专题14因式分解章末重难点题型举一反三北师大版解析版Word格式.docx
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【分析】先正确利用因式分解的方法就那些分解因式,再判断即可.
A、(a+2)2﹣(a﹣1)2
=[(a+2)+(a﹣1)][(a+2)﹣(a﹣1)]
=(2a+1)×
3
=3(2a+1),故本选项不符合题意;
B、x2+x+
)2,是分解因式,且结果正确,故本选项符合题意;
C、2x2﹣6x=2x(x﹣3),故本选项不符合题意;
D、x4﹣16
=(x2+4)(x2﹣4)
=(x2+4)(x+2)(x﹣2),故本选项不符合题意;
【点睛】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法,能熟记知识点的内容是解此题的关键,注意:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分解,因式分解的方法有:
提取公因式法,公式法,十字相乘法等.
【变式1-3】
(2019春•新田县期中)下列各式从左到右的变形中,是因式分解的有( )
①25x2﹣4y2=(5x+2y)(5x﹣2y);
②8x2y4﹣12xy2z=4xy2(2xy2﹣3z);
③(x+y)2﹣(x﹣y)2=4xy;
④x3y2﹣x5=x3(y+x)(y﹣x);
⑤﹣(2x﹣3y)2=﹣4x2+12xy﹣9y2.( )
A.①②③⑤B.②③④⑤C.①②③④D.①②③④⑤
【分析】根据因式分解的意义逐个判断即可.
因式分解是把一个多项式化成几个整式积的形式,这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解,
故①②③④符合定义,⑤不符合定义.
【点睛】本题考查了因式分解的意义.掌握因式分解的定义是解决本题的关键.
【考点2公因式的概念】
【方法点拨】把多项式的各项都含有的相同因式,叫做这个多项式的各项的公因式.
【例2】
(2019春•新田县期中)多项式2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn(m,n均为大于1的整数)各项的公因式是( )
A.4xm﹣1yn﹣1B.2xm﹣1yn﹣1C.2xmynD.4xmyn
【分析】直接利用公因式的定义进而得出各项的公因式.
多项式2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn(m,n均为大于1的整数)各项的公因式是:
2xm﹣1yn﹣1.
【点睛】此题主要考查了公因式,正确把握公因式的定义是解题关键.
【变式2-1】
(2019春•灌阳县期中)代数式x﹣2是下列哪一组的公因式( )
A.(x+2)2,(x﹣2)2B.x2﹣2x,4x﹣6
C.3x﹣6,x2﹣2xD.x2﹣4,6x﹣18
【分析】将各选项的公因式找出来即可判断.
A、(x+2)2与(x﹣2)2没有公因式,故本选项不符合题意.
B、x2﹣2x=x(x﹣2),4x﹣6=2(2x﹣3),它们没有公因式,故本选项不符合题意.
C、3x﹣6=3(x﹣2)、x2﹣2x=x(x﹣2),它们的公因式是(x﹣2),故本选项符合题意.
D、x2﹣4=(x+2)(x﹣2),6x﹣18=6(x﹣3),它们没有公因式,故本选项不符合题意.
【点睛】本题考查公因式,解题的关键是找出各式的公因式,本题属于基础题型.
【变式2-2】
(2019秋•乳山市期中)代数式x4﹣81,x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为( )
A.x+3B.(x+3)2C.x﹣3D.x2+9
【分析】首先将各多项式分解因式,再观察3个多项式,都可以运用公式法进一步因式分解.
x4﹣81=(x2+9)(x2﹣9),
=(x2+9)(x+3)(x﹣3);
x2﹣9=(x+3)(x﹣3);
x2﹣6x+9=(x﹣3)2.
因此3个多项式的公因式是x﹣3.
【点睛】本题主要考查了平方差公式,完全平方公式分解因式,先对每个多项式进行因式分解,然后即可找出两个多项式的公因式.
【变式2-3】
(2019秋•安岳县校级期中)在m(a﹣x)(x﹣b)﹣mn(a﹣x)(b﹣x)中,公因式是( )
A.mB.m(a﹣x)
C.m(a﹣x)(b﹣x)D.(a﹣x)(b﹣x)
【分析】首先把式子进行变形,可变为m(a﹣x)(x﹣b)+mn(a﹣x)(x﹣b),进而可得到公因式m(a﹣x)(b﹣x).
m(a﹣x)(x﹣b)﹣mn(a﹣x)(b﹣x),
=m(a﹣x)(x﹣b)+mn(a﹣x)(x﹣b),
=m(a﹣x)(x﹣b)(1+n)
=﹣m(a﹣x)(b﹣x)(1+n),
【点睛】此题主要考查了找公因式的方法,找公因式的要点是:
(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数;
(2)字母取各项都含有的相同字母;
(3)相同字母的指数取次数最低的.
【考点3提公因式法】
【方法点拨】如果一个多项式的各项含有公因式,那末就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法
【例3】
(2019秋•徐汇区校级期中)(x﹣3y)(x﹣
y)﹣(﹣x﹣
y)2
【分析】直接去括号进而合并同类项,再提取公因式分解因式即可.
原式=x2﹣
xy﹣3xy+
y2﹣(x2+xy+
y2),
=x2﹣
y2﹣x2﹣xy﹣
y2,
=﹣
xy+
=﹣y(
x﹣
y).
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.
【变式3-1】
(2019秋•西城区校级期中)因式分解:
2m(a﹣b)﹣3n(b﹣a)
【分析】直接找出公因式(a﹣b),进而提取公因式得出答案.
=2m(a﹣b)+3n(a﹣b)
=(a﹣b)(2m+3n).
【变式3-2】
(2018秋•宁阳县期中)把下列各式分解因式:
(1)2a(x﹣y)﹣6b(y﹣x)
(2)(a2﹣2a+1)﹣b(a﹣1)
(3)2x(y﹣x)+(x+y)(x﹣y)
【分析】根据分解因式的方法﹣提公因式法分解因式即可.
(1)2a(x﹣y)﹣6b(y﹣x)=2(x﹣y)(a+3b);
(2)(a2﹣2a+1)﹣b(a﹣1)=(a﹣1)(a﹣b﹣1);
(3)2x(y﹣x)+(x+y)(x﹣y)=(y﹣x)(2x﹣x﹣y)=﹣(x﹣y)2.
【点睛】本题考查了因式分解﹣提公因式法,熟练掌握分解因式的方法是解题的关键.
【变式3-3】
(2018秋•嘉定区期中)因式分解:
3(x+y)(x﹣y)﹣(x﹣y)2.
【分析】首先找出各项的公公因式,提取公因式后再合并同类项即可得出答案.
原式=(x﹣y)[3(x+y)﹣(x﹣y)](2分),
=(x﹣y)(3x+3y﹣x+y)(3分),
=(x﹣y)(2x+4y)(4分),
=2(x﹣y)(x+2y)(5分).
【点睛】此题主要考查了提取公因式因式分解,找出公因式是解决问题的关键.
【考点4公式法】
【方法点拨】公式法:
(1)a2_b2=(a+b)(a-b)
(2)a2±
2ab+b2=(a±
b)2
【例4】
(2019秋•长宁区期中)因式分解:
16x4﹣1
【分析】原式利用平方差公式分解即可.
原式=(4x2+1)(4x2﹣1)=(4x2+1)(2x+1)(2x﹣1).
【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
【变式4-1】
(2019春•港南区期中)把下列多项式因式分解:
(1)x2﹣9;
(2)4x2﹣3y(4x﹣3y).
【分析】
(1)直接利用平方差公式计算进而得出答案;
(2)直接去括号,进而利用完全平方公式分解因式即可.
(1)x2﹣9=(x+3)(x﹣3);
(2)4x2﹣3y(4x﹣3y)
=4x2﹣12xy+9y2
=(2x﹣3y)2.
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式,正确运用公式是解题关键.
【变式4-2】
(2019春•汨罗市期中)分解因式或计算:
(1)(2m﹣n)2﹣169(m+n)2;
(2)8(x2﹣2y2)﹣x(7x+y)+xy.
(3)40×
3.152+80×
3.15×
1.85+40×
1.852
(1)原式利用平方差公式分解即可;
(2)原式整理后,利用平方差公式分解即可;
(3)原式提取40,再利用完全平方公式分解即可.
(1)原式=[(2m﹣n)+13(m+n)][(2m﹣n)﹣13(m+n)]=﹣3(5m+4n)(11m+14n);
(2)原式=x2﹣16y2=(x+4y)(x﹣4y);
(3)原式=40×
(3.152+2×
1.85+1.852)=40×
(3.15+1.85)2=40×
25=1000.
【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法,以及有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
【变式4-3】
(2018秋•双阳区校级期中)因式分解:
(x2﹣3)2+2(3﹣x2)+1.
【分析】直接利用完全平方公式分解因式进而结合平方差公式分解因式.
(x2﹣3)2+2(3﹣x2)+1
=(x2﹣3)2﹣2(x2﹣3)+1
=(x2﹣3﹣1)2
=(x2﹣4)2
=(x+2)2(x﹣2)2.
【考点5提公因式与公式法综合运用】
【方法点拨】分解因式的一般步骤为:
(1)若有“-”先提取“-”,若多项式各项有公因式,则再提取公因式.
(2)若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
(3)每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
【例5】
(2020春•秦淮区校级期中)因式分解:
(1)a3﹣4ab2;
(2)(x2+x)2﹣(x+1)2.
(1)原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可;
(2)原式利用平方差公式及完全平方公式分解即可.
(1)原式=a(a2﹣4b2)=a(a+2b)(a﹣2b);
(2)原式=(x2+2x+1)(x2﹣1)=(x+1)3(x﹣1).
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
【变式5-1】
(2019春•碑林区校级期中)分解因式:
(1)3a2﹣12ab+12b2;
(2)25(a+b)2﹣9(a﹣b)2.
(1)原式提取公因式3,再利用完全平方公式分解即可;
(2)原式利用平方差公式分解即可.
(1)原式=3(a2﹣4ab+4b2)
=3(a﹣2b)2;
(2)原式=[5(a+b)+3(a﹣b)][5(a+b)﹣3(a﹣b)]
=(8a+2b)(2a+8b)
=4(4a+b)(a+4b).
【变式5-2】
(2018秋•杨浦区期中)因式分解:
(2x﹣3y)2﹣2(2x﹣3y)(4x+y)+(4x+y)2
【分析】原式利用完全平方公式分解即可.
原式=[(2x﹣3y)﹣(4x+y)]2
=(2x﹣3y﹣4x﹣y)2
=(﹣2x﹣4y)2
=4(x+2y)2.
【变式5-3】
(2018秋•天河区校级期中)把下列各式因式分解:
(1)12x4﹣6x3﹣168x2
(2)a5(2﹣3a)+2a3(3a﹣2)2+a(2﹣3a)3
(3)abc(a3+b3+c3+2abc)+(a3b3+b3c3+c3a3)
(1)先提取公因式6x2,然后利用十字相乘法进行因式分解.
(2)先提取公因式a(2﹣3a),然后利用完全平方公式进行因式分解.
(3)将“(a2+bc)”看作一个整体,利用提取公因式法进行因式分解.
(1)原式=6x2(2x2﹣x﹣28)
=6x2(2x+7)(x﹣4);
(2)原式=a5(2﹣3a)+2a3(2﹣3a)2+a(2﹣3a)3
=a(2﹣3a)[a4+2a2(2﹣3a)+(2﹣3a)2]
=a(2﹣3a)(a2+2﹣3a)2
=a(2﹣3a)(a﹣1)2(a﹣2)2;
(3)原式=a4bc+a3(b3+c3)+2a2b2c2+abc(b3+c3)+b3c3
=bc(a4+2a2bc+b2c2)+a(b3+c3)(a2+bc)
=bc(a2+bc)2+a(b3+c3)(a2+bc)
=(a2+bc)[bc(a2+bc)+a(b3+c3)]
=(a2+bc)[(bca2+ab3)+(b2c2+ac3)]
=(a2+bc)[ab(ca+b2)+c2(b2+ac)]
=(a2+bc)(b2+ac)(c2+ab).
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解.注意先提公因式,再利用公式法分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
【考点6分组分解法】
【方法点拨】将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.能分组分解的多项式通常有四项或六项,一般的分组分解有四种形式,即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等.
【例6】
(2018秋•宝山区校级期中)因式分解:
x2﹣4xy+4y2﹣3x+6y+2
【分析】先分组,进而得到(x﹣2y)2﹣3(x﹣2y)+2,再根据十字相乘法进行因式分解即可.
=(x﹣2y)2﹣3(x﹣2y)+2
=(x﹣2y﹣2)(x﹣2y﹣1)
【点睛】本题主要考查了分组分解法的运用,分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解,分组有两个目的,一是分组后能出现公因式,二是分组后能应用公式.
【变式6-1】
(2019春•章丘市校级期中)因式分解
(1)(x4+y4)2﹣4x4y4
(2)x2﹣9y2+4z2+4xz.
(1)先利用平方差公式分解,再利用完全平方公式分解即可解决问题;
(2)分组后利用平方差公式分解即可;
=(x4+2x2y2+y4)(x4﹣2x2y2+y4)
=(x2+y2)2(x2﹣y2)2
=(x2+y2)2(x+y)2(x﹣y)2.
(2)x2﹣9y2+4z2+4xz
=(x+2z)2﹣(3y)2
=(x+3y+2z)(x﹣3y+2z).
【点睛】本题考查因式分解﹣分组分解法,公式法等知识,解题的关键是熟练掌握因式分解的方法,属于中考常考题型.
【变式6-2】
(2019秋•乳山市期中)分解因式:
(1)(x+1)(x﹣
)+
;
(2)x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3.
(1)先去括号,再整理,根据完全平方公式分解因式即可;
(2)变形为(x2﹣2x+1)﹣(y2+4y+4),再根据完全平方公式和平方差公式分解因式即可.
=x2+
+
x+
)2;
(2)x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3
=(x2﹣2x+1)﹣(y2+4y+4)
=(x﹣1)2﹣(y+2)2
=(x﹣1+y+2)(x﹣1﹣y﹣2)
=(x+y+1)(x﹣y﹣3).
【点睛】此题考查了因式分解﹣分组分解法,分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解,分组有两个目的,一是分组后能出现公因式,二是分组后能应用公式.
【变式6-3】
(2019春•重庆校级期中)先阅读下列材料,然后回答后面问题:
将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.能分组分解的多项式通常有四项或六项,一般的分组分解有四种形式,即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等.
如“2+2”分法:
ax+ay+bx+by
=(ax+ay)+(bx+by)
=a(x+y)+b(x+y)
=(x+y)(a+b)
如“3+1”分法:
2xy+y2﹣1+x2
=x2+2xy+y2﹣1
=(x+y)2﹣1
=(x+y+1)(x+y﹣1)
请你仿照以上方法,探索并解决下列问题:
(1)分解因式:
x2﹣y2﹣x﹣y;
(2)分解因式:
45am2﹣20ax2+20axy﹣5ay2;
(3)分解因式:
4a2+4a﹣4a2b﹣b﹣4ab+1.
(1)首先利用平方差公式因式分解因式,进而提取公因式得出即可;
(2)将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可;
(3)重新分组利用完全平方公式分解因式得出即可.
(1)x2﹣y2﹣x﹣y
=(x+y)(x﹣y)﹣(x+y)
=(x+y)(x﹣y﹣1);
(2)45am2﹣20ax2+20axy﹣5ay2
=45am2﹣5a(4x2﹣4xy+y2)
=5a[9m2﹣(2x﹣y)2]
=5a(3m﹣2x+y)(3m+2x﹣y);
(3)4a2+4a﹣4a2b﹣b﹣4ab+1
=(4a2+4a+1)﹣b(4a2+4a+1)
=(2a+1)2(1﹣b).
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及分组分解法分解因式,正确分组得出是解题关键.
【考点7十字相乘法】
【例7】
(2019秋•青浦区校级期中)用双十字相乘法分解因式:
例:
20x2+9xy﹣18y2﹣18x+33y﹣14.
∵4×
6+5×
(﹣3)=9,4×
(﹣7)+5×
2=﹣18,﹣3×
(﹣7)+2×
6=33,
∴20x2+9xy﹣18y2﹣18x+33y﹣14=(4x﹣3y+2)(5x+6y﹣7).
双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法,在使用双十字相乘法时,应注意它带有试验性质,很可能需要经过多次试验才能得到正确答案.分解因式6x2﹣5xy﹣6y2﹣2xz﹣23yz﹣20z2= (3x+2y+5z)(2x﹣3y﹣4z) .
【分析】根据因式分解﹣双十字相乘法分解因式即可.
6x2﹣5xy﹣6y2+2xz﹣23yz﹣20z2;
∴6x2﹣5xy﹣6y2+2xz﹣23yz﹣20z2=(3x+2y+5z)(2x﹣3y﹣4z),
故答案为:
(3x+2y+5z)(2x﹣3y﹣4z).
【点睛】此题考查了因式分解﹣双十字相乘法,主要考查了二元二次多项式的分解因式的方法,解本题的关键是选好那个字母当做常数对待,再用十字相乘法分解.
【变式7-1】
(2019秋•九龙坡区校级期中)阅读下列村料:
由整式的乘法运算知:
(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.由于我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形,利用这种关系可得acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d).通过观察可知可把acx2+(ad+bc)x+bd中的x看作是未知数,a,b,c,d看作常数的二次三项式;
通过观察acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d),可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数,此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图1,此分解过程可形象地表述为“坚乘得首、尾,叉乘凑中项,这种分解的方法称为十字相乘法.如:
将二次三项式2x2+7x+3的二项式系数2与常数项3分别进行适当的分解,如图2.
则2x2+7x+3=(x+3)(2x+1).
根据阅读材料解决下列问题:
(1)用十字相乘法因式分解:
4x2+9x﹣13;
(2)用十字相乘法因式分解:
2(2a2+1)2﹣3(2a2+1)﹣9;
(3)已知x2﹣2x﹣n=(x+a)(x+b)(1≤n≤200),若a、b均为整数,则满足条件的整数n有几个?
并说明理由.
(1)仿照阅读材料中的方法将原式分解即可;
(2)原式利用十字相乘法分解即可;
(3)把两个因式相乘,根据题意写出n的值即可.
(1)4x2+9x﹣13=(x﹣1)(4x+13);
(2)2(2a2+1)2﹣3(2a2+1)﹣9=[2(2a2+1)+3][(2a2+1)﹣3]=(4a2+5)(2a2﹣2)=2(4a2+5)(a+1)(a﹣1);
(3)∵(x+a)(x+b)=x2﹣2x﹣n,
∴x2+(a+b)x+ab=x2﹣2x﹣n,
∴a+b=﹣2,ab=﹣n,
∴a=﹣2﹣b,
∴b(﹣2﹣b)=﹣n,
∴b2+2b﹣n=0,
∴b=
=﹣1±
,
∵a、b均为整数,
∴
为整数,
∴n=3,8,15,24,35,48,63,80,99,120,143,168,195共13个.
【点睛】此题考查了因式分解﹣十字相乘法,弄清题中十字相乘的方法是解本题的关键.
【变式7-2】
(2019秋•巴东县期末)x2+(p+q)x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式,如何将这种类型的式子因式分解呢?
因为(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,所以,根据因式分解是与整式乘法方向相反的变形,利用这种关系可得:
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
如:
x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×
2=(x+1)(x+2)
上述过程还可以形象的用十字相乘的形式表示:
先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;
再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;
然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项的系数,如图.
这样,我们可以得到:
x2+3x+2=(x+1)(x+
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