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线速度也是矢量.圆周上某一点线速度的方向,就在该点的切线方向
上.由匀速圆周运动的定义可知,匀速圆周运动线速度的大小是不变的,但
它的方向时刻改变,所以匀速圆周运动并不是匀速运动而是变速运动。
(2)角速度也可反映匀速圆周运动的快慢.角速度是用半径转过的角
度φ与所用时间t的比值来定义的,即:
ω=φ/t(这里的角度只能以弧度为单
位).
角速度大,表示在单位时间内半径转过的角度大,运动得也就快.在
某一确定的匀速圆周运动中,角速度是恒定不变的.角速度的单位是rad/
s.
(3)周期也可描述匀速圆周运动的快慢.做匀速圆周运动物体运动一
周所需的时间叫周期.周期的符号是T,单位是s。
周期长,表示运动得慢;
周期短,表示运动得快.
(4)有时也用转数n来表示匀速圆周运动的快慢.转数就是每秒钟转
过的圈数,它的单位是转/秒.ω=2πn.
设质点沿圆周运动了一周,我们可根据这些物理量的定义式推导出它
们之间有如下关系:
v=2πr/T,ω=2π/T,v=ωr,T=1/f,T=1/n
3、向心加速度、向心力
向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量,产生向心加速度的
力叫向心力。
向心力和向心加速度都时刻在改变(圆周运动一定是非匀变速
运动)。
ω相同时,a与r成正比;
v相同时,a与r成反比;
r相同时,a与ω2
成正比,与v2成反比。
[例]机械手表中的分针与秒针可视为匀速转动,分针与秒针从重合至
第二次重合,中间经历的时间为:
A.1minB.minC.D.min
[解答]分针的角速度rad/s
秒针的角速度rad/s
设经时间t两针第二次重合,则ω2t-ω2t=2π
得:
∴选答案C
(1)匀速圆周运动既然是变速运动,那幺做匀速圆周运动的物体必然
有加速度.我们已经知道,与速度同向的加速度能使速度增大,与速度反向
的加速度能使速度减小.但匀速圆周运动的速率既不增大也不减小,这说明
它不具有与速度同向或反向的加速度,这个加速度也就只能时刻与速度相垂
直,它所起的作用也仅是改变线速度的方向.与线速度相垂直也必与圆周切
线相垂直,也必过圆心。
所以,匀速圆周运动的加速度又被称为向心加速
度,因为它的方向始终指向圆心.向心加速度也是矢量。
因为v、ω的大小均不变,所以向心加速度的大小也就不变,但由于
a的方向始终垂直于速度在旋转变化,所以向心加速度不是恒量而是变
量.匀速圆周运动不是匀加速运动而是变加速运动.
(2)向心力只改变速度的方向,不改变速度的大小。
(向心力永远不做
功)
显然,向心力的大小也是不变的,但其方向同样也与向心加速度的方
向一样指向圆心且不断旋转变化着.所以向心力是变力,而不是恒力.
向心力这个名称是根据力的效果命名的,它是物体受的某一个力或某
几个力的合力产生的一种效果.并不是说做圆周运动的物体又受到了另外一
个新的特殊的力.
在匀速圆周运动中,向心力是由物体受到的合外力来担任的.也就是
说,做匀速圆周运动的物体所受到的合外力的大小是不变的,方向始终与鸿
度墨直并指向圆心.它只能改变速度的方向,不能改变速度的大小.求解匀
速圆周运动的动力学基础仍是牛顿第二定律,这就提醒我们在处理匀速圆周
运动问题时,同样也离不开分析物体的受力.
4、万有引力定律
万有引力定律是牛顿在研究天体运动规律的过程中发现的,它是自然
科学最伟大的成果之一,宇宙间一切物体都是相互吸引的.任何两个物体间
引力的大小跟它们质量的乘积成正比,跟它们距离的平方成反比.这就是万
有引力定律,用公式来表示为:
F=Gm1m2/r2
式中G为引力常量,G的单位从上述公式中可推导出是N·
m2/kg2,
G的数值为6.67×
10-11.这个数值等于两个质量1kg的物体相距1m时相互
之间万有引力的牛顿数.它最初是由卡文迪许用石英扭秆测定的.
普通两个物体之间的万有引力是微不足道的,我们一般不予考虑.但
在天体系统中,由于天体质量很大,所以它们之间的万有引力十分强大,天
体之间的万有引力是这些天体做什幺运动、怎样运动的直接的、决定性的因
素.月亮绕地球运转,地球绕太阳公转,月亮、地球在运动过程中所需要的
向心力就是由万有引力来提供的。
[练习一]
(1)以下说法是否正确
*因为(n为转数),所以角速度与转数成正比.
*向心加速度描述的是线速度方向变化的快慢
*向心加速度描述的是质点在圆周运动中,向心力变化的快慢
(2)如图所示,为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径
变化的图像.其中A为双曲线的一个分支.由图可知:
A.A物体运动的线速度大小不变B.A物体运动的角速度大小
不变
C.B物体运动的角速度大小不变D.B物体运动的线速度大小
答案:
AC
(3)如图所示,物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B,这时突
然使它所受力反向,大小不变,即由F变为-F,关于此后物体的运动情况,
下列说法正确的是:
A.物体不可能沿曲线Ba运动;
B.物体不可能沿直线Bb运
动;
C.物体不可能沿曲线Bc运动;
D.物体不可能沿原曲线B返
回A。
(4)物体运动的速度方向、加速度方向与作用在物体上合外力方向的
关系是:
A.速度方向、加速度方向、合力方向三者总是相同的;
B.速度方向可与加速度方向成任何夹角,但加速度方向总是与合力
方向相同;
C.速度方向总是和合外力方向相同,加速度方向可能和合外力相
同,也可能不同;
D.速度方向与加速度方向或合外力方向可以成任意夹角.
(5)如图所示,在匀强电场内将一质量为m、电量为q的摆球拉至与
悬点O同一水平面处,由静止释放,则在开始的一小段时间内摆球将作:
A.匀速直线运动;
B.匀加速直线运动;
C.匀减速直线运动;
D.变速圆周运动.
二、向心力应用问题
1、向心力的来源
向心力是合外力在指向圆心方向的分力,它不是某种性质力的名称,
而是根据力的作用效果来命名的。
向心力可以由某一个力提供,也可以由几
个力的合力提供,还可以由某一个力的分力提供。
如果合外力始终指向圆心且大小不变,则物体作匀速圆周运动。
2、向心力公式的应用
应用方法:
*以指向圆心方向为正方向。
*将物体所受到的各个外力分解到指向圆心方向。
*求出指向圆心的各个分力的合力,即为向心力。
*据牛顿第二定律列方程F向=ma向
[例]在高速公路的拐弯处,路面造得外高内低,即当车向右拐弯时,
司机左侧的路面比右侧要高一些,路面与水平面间的夹角为θ。
设拐弯路段
是半径为R的圆弧,要使车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力
等于零,车速v应多大?
[解答]如图所示,为汽车在水平面内做匀速圆周运动的受力情况。
重
力与路面的弹力的合力提供向心力,由平行四边形定则及牛顿第二定律得:
F合/G=tgθF合=mv2/R∴
[练习二]
(1)关于向心力,下列说法中正确的是:
A.物体受到向心力作用才可能做圆周运动
B.向心力是指向圆心方向的合力,是根据力的作用效果来命名的
C.向心力可能是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力,也可能是其
中某一种力或某一种力的分力
D.向心力只改变物体运动的方向,不可能改变物体运动的快慢
(2)放置在地面上的物体,由于地球自转
A.都具有向心加速度
B.向心加速度大小随纬度增加而减小
C.向心加速度方向都指向地球中心
D.产生此向心加速度的力都是由地球对物体的引力提供的
[解答]物体做匀速圆周运动,随着纬度的增加,半径减小,由a=ω2R
可知,a减小,向心力由引力与地球的弹力的合力提供,答案:
AB。
(3)如图所示,小球用长为L的细绳悬于O点,使之在竖直平面内
做圆周运动,小球通过最低点时速率为v,则小球在最低点时细绳的张力大
小为____。
(小球质量为m)
(4)如图,质量为m的滑块滑到弧形底端时速率为v,已知圆弧形轨
道的半径为R,则滑块在圆弧形轨道最低点时对轨道的压力大小为___
_。
(5)如图示,质量为m的小球用细绳悬于O点,绳长为L,在竖直
平面内做圆周运动,到达最高点时速度为v,则此时绳子的张力为___.
三、求解匀速圆周运动的思路和步骤
匀速圆周运动的求解应在动力学问题的框架范围内.它的核心仍是
ΣF=ma.
(1)确定研究对象,分析其受力仍是解题的首要和关键的步骤.
(2)以指向圆心的方向为正方向,来确定各个力的正、负号。
建立起牛
顿第二定律的方程,并结合运用a=v2/R=ω2R等有关知识求解.
[例]如图所示,有一质量为m的小球P与穿过光滑水平板上小孔O的
轻绳相连,用手捡着绳子另一端,使P在水平板内绕O作半径为a角速度为
ω的匀速圆周运动.求:
(1)此时拉绳的力多大;
(2)若将绳子从此状态迅速放
松,后又拉直,使P绕O作半径为b的匀速圆周运动.从放松到拉直这段过
程经过了多长时间?
(3)P作半径为b的匀速圆周运动时,绳子拉力又为多大?
[解答]
(1)手拉绳子力的大小与绳拉球作匀速圆周运动向心力的大小
是相等的,故有F=mω2a
(2)松手后,绳子拉力消失.小球将从刚松手的位置,沿圆周的切线方
向,在光滑的水平面上作匀速直线运动.当绳在水平板上长为b时,绳又被
拉紧.在这一段匀速直线运动的过程中,球运动的距离为(如图b所示),故
t=s/v=/(aω)
(3)将刚拉紧绳时球的速度aω1分解为沿绳分量和垂直于绳分量。
在绳
被拉紧的短暂过程中,球损失了沿线的分速度,保留着垂直于绳的分速度作
匀速圆周运动.被保留的速度的大小为:
v'=va/b=a2ω/b
所以绳子后来的拉力F'为:
F'=mv'2/R'=mω2a4/b
3
四、竖直面上圆周运动
最高点:
恰能通过最高点的临界速度
最低点:
最大速度、最大拉(压)力
联系最高点和最低点:
机械能守恒定律
[例]如图,轻杆长L,质量可忽略不计,杆的一端连接着一质量为m
的小球,另一端装在固定转轴上.设小球在竖直平面内作圆周运动.
(1)当它
在圆周的最低点,速率为v时,求其对杆作用力的大小和方向;
(2)当它在圆
周最高点,速率为v时,求其对杆作用力的大小和方向.
[解答]小球在竖直平面内作的圆周运动并不是匀速圆周运动。
但在最
低点和最高点这两个特殊位置,我们仍可用求解匀速圆周运动的方法和公式
求解,因为在这两个位置。
小球受的外力都在圆周半径方向上,它们的合力
就是向心力.
在最低点:
此位置杆对球作用力N的方向只可能向上,并且N>m
g,故有:
N-mg=mv2/R,N=mg+mv2/L.
在最高点:
此位置杆对球作用力的方向尚不能确定,我们可暂时假设
N与mg同向,即杆对球有向下拉力作用.则有mg+N=mv2/L,N=m
v2/L-mg
如果N确与mg同向,方向指向圆心,则N>0,即
mv2/L-mg>0,
若,则由N的表达式可得N=0,即此时杆对球无作用力,重力唯一地
起着向心力的作用;
若,可得N<0,则说明杆对球有向上托力作用,这个力的方向与正方
向相反,背离圆心.
根据上述分析,我们可以得到这样的结论:
在最低点,不管小球以多
大的速度运动,杆对球的拉力都是向上的.但在最高点,杆对球作用力的大
小和方向取决于v的大小.是一个临界值.当时,因速度大,所需的向心力
就大,mg不能满足向心力的需要,需要杆向下的拉力来补充;
当时,因速
度小,所需的向心力也小,mg超过了向心力的需要,故杆产生了向上的托
力来抵消mg的一部分作用;
若,这说明重力mg恰能满足向心力的需要,
故此时杆对球没有作用力.
如果此题小球不是固定在轻杆的下端,而是系在细线下端,让它在竖
直平面内做圆周运动.则小球能运动到圆周最高点的最小速度应为,若,如
前所述,重力己超过了向心力的需要,而细绳在最高点又不可能象轻杆那样
对球有向上的托力,所以此时小球不可能到达圆周最高点,它到达最高点前
就已离开圆周了。
五、万有引力定律
这里列出的五个式子中,左边两个代表万有引力(重力),它们是天体
运动向心力的来源;
右边三个式子代表向心力;
依据万有引力(重力)作为
天体运动的向心力的思路,可按照题设已知条件和未知量在此五式中选择两
个组成方程,通过求解方程得到所需要的结果。
式中r为轨道半径,r=R+h;
g’为高度为h的轨道上的重力加速度,
[例]求第一宇宙速度,
(1)已知M、R;
(2)已知g、R
[解答]由,得
(1)
由,可得
(2)
将
(1)、
(2)两式中的R都用地球半径、M用地球质量、g用地面附近重
力加速度数值9.8m/s2代入,均可得到第一宇宙速度v1=7.9×
103m/s.
[例]试证明天空中任何天体表面附近卫星的运动周期与该天体密度的
平方根成反比。
[解答]由和,解得:
六、天体和卫星的运动
我们把月亮绕地球的运转、地球绕太阳的公转以及人造地球卫星的运
动都近似地处理成匀速圆周运动的问题.研究这一类问题的基础是万有引力
定律、牛顿第二定律以及有关匀速圆周运动线速度、角速度、周期以及向心
加速度的一些公式.天体、卫星所需要的向心力就是它们受到的万有引力.
1、三个宇宙速度
第一宇宙速度(环绕速度)是人造地球卫星在地面附近环绕地球运转的
必须具有的速度,第一宇宙速度v1=7.9×
第二宇宙速度(脱离速度)是卫星挣脱地球引力束缚,成为绕太阳运转
行星的最小速度.v2=11.2×
103m/s.
第三宇宙速度(逃逸速度)是卫星挣脱太阳的束缚,飞出太阳系运动的
最小速度.V3=16.7×
2、在不同轨道上运动的卫星的讨论
以第一宇宙速度运动的卫星是沿地面附近运行的,其轨道半径被认为
是地球半径.还有许多卫星(如气象卫星、通讯卫星等)在地面上方很高处运
行,其轨道半径远比地球半径大,这些卫星的有关物理量如何随轨道半径的
变化而变化呢?
我们可根据万有引力定律和牛顿运动定律加以讨论.
(1)卫星的运行速度:
由,可得.
上式的r是卫星的轨道半径,它应等于地球半径R与卫星离地面的高
度h之和.从此式可看出,由于引力常量G和地球质量M一定,所以卫星
离地面越远,轨道半径越大,其运行的速度就越小.需要说明的是,这里的
速度是卫星在远轨道上的运行速度,不是从地面把卫星送上天的发射速
度.实际上把卫星发送到较远的轨道上,耗费的能量要大,从地面发射的速
度也要大.
(2)卫星运行的角速度:
由,可得,
由此式可看出,卫星离地越远,r越大,ω就越小.
(3)卫星运行的周期:
,,
同样可以看出,r越大,T就越大.若卫星的周期与地球自转周期T0
相同,则此卫星叫同步卫星.同步卫星的轨道平面应与赤道平面重合.其离
地面高度由
,可求得:
(4)卫星的加速度:
卫星的加速度是由地球的万有引力产生的,它就是卫星做匀速圆周运
动的向心加速度.a=F万/m=GM/R2
(1)
卫星的加速度与地面上物体的重力加速度本质上是一致的,它们都是
由地球万有引力产生的.不过卫星的重力加速度g'的数值远比地面附近的
重力加速度g(9.8m/s2)的数值小.由平方反比关系可得:
(2)
(1)、
(2)两式中的加速度是同一个加速度.所不同的仅是考虑问题的角
度不同罢了。
(5)完全失重和卫星的重量
当卫星在轨道上运行时,舱内的宇航员及其它物体都处于完全失重状
态.这里所指的完全失重状态并非指人和物体不受地球引力作用,仅是反映
了人和物对支持物(地板)没有压力,用测力计去称他们的重力,读数为零。
毫无疑问,人和物仍要受到地球万有引力(重力)的作用.不过比其在地面附
近所受的重力要小.
3、双星的运动
两颗离得较近的天体称为双星.双星都是以它们连线上的某点为公共
圆心,以相同的角速度做匀速圆周运动.这时万有引力作为向心力起着只改
变它们的速度方向,不改变速度大小的作用.也只有这样,它们才能处于稳
定的状态,不至于因巨大的吸引作用而导致碰撞、毁灭.
求解双星问题有两点值得注意:
①它们做匀速圆周运动的向心力是相
等的;
②它们运行的周期是相同的.因为只有周期相同,它们之间的距离才
可能保持不变.它们才可能稳定运行的状态之中.
[例]质量分别为m1和m2、相距为L的双星,绕其连线上的O点匀速
旋转.求它们各自的轨道半径和周期.
[解答]由万有引力定律和牛顿第二定律可得:
对m1:
(1)
对m2:
(2)
将
(1)、
(2)化简后再相除,便可得:
再将R1数值代人
(1)可得:
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- 物理 复习 专题讲座 圆周运动
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