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例3.如图,已知AB为⊙O的直径,P是OB的中点,求tanC·
tanD的值。
为了求tanC·
tanD的值,需要分别构造出含有∠C和∠D的两个直角三角形。
而AB是直径,为我们寻找直角创造了条件。
连BC、BD,则得到Rt△ACB和Rt△ADB。
可以发现∠ACD=∠ABD,∠ADC=∠ABC,于是,可以把tanC·
tanD转化为
例4.
由已知条件,等边△ABC可得60°
角,根据圆的性质,可得∠ADB=60°
,利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形,再证两个三角形全等,从而转移线段DC。
例5.如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,AD=DC,分别延长BA、CD交于点E,BF⊥EC交EC的延长线于F,若EA=AO,BC=12,求CF的长。
在Rt△CFB中,已知BC=12,求CF,故可寻找与之相似的直角三角形,列比例式求解。
例6.如图,已知等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于
例7.如图,相交两圆的公共弦长为120cm,它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。
求两圆相交弧间阴影部分的面积。
例8.(2003年黄冈市中考题)一个长方体的香烟盒里,装满大小均匀的20支香烟。
打开烟盒的顶盖后,二十支香烟排列成三行,如图
(1)所示。
经测量,一支香烟的直径约为0.75cm,长约为8.4cm。
(1)试计算烟盒顶盖ABCD的面积(本小题计算结果不取近似值)。
(2)制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张(不计重叠粘合的部分,计算结果
解题点拨:
四边形ABCD中,AD长为7支香烟的直径之和,易求;
求AB长,只要计算出如图
(2)中的O1E长即可。
例9.在直径为20cm的圆中,有一弦长为16cm,求它所对的弓形的高。
例10.
∠CAD所夹圆内部分的面积。
例11.
由已知条件可知AB、CD弦的位置不确定,所以要分多种情况讨论,可分为四种情况。
例12.(长沙市,2000)已知:
如图,圆心A(0,-3),圆A与x轴相切,圆B的圆心B在x正半轴上,且圆B与圆A外切于点P。
两圆内公切线MP交y轴于点M,交x轴于点N:
(1)求证△AOB∽△NPB;
(2)设圆A半径为r1,圆B半径为r2,若r1:
r2=3:
2,求点M、N的坐标及公切线MP的函数解析式;
(3)设点B(x1,0),点B关于y轴的对称点B’(x2,0),若x1·
x2=-6,求过B’、A、B三点的抛物线解析式;
(4)若圆A的位置大小不变,圆心B在x正半轴上移动,并始终有圆B与圆A外切,过点M作圆B的切线MC,C为切点,MC=
时,B点在x轴的什么位置?
从你的解答中能获得什么猜想?
【模拟试题】
一.选择题:
(本题共24分,每小题4分,每道题只有一个正确答案)
1.已知AB是⊙O的直径,半径EO⊥AB于O,弦CD⊥EO于F点,若∠CDB=120°
,则
的度数为()
A.10°
B.15°
C.30°
D.60°
2.如图,已知⊙O中,M是弦CD的中点,N为弦AB的中点,并且
的度数为130°
、90°
,则∠MON的度数为()
A.70°
B.90°
C.130°
D.160°
3.已知△ABC中,a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边,若r是内切圆半径,则△ABC的面积可以表示为()
A.
B.
C.
D.
4.已知两圆的半径分别为R、r,且圆心距为d,若
,则这两圆的位置关系为()
A.外离或外切B.相交或内切
C.外切或内切D.内切或内含
5.已知正多边形的边长为a与外接圆半径R之间满足
,则这个多边形是()
A.正三边形B.正四边形C.正五边形D.正六边形
6.已知正方形ABCD边长为5,剪去四个角后成正八边形,则正八边形的边长为()
B.
C.
D.
二.填空题:
(本题共16分,每小题4分)
7.已知△ABC,∠C=90°
,∠B=28°
,以C为圆心,以CA为半径的圆交AB于D,则
的度数为_____________。
8.已知△ABC内接于⊙O,F、E是
的三分之一点,若∠AFE=130°
,则∠C=____________度。
9.已知PA切⊙O于A,∠APO=30°
,若
,OP交于⊙O于C,则PC=____________。
10.两圆半径之比为2:
1,大圆内接正六边形与小圆外切正六边形的面积比为_______。
三.求解下列各题:
(本题共18分,每小题6分)
11.已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,若弦CD把⊙O分为2:
1的两部分,且
,求⊙O的直径及AE长。
12.已知等边△ABC内接于⊙O,E是
上一点,AE交BC于D,若BD:
DC=2:
1,且AB=6,求DE长。
13.如图所示,AB是⊙O的弦,EF切⊙O于B,AC⊥EF于C。
求证:
四.解答题:
(本题共24分,每小题8分)
14.如图所示,AB切⊙O于B,AE过O点交⊙O于E、C,过C作⊙O切线交AB于D,若
。
15.如图所示,△ABC中,∠A=90°
,O是BC上一点,以O为圆心的圆切AB、AC于D、E,若AB=3,AC=4,求阴影部分的面积。
16.如图所示,⊙O与⊙O'
交于A、B,过A点任意作两圆的割线CAD,若连结CB、DB,问因割线CAD的位置不确定,∠CBD的大小是否改变?
五.解答题:
(本题共18分,每小题9分)
17.如图所示,PA切⊙O于A,PO交⊙O于B、C,若
,AE交BC于D,且∠BEA=30°
,DB=1,求AP及PB长。
18.已知一块直径为30cm的圆形铁板,已经截去直径分别为20cm,10cm的圆形铁板各一块。
现在剩余的铁板中再截出两块同样大小的圆形,问这两个圆形的最大半径是多少?
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