高数期末考试试题及答案1.doc
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高数期末考试试题及答案1.doc
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北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》(下)期末试题(A2)
1.极限.
2.设,其中具有连续二阶偏导数,
则=2x.
3.曲面在点处的法线方程为.
4.函数在点(2,1,0)处的方向导数的最大值为.
5.设确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则.
6.幂函数的收敛区域是.
7.设,是周期为2的周期函数,则其傅里叶级数
在点x=4处收敛于.
8.设外侧,则.
9.已知,则div=.
10.设L为取正向的圆周x2+y2=9,则曲线积分
=.(用格林公式易)
二(8分).将函数f(x)=在点x0=2处展开成泰勒级数,并指出其收敛域.
解:
若用泰勒级数
=,不易。
而由,利用
易得
三(8分).设,其中f(u,v)具有连续二阶偏导数,求
解:
四(10分).设V是由曲面积分和所围成的空间封闭图形。
求
(1)V的体积;
(2)V的表面积.
解:
V的体积
利用,
V的表面积。
五(8分).确定参数的值,使得在不经过直线y=0的区域上,曲面积分与路径无关,并求当L为从A(1,1)到B(0,2)时I的值.
解:
因为曲面积分与路径无关,
则解得,
取路径,。
六(10分).求函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6、x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值和最小值.
解:
由,得区域D内的驻点(2,1)。
比较区域D边界的驻点,
4
得:
最大值为驻点(2,1)上的值4,最小值为区域边界x+y=6上的驻点值f(4,2)=-64
七(8分).计算,其中为旋转抛物面z=x2+y2被平面z=1所截得部分的外侧.
解:
加辅助面,用高斯公式
八(8分).已知函数y=y(x)满足微分方程,且y(0)=1,证明绝对收敛.
解:
由,
,
再由取绝对值后,与收敛级数比较,用比较判敛法得证。
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