好平分∠AOF.
(1)如图1,若∠AOE=40°
,求∠BOD的度数;
(2)在图1中,若∠AOE=x°
,请求出∠BOD的度数(用含有x的式子表示),并写出∠AOE和∠BOD的数量关系;
(3)如图2,当OA,OB在直线EF的同侧时,∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变?
若不变,请直接写出它们之间的数量关系;
若发生变化,请说明理由.
参考答案
1.解:
(1)AD∥BC,
理由是:
∵∠ADE+∠BCF=180°
,∠ADE+∠ADF=180°
,
∴∠ADF=∠BCF,
∴AD∥BC;
(2)AB∥EF,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠ABE,
∵∠ABC=2∠E,
∴∠ABE=∠E,
∴AB∥EF;
(3)∵AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°
∵BE平分∠ABC,AF平分∠BAD,
∴∠ABE=
ABC,∠BAF=
∠BAD,
∴∠ABE+∠BAF=90°
∴∠AOB=180°
﹣90°
=90°
=∠EOF,
∴∠E+∠F=180°
﹣∠EOF=90°
2.解:
(1)∵AB∥DF,CD∥AM,
∴∠BAM=∠M,∠CDM=∠M,
∴∠BAM=∠CDM;
(2)∵∠AEF+∠MEF=180°
,∠DFE+∠MFE=180°
∴∠AEF+∠MEF+∠DFE+∠MFE=360°
又∴∠MEF+∠MFE=180°
﹣∠M,
∴∠AEF+∠DFE+180°
﹣∠M=360°
即∴∠AEF+∠DFE﹣∠M=180°
∵∠M=∠BAE,
∴∠AEF+∠DFE﹣∠BAE=180°
(3)∵∠DAQ+∠ADQ+∠AQD=180°
,∠AQD=112°
∴∠DAQ+∠ADQ=180°
﹣112°
=68°
∵∠DAQ=
∠ADC,
∴∠BAD+∠ADC=68°
×
3=204°
又∵∠BAD+∠ADC+∠B+∠C=360°
∵∠B+∠C=360°
﹣204°
=156°
∵∠B=∠DFC,
∴∠CDF=180°
﹣156°
=24°
∴∠CDF=∠M=∠BAE=24°
3.证明:
(1)∠D═∠C+∠E(图)∠D═∠C+∠DEC(图2)
过点E作MN∥AC,
∴∠C═∠CEN.
又∵AC∥BD,
∴MN∥BD,
∴∠D═∠DEN
又∵∠DEN═∠DEC+∠CEN,.
∴∠D═∠C+∠DEC
(2)如图所示,AP与CD,CD与BM分别相交于点E、F两点,
∵BM、CM分别平分∠ABD、∠DCP,
∴∠MBD=∠MBA=
∠ABD,∠MCP=∠MCD═
∠PCE.
又∵AB∥CD,
∴∠D+∠DBA=180°
又∵AP∥BD,
∴∠AED+∠D=180°
∵∠DBA=∠AED
又∵∠AED=∠PEC
∴∠CEP=∠DBA
∴∠MBA═
∠CEP.
又∵∠ABF=∠BFD,∠BFD=∠CFM,
∴∠ABF=∠CFM=
∠ABD=
又∵△CEP中,∠P=100°
∴∠PCE+∠PEC=180°
﹣100°
=80°
∴
∠CEP+
∠PCE=
(∠PCE+∠PEC)=
80°
=40°
∴∠MCF+∠MFC=40°
∴∠M=180°
﹣(∠MCF+∠MFC)=180°
﹣40°
=140°
4.
(1)证明:
如图1过点E作EF∥AB,
则有∠BEF=∠B.
∵AB∥CD,
∴EF∥CD.
∴∠FED=∠D.
∴∠BEF+∠FED=∠B+∠D.
即∠BED=∠B+∠D;
(2)①解:
如图2所示,猜想:
∠EGF=90°
;
证明:
由材料中的结论得∠EGF=∠BEG+∠GFD,
∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD,
∴∠BEF=2∠BEG,∠EFD=2∠GFD,
∵BE∥CF,
∴∠BEF+∠EFD=180°
∴2∠BEG+2∠GFD=180°
∴∠BEG+∠GFD=90°
∵∠EGF=∠BEG+∠GFD,
∴∠EGF=90°
②解法一:
如图3,过点G1作G1H∥AB,
∵AB∥CD,∴G1H∥CD,
由结论可得∠G2=∠1+∠3,∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD,
∴∠3=∠G2FD,
∵FG2平分∠EFD,
∴∠4=∠G2FD,
∵∠1=∠2,
∴∠G2=∠2+∠4,
∵∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD,
∴∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD,
∴∠EG1F+∠G2=180°
解法二:
由结论可得∠G2=∠1+∠G2FD
∴∠EFG2=∠G2FD,
∵∠EG1F+∠EG1G2=∠EG1F+∠2+∠EFG2=180°
∴∠EG1G2=∠2+∠EFG2,
∴∠G2=∠EG1G2,
5.解:
(垂直的定义),
∴EF∥AD(同位角相等两直线平行),
∴∠1+∠2=180°
(两直线平行同旁内角互补),
∴∠1=∠3(同角的补角相等),
∴AB∥DG(内错角相等两直线平行),
∴∠GDC=∠B(两直线平行同位角相等).
故答案为:
垂直的定义,同位角相等两直线平行,∠1,两直线平行同旁内角互补,同角的补角相等,DG,内错角相等两直线平行,两直线平行同位角相等.
6.解:
∴∠EOF=56°
∵OF是∠AOE的角平分线,
∴∠AOF=∠EOF=56°
(角平分线的定义),
∴∠AOC=22°
∵∠AOC+∠EOB=90°
∴∠BOD=∠AOC=22°
(同角的余角相等),
已知;
56;
∠EOF;
角平分线的定义;
22;
∠EOB;
同角的余角相等.
7.解:
(1)∵直线AB和CD相交于点O,∠COE=90°
∴∠BOD=∠AOC,∠DOE=90°
∴∠BOE+∠BOD=90°
∴∠BOE+∠AOC=90°
∴∠BOE的余角是∠BOD和∠AOC;
(2)∵∠COF=29°
,∠COE=90°
∴∠EOF=90°
﹣29°
=61°
又OF平分∠AOE,
∴∠AOE=122°
∵∠BOE+∠AOE=180°
∴∠BOE=180°
﹣∠AOE=58°
8.
(1)证明:
∵BC∥OA,
∴∠C+∠COA=180°
,∠BAO+∠ABC=180°
∵∠C=∠BAO=100°
∴∠COA=∠ABC=80°
∴∠COA+∠OAB=180°
∴OC∥AB;
(2)①如图②中,设∠EOF=x,则∠BOC=6x,∠BOF=3x,∠BOE=∠AOB=4x,
∵∠AOB+∠BOC+∠OCB=180°
∴4x+6x+100°
=180°
∴x=8°
∴∠ABO=∠BOC=6x=48°
如图③中,设∠EOF=x,则∠BOC=6x,∠BOF=3x,∠BOE=∠AOB=2x,
∴2x+6x+100°
∴x=10°
∴∠ABO=∠BOC=6x=60°
综上所述,满足条件的∠ABO为48°
或60°
②∵BC∥OA,∠C=100°
∴∠AOC=80°
∵∠EOB=∠AOB,
∴∠COE=80°
﹣2∠AOB,
∵OC∥AB,
∴∠BOC=∠ABO,
∴∠AOB=80°
﹣∠ABO,
﹣2∠AOB=80°
﹣2(80°
﹣∠ABO)=2∠ABO﹣80°
=
=2,
∴平行移动AB,
的值不发生变化.
9.解:
(1)∠C=∠1+∠2.
理由:
如图,过C作CD∥PQ,
∵PQ∥MN,
∴PQ∥CD∥MN,
∴∠1=∠ACD,∠2=∠BCD,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2.
(2)∵∠AEN=∠A=30°
∴∠MEC=30°
由
(1)可得,∠C=∠MEC+∠PDC=90°
∴∠PDC=90°
﹣∠MEC=60°
∴∠BDF=∠PDC=60°
(3)设∠CEG=∠CEM=x,则∠GEN=180°
﹣2x,
由
(1)可得,∠C=∠CEM+∠CDP,
∴∠CDP=90°
﹣∠CEM=90°
﹣x,
∴∠BDF=90°
=2.
10.解:
(1)∵∠AOE=40°
∴∠AOF=180°
﹣∠AOE=140°
∵OC平分∠AOF,
∵OA⊥OB,
∴∠AOB=90°
∴∠BOD=180°
﹣∠AOB﹣∠AOC=20°
(2)∵∠AOE=x°
﹣∠AOE=(180﹣x)°
∴∠AOE=2∠BOD;
(3)不变,∠AOE=2∠BOD.
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