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这些情况使人们认为,人类智力活动中未受到数学的影响而大为改观的领域已寥寥无几了。

有不少自然科学家、特别是理论物理学家都曾明确地强调了数学的语言功能。

例如,着名物理学家玻尔（N.H.D.Bohr）就曾指出“:

数学不应该被看成是以经验的积累为基础的一种特殊的知识分支,而应该被看成是普通语言的一种精确化,这种精确化给普通语言补充了适当的工具来表示一些关系,对这些关系来说普通字句是不精确的或过于纠缠的。

严格说来,量子力学和量子电动力学的数学形式系统,只不过给推导关于观测的预期结果提供了计算法则。

”狄拉克（P.A.M.Dirac）也曾写道:

“数学是特别适合于处理任何种类的抽象概念的工具,在这个领域内,它的力量是没有限制的。

正因为这个缘故,关于新物理学的书如果不是纯粹描述实验工作的,就必须基本上是数学性的。

”另外,爱因斯坦（A.Einstein）则更通过与艺术语言的比较专门论述了数学的语言性质,他写道:

“人们总想以最适当的方式来画出一幅简化的和易领悟的世界图像;

于是他就试图用他的这种世界体系来代替经验的世界,并来征服它。

这就是画家、诗人、思辨哲学家和自然科学家所做的,他们都按照自己的方式去做。

理论物理学家的世界图象在所有这些可能的图象中占有什么地位呢?

它在描述各种关系时要求尽可能达到最高标准的严格精确性,这样的标准只有用数学语言才能做到。

一般地说,就像对客观世界量的规律性的认识一样,人们对于其他各种自然规律的认识也并非是一种直接的、简单的反映,而是包括了一个在思想中“重新构造”相应研究对象的过程,以及由内在的思维构造向外部的“独立存在”的转化（在爱因斯坦看来,“构造性”和“思辨性”正是科学思想的本质的思想）;

就现代的理论研究而言,这种相对独立的“研究对象”的构造则又往往是借助于数学语言得以完成的（数学与一般自然科学的认识活动的区别之一就

在于:

数学对象是一种“逻辑结构”,一般的“科学对象”则可以说是一种“数学建构”）,显然,这也就更为清楚地表明了数学的语言性质。

数学作为一种科学语言,还表现在它能以其特有的语言（概念、公式、法则、定理、方程、模型、理论等）对科学真理进行精确和简洁的表述。

如着名物理学家、数学家麦克斯韦（J.C.Maxwell）的麦克斯韦方程组,预见了电磁波的存在,推断出电磁波速度等于光速,并断言光就是一种电磁波。

这样,麦克斯韦创立了系统的电磁理论,把光、电、磁统一起来,实现了物理学上重大的理论结合和飞跃。

还有黎曼（Riemann）几何和不变量理论为爱因斯坦发现相对论提供了绝妙的描述工具。

而边界值数学理论使本世纪二三十年代的远距离原子示波器的制成变为现实。

矩阵理论为本世纪20年代海森堡（W.K.Heisenberg）和狄拉克引起的物理学革命奠定了基础。

随着社会的数学化程度日益提高,数学语言已成为人类社会中交流和贮存信息的重要手段。

如果说,从前在人们的社会生活中,在商业交往中,运用初等数学就够了,而高等数学一般被认为是科学研究人员所使用的一种高深的科学语言,那么在今天的社会生活中,只懂得初等数学就会感到远远不够用了。

事实上,高等数学（如微积分、线性代数）的一些概念、语言正在越来越多地渗透到现代社会生活各个方面的各种信息系统中,而现代数学的一些新的概念（如算子、泛函、拓扑、张量、流形等）则开始大量涌现在科学技术文献中,日渐发展成为现代的科学语言。

数学是任何人分析问题和解决问题的思想工具。

这是因为:

首先,数学具有运用抽象思维去把握实在的能力。

数学概念是以极度抽象的形式出现的。

在现代数学中,集合、结构等概念,作为数学的研究对象,它们本身确是一种思想的创造物。

与此同时,数学的研究方法也是抽象的,这就是说数学命题的真理性不能建立在经验之上,而必须依赖于演绎证明。

数学家像是生活在一个抽象的数学王国中,然而他们在数学王国的种种发现,即数学结构内部和各种结构之间的规律性的东西,最终还是现实的摹写。

而数学应用于实际问题的研究,其关键还在于能建立一个较好的数学模型。

建立数学模型的过程,是一个科学抽象的过程,即善于把问题中的次要因素、次要关系、次要过程先撇在一边,抽出主要因素、主要关系、主要过程,经过一个合理的简化步骤,找出所要研究的问题与某种数学结构的对应关系,使这个实际问题转化为数学问题。

在一个较好的数学模型上展开数学的推导和计算,以形成对问题的认识、判断和预测。

这就是运用抽象思维去把握现实的力量所在。

其次,数学赋予科学知识以逻辑的严密性和结论的可靠性,是使认识从感性阶段发展到理性阶段,并使理性认识进一步深化的重要手段。

在数学中,每一个公式、定理都要严格地从逻辑上加以证明以后才能够确立。

数学的推理步骤严格地遵守形式逻辑法则,以保证从前提到结论的推导过程中,每一个步骤都在逻辑上准确无误。

所以运用数学方法从已知的关系推求未知的关系时,所得结论有逻辑上的确定性和可靠性。

数学的逻辑严密性还表现在它的公理化方法上。

以理性认识的初级水平发展到更高级的水平,表现在一个理论系统还需要发展到抽象程度更高的公理化系统,通过数学公理化方法,找出最基本的概念、命题,作为逻辑的出发点,运用演绎理论论证各种派生的命题。

牛顿所建立的力学系统则可看成自然科学中成功应用公理化方法的典型例子。

第三,数学也是辩证的辅助工具和表现方式。

这是恩格斯（F.Engels）对数学的认识功能的一个重要论断。

在数学中充满着辩证法,而且有自己特殊的表现方式,即用特殊的符号语言,简明的数学公式,明确地表达出各种辩证的关系和转化。

如牛顿（I.Newton）—莱布尼兹（G.W.Leibniz）公式描述了微分和积分两种运算之间的联系和相互转化,概率论和数理统计表现了事物的必然性与偶然性的内在关系等等。

最后,值得指出的是,数学还是思维的体操。

这种思维操练,确实能够增强思维本领,提高科学抽象能力、逻辑推理能力和辩证思维能力。

数学是研究量的科学。

它研究客观对象量的变化、关系等,并在提炼量的规律性的基础上形成各种有关量的推导和演算的方法。

数学的思想方法体现着它作为一般方法论的特征和性质,是物质世界质与量的统一、内容与形式的统一的最有效的表现方式。

这些表现方式主要有:

提供数量分析和计算工具;

提供推理工具;

建立数学模型。

任何一种数学方法的具体运用,首先必须将研究对象数量化,进行数量分析、测量和计算。

毛泽东同志曾指出:

“对情况和问题一定要注意到它们的数量方面,要有基本的数量的分析。

任何质量都表现为一定的数量,没有数量也就没有质量。

”例如太阳系第八大行星——海王星的发现,就是由亚当斯（J.C.Adams）和勒维烈（U.J.Leverrier）运用万有引力定律,通过复杂的数量分析和计算,在尚未观察到海王星的情况下推理并预见其存在的。

数学作为推理工具的作用是巨大的。

特别是对由于技术条件限制暂时难以观测的感性经验以外的客观世界,推理更有其独到的功效,例如正电子的预言,就是由英国理论物理学家狄拉克根据逻辑推理而得出的。

后来由宇宙射线观测实验证实了这一论断。

值得指出的是,数学模型方法作为对某种事物或现象中所包含的数量关系和空间形式所进行的数学概括、描述和抽象的基本方法,已经成为应用数学最本质的思想方法之一。

模型这一概念在数学上已变得如此重要,以致于许多数学家都把数学看成是“关于模型的科学”。

怀特海（A.N.Whitehead）认为“模式具有重要性的看法和文明一样古老社会组织的结合力也:

依赖于行为模式的保持;

文明的进步也侥幸地依赖于这些行为模式的变更。

”并进一步指出:

“数学对于理解模式和分析模式之间的关系,是最强有力的技术。

”物理学家博尔茨曼（L.E.Boltzmann）认为:

“模型,无论是物理的还是数学的,无论是几何的还是统计的,已经成为科学以思维能力理解客体和用语言描述客体的工具。

”这一观点目前不仅流行于自然科学界,还遍布于社会科学界。

为自然界和人类社会的各种现象或事物建立模型,是把握并预测自然界与人类社会变化与发展规律的必然趋势。

在欧洲,在人文科学和社会科学中称为结构主义的运动,雄辩地论证了所有各种范围的人类行为与意识都有形式的数学结构为基础。

在美国,社会科学自夸有更坚实、定量的东西,这通常也是用数学模型来表示的。

从模型的观点看,数学已经突破了量的确定性这一较狭义的范畴而获得了更广泛的意义。

既然数学的研究对象已经不再局限于“量”而扩展为更广义的“模型”,那么,数学概念的本质也在发生嬗变。

数学正成为一个动态的、变化的、泛化了的概念体系,其涵盖的科学对象也必然随之增加。

数学在社会科学中的模型建构大都以结构分析为目标,即在高度简化与理想化的框架中去理解社会行为机制。

在某些框架下,利用科学去预测与控制一个社会系统的一切变量的更高层次的目标已经实现。

数学的模型方法把数学的思想方法功能转化成科学研究的实际力量。

数学中有一个分支叫应用数学,主要就是研究如何从实际问题中提炼数学模型。

这是一个对研究对象进行具体分析、科学抽象和做出判断与预见的过程。

如对客观事物的必然现象,人们用确定性模型去描述,而对或然现象,人们建立了随机性模型。

模糊数学被用于刻画弗晰现象。

而各种突变现象,如地震、洪灾等,则可以由突变理论给出数学模型。

通常人们认为,艺术与数学是人类所创造的风格与本质都迥然不同的两类文化产品。

两者一个处于高度理性化的巅峰,另一个居于情感世界的中心;

一个是科学（自然科学）的典范,另一个是美学构筑的杰作。

然而,在种种表面无关甚至完全不同的现象背后,隐匿着艺术与数学极其丰富的普遍意义。

数学与艺术确实有许多相通和共同之处,例如数学和艺术,特别是音乐中的五线谱,绘画中的线条结构等,都是用抽象的符号语言来表达内容。

难怪有人说,数学是理性的音乐,音乐是感性的数学。

事实上,由于数学（特别是现代数学）的研究对象在很大程度上可以被看成“思维的自由想象和创造”,因此,美学的因素在数学的研究中占有特别重要的地位,以致在一定程度上数学可被看成一种艺术。

对此,我们还可做出如下进一步的分析。

艺术与数学都是描绘世界图式的有力工具。

艺术与数学作为人类文明发展的产物,是人类认识世界的一种有力手段。

在艺术创造与数学创造中凝聚着人类美好的理想和实现这种理想的孜孜追求。

尽管艺术家与数学家使用着不同的工具,有着不同的方式,但他们工作的基本的目的都是为了描绘一幅尽可能简化的“世界图式”。

艺术实践与数学活动的动机、过程、方法与结果,都是在其自身价值的弘扬中,不断地实现着对世界图式的有力刻画。

这种价值就是在充分、完全地理解现实世界的基础上,审美地掌握世界。

艺术与数学都是通用的理想化的世界语言。

艺术与数学在描绘世界图式的过程中,还同时发展并完善着自身的表现形式,这种表现形式最基本的载体便是艺术与数学各自独特的语言体系。

其共同特征有:

（1）跨文化性。

艺术与数学所表达的是一种带有普遍意义的人类共同的心声,因而它们可以超越时间和地域界限,实现不同文化群体之间的广泛传播和交流。

（2）整体性。

艺术语言的整体性来自于其艺术表现的普遍性和广泛性;

数学语言的整体性来自于数学统一的符号体系、各个分支之间的有力联系、共同的逻辑规则和约定俗成的阐述方式。

（3）简约性。

它首先表现为很高的抽象程度,其次是凝冻与浓缩。

（4）象征性。

艺术与数学语言各自的象征性可以诱发某种强烈的情感体验,唤起某种美的感受,而意义则在于把注意力引向思维,升迁为理念,成为表现人类内心意图的方式。

（5）形式化。

在艺术与数学各自进行的代码与信息的意义交换中,其共同的特征就是达到了实体与形式的分隔。

这样提炼出来的形式可以进行形式化处理。

艺术与数学具有普适的精神价值。

有人把精神价值划分为知识价值、道德价值和审美价值三种。

艺术与数学同时具备这三种价值,这一事实赋予了艺术与数学精神价值以普适性。

概括起来,其共同的特点有:

（1）自律性。

数学价值的自律性是与数学价值的客观性相联系的;

艺术的价值也是不能由民主选举和个人好恶来衡量的。

艺术与数学的价值基本上是在自身框架内被鉴别、鉴赏和评价的。

（2）超越性。

它们可以超越时空,显示出永恒。

在艺术与数学的价值超越过程中,现实被扩张、被延伸。

人被重新塑造,赋予理想。

艺术与数学的超越性还表现为超前的价值。

（3）非功利性。

艺术与数学的非功利性是其价值判断有别于其他种类文化与科学的显着特征之一。

（4）多样化、物化与泛化。

在现代技术与商业化的冲击下,艺术与数学的价值也开始发生嬗变,出现了各自价值在许多领域内的散射、渗透、应用、交叉等现象。

在人类思维的全谱系中,艺术思维和数学思维的主要特征决定了其主导思维各居于谱系的两端。

但两种思维又有很多交叉、重叠和复合。

特别是真正的艺术品和数学创造,一般都不是某种单一思维形式的产物,而是多种思维形式综合作用的结果。

人类思维之翼在艺术思维与数学思维形成的巨大张力之间展开了无穷的翱翔,并在人类思维的自然延拓和形式构造中被编织得浑然一体,呈现出整体多样性的统一。

人类思维谱系不是线性的,而是主体的、网络式的、多层多维的复合体。

当我们想要探索人类思维的奥秘时,艺术思维与数学思维能够提供最典型的范本。

其中能够找到包括人类原始思维直至人工智能这样高级思维在内的全部思维素材。

数学犹如一棵正在成长着的大树,它是不断发展和丰富着的理论知识体系。

数学充满着理性精神,它不断为人们提供新概念、新方法。

有的数学家说:

“数学在人类历史中的地位绝不亚于语言、艺术和宗教,今天数学正对科学和社会产生着翻天覆地的影响。

数学对于人类理性精神发展有着特殊的意义,这也清楚地说明数学作为整个人类文化的一个有机组成成分的重要性。

正如克莱因（M.Kline）指出的:

“在最广泛的意义上说,数学是一种精神,一种理性的精神。

正是这种精神,试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生产;

试图回答有关人类自身存在提出的问题;

努力去理解和控制自然;

尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。

参考文献：

《爱因斯坦文集》第1卷,商务印书馆1976年版。

《今日数学》第26页,上海科技出版社1982年版。

《论艺术与数学的普遍意义及基本关系》黄秦安。

《陕西师大学报》（哲学社会科学版）,1994年第2期。

《数学哲学译文集》林夏水主编第350页,知识出版社1986年版。

《毛泽东选集》第4卷第1443页,人民出版社1990年版。

《原子物理学和人类知识论文续编》,商务印书馆1978年版。

《量子力学原理》狄拉克,科学出版社1979年版。

篇二：

《数学文化论文》

本科生《数学文化》选修课程论文

与中外数学文化的差异数学文化的思考

学院：

理学院

专业：

化学工程与工艺

姓名：

ZenTing

学号：

联系电话：

电子邮箱：

dzd1005@

指导教师：

布和

教师职称：

讲师

论文完成日期：

二零一二年十二月一日

摘要

数学在人类发展史上有着举足轻重的作用，扮演着重要的角色，可以毫不夸张的说，没有数学这门科学，人类的历史就无法展开，它不仅在学术层面上重要，更是对我们绚丽多彩的文化起着重大的作用。

本文将回顾数学的发展史，浅谈数学对文化的作用，以及中外数学文化的差异。

关键词：

阿基里斯追龟论飞箭静止论《算术》希腊数学文化中国数学代表

引言

数学文化哲学作为一门学科或一个研究方向,是将数学置于人类文化大背景下而对其进行哲学反思。

从数学哲学转向数学文化哲学是在数学文化背景下的必然选择。

数学文化哲学不仅涵盖了对于数学本质及其价值更为深入的认识,而且从一个更为广泛的角度指明了影响数学发展的各个因素,因此是对传统数学哲学的深化和拓展。

数学文化哲学的孕育和产生有着深刻的学术背景和社会因素。

这种转向有助于使数学哲学走出现在的困境,更为重要的是,还将大大拓宽数学哲学研究的视野,从而为数学哲学的发展开辟更为广阔的前景。

正文

首先我们来回顾布和老师课上讲得第一个方面，即数学的发展。

古代数学最重要的两个分支就是古希腊和古代中国。

古希腊文明是人类古代文明中的一个皇冠，而数学则是这皇冠上最大的那一颗钻石，向世人展示了希腊人的精神——好奇多思，渴求知识。

其哲学与数学的发展则达到了那一时期的顶峰。

公元480年以后鸭店称为希腊的文化，政治中心，各种学术思想开始在雅典争奇斗艳，古希腊数学家更是层出不穷，艾丽娅学派的芝若提出了四个著名的悖论（二分说，追龟说，飞箭静止说，运动场说）迫使哲学家和数学家开始思考极限的问题。

我依稀记得我接触最早的，也是使我对数学产生兴趣并选修这门课的原因，就是因为追龟说——阿基里斯永远跑不过乌龟，和飞箭静止说。

下面我将详述这两个事列，阐述数学问题中极限对人类文化精神上带来的冲击与思考。

1.1追龟说

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。

在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。

因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；

阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。

就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟，“乌龟”动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。

由于追赶者首先

应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。

因此被追者总是在追赶者前面。

我们看看这个故事的历史背景。

当时柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。

首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"

数学派"

所代表的毕达哥拉斯的"

1-0.999...>

0"

思想。

然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"

1-0.999...=0,但1-0.999...>

最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"

1-0.999...=0,或1-0.999...>

有人解释道：

若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。

芝诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟，跑步者肯定也能跑到终点。

类似阿基里斯追上海龟之类的追赶问题，我们可以用无穷数列的求和，或者简单建立起一个方程组就能算出所需要的时间，那么既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上乌龟呢？

然而问题出在这里：

我们在这里有一个假定，那就是假定阿基里斯最终是追上了乌龟，才求出的那个时间。

但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。

上面说到无穷个步骤是难以完成。

以上初等数学的解决办法，是从结果推往过程的。

悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差甚远，在于这个芝诺与我们采取了不同的时间系统。

人们习惯于将运动看做时间的连续函数，而芝诺的解释则采取了离散的时间系统。

即无论将时间间隔取的再小，整个时间轴仍是由有限

的时间点组成的。

换句话说，连续时间是离散时间将时间间隔取为无穷小的极限。

其实这归根到底是一个时间的问题。

譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m。

实际情况是阿基里斯必然会在100/9秒之后追上乌龟。

按照悖论的逻辑，这100/9秒可以无限细分，给我们一种好像永远也过不完的印象。

但其实根本不是如此。

这就类似于有1秒时间，我们先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去我们永远都过不完这1秒，因为无论时间再短也可无限细分。

但其实我们真的就永远也过不完这1秒了吗？

显然不是。

尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。

但其实时间的流动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，其实加起来只是个常数而已，也就是1秒。

所以说，整个故事看起来就像一场数学教学中的失败。

也许在你的小学数学学习中，你可能对一些隐隐约约的数学问题产生疑问。

这就好比我们会利用3无法被10整除产生很多的悖论。

然而，对于这个数学问题中的无限话题又对人生有着思考。

我们都知道，古希腊的数学与哲学是并行不悖的。

很多知名的学者不仅是伟大的数学家，更是伟大的哲学家。

而飞箭静止说，则更好的反应了哲学的思考，就像我们本学期开始学习的《马克思主义基本原理概论》，其中费尔巴哈的形而上学，就提到过无限对人类思想的启迪意义。

1.2飞箭静止说

我们可以很容易的拿初高中物理，相对静止与运动来辩驳这项悖论。

运动是绝对的，静止是相对的！

相对静止是运动的特殊情况。

之所以是静止的是因为所选的参照物的速度与研究对象的速度相同（大小和方向相同）。

回想我们上学期得《高等数学》，什么是极限？

极限的概念是什么？

。

速度的定义是v=limΔs/Δt（Δt-〉0）可以这么理解Δt越接近0，Δs就越接近0。

当Δt接近于0时（永远不等于0），Δs/Δt就接近一个固定的值（这个值就是该时刻的瞬时速度v）。

极限是一个过程，也就是一个变化的过程。

而不能简（来自:

WWw.:

数学文化论文）单地认为就是Δt=0。

上述错误就是简单的认为Δt=0。

而另一方面，运动确实只是许多静止的总和，割裂了时间与空间，运动与静止的联系。

只是片面地看到了其中一方面而忽略了另一方面的存在。

根据机械运动理论的观点，要描述一个物体的运动。

首先是要建立一个参照系，然后才能确定它的状态。

如果我们把自己（观察者）当作参考系。

这时认为飞箭是运动的。

而当认为飞箭静止时，显然参考系选的是飞箭。

对于飞箭运动状态的两个描述，都不是在同一个参考系下。

再进行比较已经毫无意义。

除非能确定这两个参考系的相对运动状态。

所以说，在现在，就我掌握的大学本科未毕业加12年教育来看，我的认知中，越发觉这简直，完全，已乎就是一个彻头彻尾的悖论。

用简单的相对运动，运动，参照系来