神奇的Gamma函数DOCWord文件下载.docx
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于是很容易证明,
函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓,具有如下性质
学习了Gamma函数之后,多年以来我一直有两个疑问:
∙1.这个长得这么怪异的一个函数,数学家是如何找到的;
∙2.为何定义
函数的时候,不使得这个函数的定义满足
而是
最近翻了一些资料,发现有不少文献资料介绍Gamma函数发现的历史,要说清楚它需要一定的数学推导,这儿只是简要的说一些主线。
1728年,哥德巴赫在考虑数列插值的问题,通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合,例如数列
可以用通项公式
自然的表达,即便
为实数的时候,这个通项公式也是良好定义的。
直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线通过所有的整数点,从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。
一天哥德巴赫开始处理阶乘序列
我们可以计算
是否可以计算
呢?
我们把最初的一些
的点画在坐标轴上,确实可以看到,容易画出一条通过这些点的平滑曲线。
但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题,于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利,由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块,他也因此得知了这个问题。
而欧拉于1729年完美的解决了这个问题,由此导致了
函数的诞生,当时欧拉只有22岁。
事实上首先解决的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利,他发现,
如果
都是正整数,如果
,有
于是用这个无穷乘积的方式可以把的定义延拓到实数集合。
例如,取
足够大,基于上式就可以近似计算出
。
欧拉也偶然的发现
可以用如下的一个无穷乘积表达
用极限形式,这个式子整理后可以写为
左边可以整理为
所以(*)、(**)式都成立。
欧拉开始尝试从一些简单的例子开始做一些计算,看看是否有规律可循,欧拉极其擅长数学的观察与归纳。
当
的时候,带入(*)式计算,整理后可以得到
然而右边正好和著名的Wallis公式关联。
Wallis在1665年使用插值方法计算半圆曲线
下的面积(也就是直径为1的半圆面积)的时候,得到关于的如下结果,
于是,欧拉利用Wallis公式得到了如下一个很漂亮的结果
大数学家欧拉
欧拉和高斯都是具有超凡直觉的数学家,但是欧拉和高斯的风格迥异。
高斯是个老狐狸,数学上非常严谨,发表结果的时候却都把思考的痕迹抹去,只留下漂亮的结果,这招致了一些数学家对高斯的批评;
而欧拉的风格不同,经常通过经验直觉做大胆的猜测,而他的文章中往往留下他如何做数学猜想的痕迹,而文章有的时候论证不够严谨。
拉普拉斯曾说过:
”读读欧拉,他是所有人的老师。
”波利亚在他的名著《数学与猜想》中也对欧拉做数学归纳和猜想的方式推崇备至。
欧拉看到
中居然有
对数学家而言,有
的地方必然有和圆相关的积分。
由此欧拉猜测
一定可以表达为某种积分形式,于是欧拉开始尝试把
表达为积分形式。
虽然Wallis的时代微积分还没有发明出来,Wallis是使用插值的方式做推导计算的,但是Wallis公式的推导过程基本上就是在处理积分
,受Wallis的启发,欧拉开始考虑如下的一般形式的积分
此处n为正整数,
为正实数。
利用分部积分方法,容易得到
重复使用上述迭代公式,最终可以得到
于是欧拉得到如下一个重要的式子
接下来,欧拉使用了一点计算技巧,取
并且令
然后对上式右边计算极限(极限计算的过程此处略去,推导不难,有兴趣的同学看后面的参考文献吧),于是欧拉得到如下简洁漂亮的结果:
欧拉成功的把表达为了积分形式!
如果我们做一个变换
就可以得到我们常见的Gamma函数形式
于是,利用上式把阶乘延拓到实数集上,我们就得到Gamma函数的一般形式
Gamma函数找到了,我们来看看第二个问题,为何Gamma函数被定义为
这看起来挺别扭的。
如果我们稍微修正一下,把Gamma函数定义中的
替换为
这不就可以使得
了嘛。
欧拉最早的Gamma函数定义还真是如上所示,选择了,可是欧拉不知出于什么原因,后续修改了Gamma函数的定义,使得。
而随后勒让德等数学家对Gamma函数的进一步深入研究中,认可了这个定义,于是这个定义就成为了既成事实。
有数学家猜测,一个可能的原因是欧拉研究了如下积分
这个函数现在称为Beta函数。
如果Gamma函数的定义选取满足
那么有
非常漂亮的对称形式。
可是如果选取
的定义,令
则有
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