小学数学问答手册十几何初步知识 推荐Word格式文档下载.docx
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由于面是物体的表面,如果放弃物体的本身,只单独想象物体的表面,这样的面就是几何的面。
几何里的面是没有厚度的(即:
高),所以,面只有长和宽,而没有高。
体:
当我们只研究一个物体的形状、大小而不研究它的其它性质(如颜色、重量、硬度等)的时候,我们就把这个物体叫做几何体,简称“体”。
一块砖与一个和砖完全一样的纸盒,虽然它们的颜色、重量、硬度以及制作材料都不同,只要它们的形状、大小都相同,就可以认为它们是完全相等的两个几何体。
就上述的砖和纸盒来说,它们是两个相同的长方体。
281.直线、射线和线段有什么不同?
直线、射线和线段是易于混淆的三个概念,它们之间也是有联系的,直线是基础,射线和线段是直线概念的发展。
它们也是有区别的,这是它们之间的主要方面。
首先看直线,一点在空间沿着一定方向和相反方向运动,所成的图形就是直线。
一张纸的折痕、双手拉紧的线,都给人以直线的形象。
我们把直线看作可以向两方无限延伸的,直线是无头无尾的,即是没有端点的。
直线可以用表示它上面任意两点的两个大写字母来表示。
例如,直线AB,或直线BA;
也可以用一个小写字母表示一条直线。
例如,直线l(如下图)。
经过一点,可以画无数多条直线,但是,经过两点却只能画出一条直线,这就是直线的基本性质。
除此之外,两条直线相交,只有一个交点。
其次看射线,在直线上某一点一旁的部分叫做射线。
这一点叫做射线的端点。
射线的另一端是可以无限延伸的,因此,没有端点。
射线只有一个端点;
是一条半直线。
类似探照灯光和手电筒所射出的光线,都可以看作射线的实际例子。
射线通常用表示它的端点和射线上另外一点的两个大写字母来表示,并且把表示端点的字母写在前面。
例如,以点O为端点的射线,可以在射线上再取一点A,记作:
射线OA(如图)。
最后再看线段,直线上任意两点间的部分叫做线段。
具有一定长度的拉直了的细绳,可看作线段的实际例子。
线段是有长短的,因此可以进行度量。
线段通常用表示它的两个端点的大写字母来表示。
例如,线段AB,或者线段BA。
也可以用一个小写字母表示。
例如,线段a(如下图)。
在连结两点的所有线中,线段最短。
这就是线段的基本性质。
282.什么叫做“角”?
几何中所指的“角”的定义是:
从一点画出的两条射线所组成的图形,叫做“角”。
这里所说的点(即两条射线的端点),叫做角的“顶点”,构成角的两条射线,叫做角的“边”。
角的大小与两边的长短无关,只与角两边的相互位置关系有关。
这一点,在初学时很容易混淆,必须引起注意。
角用符号“∠”来表示。
如:
从图2中可以看到:
角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的。
一个角一般有以下三种表示方法:
(1)用“∠”与三个大写字母表示角。
图3中的角记作:
∠AOB;
图4中的角记作:
∠BOC,∠AOB,∠AOC。
(2)用“∠”与一个大写字母表示角。
这里所指的一个大写字母,应该是角顶上的字母。
而且这种用一个大写字母表示角的方法,只适用于单个的角。
如图3,用∠O来表示,如果是具有共同顶点的两个或两个以上的角时,则不能用这种方法来表示角。
如图4,如果用∠O来表示,就表述不清到底∠O表示哪个角。
(3)用“∠”与一个小写希腊字母或一个数字表示角。
例如:
下图中的角分别记作:
∠1、∠2、∠α、∠β。
283.几何中的角可分为哪几种?
(1)周角:
一条射线绕着它的端点,按逆时针方向旋转,转到这条射线回到它的原来的位置时,就形成了一个周角。
如图
图中的OA绕它的端点O.按逆时针方向旋转,转到这条射线又回来的位置,形成了一个周角。
一个周角等于360°
,一个周角是一个平角的2倍。
(2)平角:
一条射线绕着它的端点,按逆时针方向旋转,转到和原来位置成为一条直线,这时所成的角,叫做平角。
图中的射线OA绕它的端点O,按逆时针方向旋转,转到射线OB的位置上(射线OA与射线OB构成一条直线),形成一个平角。
一个平角等于180度,记作180°
。
(3)优角:
一个大于平角又小于周角的角,叫做优角。
优角在小学数学教材中没有出现,但在教学中常常遇到学生提出这样的问题:
比周角小又比平角大的角叫什么角?
181°
的角是什么角等等。
优角大于180°
,小于360°
(4)直角:
等于平角一半的角,叫做直角。
直角通常记作“RT∠”。
直角的大小通常用d来表示,这样,平角等于2d,周角等于4d。
(5)钝角:
一个比平角小又比直角大的角叫做钝角。
钝角的度数大于90°
,小于180°
(6)锐角:
小于直角的角叫做锐角。
锐角小于90°
(7)余角:
当两个锐角∠AOB与∠BOC之和等于一个直角∠AOC时,其中一个角∠BOC叫做另一个角∠AOB的余角。
这两个角叫做互为余角。
(8)邻角:
当两个角有一个公共的顶点,有一条公共的边,这两个角另外两条边在公共边的两侧,这两个角叫做互为邻角。
图中的OC是∠AOC与∠COB的公共边,∠AOC是∠COB的邻角;
∠BOC也是∠COA的邻角。
(9)补角:
两个角的和等于平角,这两个角叫做互为补角。
也就是说,其中任一个角是另一个角的补角。
图中的∠1是∠2的补角,∠2是∠1的补角,或者说,∠1与∠2互为补角。
(10)对顶角:
把一个角的两边分别向相反方向延长,这两条延长线所夹的角,叫做原角的对顶角。
图中的∠AOD与∠BOC、∠AOB与∠DOC;
两对顶角是相等的。
图中的∠AOD=∠BOC;
∠AOB=∠DOC;
(11)三线八角:
两条直线被第三条直线所截,所得的
八个角,叫做三线八角。
图中的l1、l2、l3和∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8就是三线八角。
按上述
八个角的相互位置,给以下列不同名称:
①同位角:
当形成三线八角时,如果有两个角分别在两条直线的同一方,并且在第三条直线的同一旁,这样的一对角,叫做同位角。
如图中的∠1与∠5、∠2与∠6、∠4与∠8、∠3与∠7都是同位角。
②内错角:
如果两个角都在两直线的内侧,并且在第三条直线的两侧,那么这样的一对角叫做内错角。
图中的∠6与∠6、∠4与∠5都是内错角。
③外错角:
如果两个角都在两直线的外侧,并且在第三条直线的两侧,那么这样的一对角叫做外错角。
图中的∠1与∠8、∠2与∠7都是外错角。
④同旁内角:
如果有两个角都在两条直线的内侧,并且在第三条直线的同旁,那么这样的一对角,叫做同旁内角。
图中的∠3与∠5、∠4与∠6都是同旁内角。
⑤同旁外角:
如果有两个角都在两条直线的外侧,并且在第三条直线的同旁,那么这样的一对角,叫做同旁外角。
图中的∠1与∠7、∠2与∠8都是同旁外角。
284.垂直和垂线有什么不同?
垂直和垂线是两个不同的概念。
垂直的含义是:
两条直线相交成直角,这两条直线叫做互相垂直。
图中的直线AB与直线CD相交于O,并且它们所成的角等于90°
,因此,直线AB与CD互相垂直。
在两条相互垂直的直线中,其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
它们的交点叫做垂足。
垂直通常用符号“⊥”来表示。
如图中的AB垂直于CD,可记作AB⊥CD,读作AB垂直于CD。
有时为了把垂足也表示出来,也可以写作AB⊥CD于O,读作:
AB垂直于CD于O点。
垂线还具有以下两个性质:
(1)经过一点且只有一条直线垂直于已知直线;
(2)从直线外一点到这条线上的各点所连结的线段中,和这条直线垂直的线段最短。
画垂线时的要点是什么?
通常画垂线所借助的工具有两种:
一种是借助“三角板”画垂线;
另一种是借助“直尺、圆规”来画垂线。
用三角板画一条直线的垂线,一般所给的条件有两种:
(1)过直线外一点画这条直线的垂线。
(2)过直线上的一点画这条直线的垂线。
如图:
已知点P是直线AB外的一点,用三角板过P点作PO垂直于AB。
如图①,把三角板一条直角边靠在直线AB上(即把三角板的一条直角边与直线AB重合),并沿AB移动,使另一条直角边靠上P点,固定住三角板,并用铅笔沿着这另一条直角边画一条直线PO,直线PO与直线AB交于O点,这样,PO就是直线AB的垂线。
用一个三角板作垂线时,往往在接近垂足O点处的一段不容易作得很好。
可以采用另一种方法,如图②所示:
用两个三角板,把一个三角板(如虚线中的三角板)先固定住,然后把另一个三角板与它靠紧,再拿去第一个三角板,固定住第二个三角板,用铅笔沿着第二个三角板的一条边(靠上P点的一条边)画一条直线PO。
这种方法的关键是第二个三角板靠P点的一条边与直线AB相交,因此,在垂足O处,可以画得准确些。
又如:
已知点P是直线AB上的一点,用三角板过P点作PC垂直于直线AB。
如图①,把三角板的一条直角边靠在直线AB上,沿着AB移动,使另一条直角边靠上P点(即直角顶点靠上P点)时,把三角板固定,并且用铅笔沿这另一条直角边画一条直线PC与直线AB相交于P点,则PC是AB的垂线。
与上例相同,也可以按图②所示,用两个三角板,当第一个三角板的一条直角边靠在直线AB上,沿AB移动到另一条直角边靠上P点时,固定住三角板,把第二个三角板的一条边与它靠紧,然后拿掉第一个三角板,用铅笔沿第二个三角板靠P点的一边画一条直线PC,则PC是AB的垂线。
用直尺和圆规画一条直线的垂线时,通常有两种情况:
(1)过直线AB外的一点P作AB的垂线。
(2)过直线AB上的一点P作AB的垂线。
如图①,以P为圆心,以大于P到AB的距离为半径作弧,交AB于E、
PD,PD交AB于O,则PD是AB的垂线,垂足为O。
如图②,以P点为圆心,以任一长为半径作弧交AB于E、F;
以E、
的垂线,垂足为P。
285.平行与平行线有什么关系?
平行与平行线是两个不同的概念,它们之间又有着内在的联系。
平行的概念是指直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
当线与线、线与面、面与面平行时,其共同特点是没有公共点。
但一组直线平行,除了直线之间没有公共点之外,这组直线必定在同一个平面上。
通常用“∥”表示平行。
平行线的概念是指在同一平面内,两条不相交的直线,叫做平行线。
直线AB与CD,无论怎样把它们向两方无限地延长出去,这两条直线是永远不会相交的。
类似这样的两条直线,就是平行线。
可记作AB∥CD,读作AB平行于CD。
平行线具有以下几个性质:
(1)经过直线外一点,且只有一条直线平行于这条直线。
(2)在同一平面内,如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行。
(3)两条平行线被第三条直线所截,它们的同位角相等。
(4)两条平行线被第三条直线所截,它们的内错角相等。
(5)两条平行线被第三条直线所截,它们的同旁内角互补。
(6)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直,那么它也垂直于平行线中的另一条。
依据上述平行线的性质,可以对两条直线是否为平行线进行判定。
286.画平行线时的要点是什么?
画平行线时,通常借助的工具是直尺和三角板。
其画法的要点是:
先把三角板靠在直尺上(如下图)。
把三角板顺着直尺滑动,沿着三角板的其它一边,在滑动的不同位置上作两条直线(如图中AB和CD),这两条直线就是平行线。
一般情况下,需要通过直线外一点,作已知直线的平行线。
先把三角板的一条边靠在直线上(如图):
三角板所靠的直线为AB,再把直尺贴在三角板的另一边上,然后再把直尺与三角板一起沿着直线AB移动,使直尺边靠在点P上,这时,固定住直尺,把三角板沿着直尺推到与原直线AB靠在一起的一边的点P上,最后用铅笔在这条边上画一条直线CD,这样,直线CD过P点,并且与直线AB平行。
287.长方形、正方形、菱形都是平行四边形吗?
回答这个问题,首先明确一下平行四边形的意义及其性质,才能对此做出肯定或否定的判定。
平行四边形的意义是:
平面上两组对边分别平行的四边形,叫做平行四边形。
根据平行四边形的意义,图中四边形ABCD的两组对边AB∥CD;
AD∥BC,因此,四边形ABCD是
个顶点时,要用大写字母依次顺序标出。
平行四边形的性质是判定平行四边形的主要依据。
这些性质有:
(1)对边相等。
即:
AB=CD,AD=BC。
(2)邻角互补。
∠A+∠B=∠B+∠C=180°
(3)对角相等。
∠A=∠C;
∠B=∠D。
(4)对角线互相平分。
AO=OC;
BO=OD。
根据上述意义和性质,可以对问题做出判定:
长方形两组对边分别平行,符合平行四边形的意义,也具备其性质,因此,长方形也属于平行四边形。
同时,长方形的四个角都是直角。
正方形本身就是特殊的长方形,除了四条边都相等外,具备了长方形的一切特征,因此,正方形也属于平行四边形。
菱形的四条边也相等,也具备了平行四边形的意义和性质,因此,也属于平行四边形。
一般情况下,为了突出本身的特征,上述三种图形分别叫它们为长方形、正方形和菱形,从实质上划分,也可以说它们都是特殊的平行四边形。
288.三角形应该如何分类?
由于三角形是由不在同一直线上的三条线段所围成的封闭图形,因此,三角形必有三条边和三个角。
三角形通常用符号“△”来表示。
三角形的分类方法,一般是按“角”和“边”来划分的,角是根据内角的大小,边是根据边的长短。
按内角大小来划分,可分为三类:
(1)锐角三角形:
每个角都是锐角(小于90°
)的三角形,叫做锐角三角形。
左图中的三角形的三个角都是锐角,所以,△ABC是锐角三角形。
(2)直角三角形:
有一个内角是直角的三角形,叫做直角三角形。
左图中△ABC的内角A是直角,因此,这个三角形是直角三角形。
(3)钝角三角形:
有一个内角是钝角的三角形,叫做钝角三角形。
左图中△ABC的内角A是钝角,因此,这个三角形是钝角三角形。
钝角三角形与锐角三角形的合称,叫做斜三角形。
如果按三角形的边的长短来划分,也可分为三类:
(1)不等边三角形:
三条边互不相等的三角形,叫做不等边三角形。
左图中△ABC的三条边互不相等,所以,这个三角形是不等边三角形。
(2)等边三角形:
三条边都相等的三角形,叫做等边三角形。
左图中的△ABC三条边都相等,所以,这个三角形是等边三角形。
(3)等腰三角形:
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。
左图中的△ABC的两条边是相等的,即AB=BC,所以,这个三角形是等腰三角形。
由于等边三角形ABC中,AB=BC=AC,任选两边都相等,符合等腰三角形的条件,所以,等边三角形也是等腰三角形。
上述三角形分类情况如下图所示:
289.什么叫做“勾股定理”?
勾股定理是关于直角三角形边与边之间的关系的定理,即:
在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果把一个直角三角形的两条直角边分别记为a、b,把斜边记为c,那么它们之间的关系式是:
a2+b2=c2
在我国古代,把直角三角形叫做勾股形。
一般都把直角三角形中,短的一条直角边叫做“勾”,长的一条直角边叫做“股”,斜边叫做“弦”。
所以,我国古代把边与边关系所形成的定理,叫做勾股定理(如图1)。
图
(2)中的直角三角形ABC中,勾AB=3,股BC=4,弦AC=5。
按照勾股定理,所揭示三条边的关系为:
32+42=52
这就是我国最古的算书《周髀算经》(约成书于公元前一世纪左右)一开始就指出的:
“勾三、股四、弦五”。
这是直角三角形的三条边长都是整数时的例证。
古希腊数学家毕达哥拉斯(公元前572年--公元前497年)证明了这个定理。
所以在国外,常把这个定理称为毕达哥拉斯定理。
290.怎样推导三角形的面积公式?
在认识三角形特征的基础上,推导出三角形的面积公式,既是教学的自然发展,也是教学的重点。
推导三角形的面积公式,一般有以下三种方法:
(1)将两个全等的直角三角形转化成长方形:
采用这种方法,可让学生动手实践,先准备一张长方形纸,事先量出它的长和宽,并计算出面积。
在课堂上,用剪刀沿长方形的对角线剪开,形成两个全等的直角三角形。
通过剪完后的观察,启发学生找出长方形的长相当于三角形的底,长方形的宽相当于三角形的高,而长方形面积则等于两个三角形的面积。
由此推导出公式:
同理,也可以将两个全等的等腰三角形转化成正方形进行推导。
(2)将两个全等的锐角三角形转化成平行四边形:
这是一种通常的推导三角形面积的方法。
先剪出两个全等的锐角三角形,将这两个三角形一正一反地组成平行四边形。
然后对照进行推导。
转化成平行四边形后,可以观察到:
平行四边形的底与三角形的底一样,平行四边形的高与三角形的高也一样,由于平行四边形是两个全等三角形组成,因此,平行四边形面积等于两个三角形面积。
由此可推导出公式:
也可以将两个全等的锐角三角形转化成长方形进行推导。
由图中看到:
长方形的长和宽所对应的是三角形的底和高,长方形面积相当于两个全等三角形面积。
其公式推导同
(1)。
(3)将一个三角形转化成长方形:
顶点处于同一水平线上,通过割、补即可将这个三角形转化成长方形。
这种图形割补的演示方法,也可以让学生动手实践进行剪拼。
从图形割补可观察到:
三角形转化为长方形后,面积大小没有任何改变,长方形的长相当于三角形的高,长方形的宽相当于三角形底的一半(已割去
长方形面积=长×
宽
↓↓
三角形高三角形底的一半
三角形面积=高×
底÷
2
运用交换律得:
底×
高÷
291.三角形的中线、三角形的中位线以及三角形的高线有什么区别?
这是三个完全不同的概念。
三角形的中线是指:
连结三角形的一个顶点和这个顶点对边的中点的一条线段,叫做三角形的一条中线。
下图中,D是BC的中点,AD则是△ABC的中线。
由于三角形有三个角,也必然有三个顶点,每个顶点都可以与这个顶点对边的中点连结成一条线段,因此,每个三角形有三条中线。
三角形的中位线是指:
三角形两边中点的连线,叫做三角形的一条中位线。
左图中,D、E分别是三角形ABC的边AB、AC的中点,在D与E之间作一连线,则DE是△ABC的一条中位线。
三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。
同理,三角形有三条中位线。
三角形的高线是指:
从三角形的一个顶点到它的对边所在的直线作垂线,顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线。
简称三角形的高。
左图中,AD⊥BC于D,线段AD是△ABC的一条高线。
同理,三角形中有三条高线。
应该注意的是:
(1)直角三角形中,有两条高线与直角边重合。
(2)钝角三角形中,有两条高线在三角形之外。
如图中的钝角三角形ABC,的一个内角∠C是钝角,则AD是BC边上的高线,BE是AC边上的高线。
但它们分别与AC、BC的延长线相交于三角形ABC的形外。
292.四边形应该怎样分类?
由四条线段围成的封闭图形叫做四边形。
如果没有一组对边平行的四边形,就叫做任意四边形。
在小学中所涉及的四边形,都是凸的四边形,即:
如果延长四边形的任何一边,而整个四边形都在这边延长线的同旁,那么这样的四边形就叫做凸四边形。
四边形在教材中包括以下八种(如下图):
从上图中可以看到这些都属于四边形的范畴之内,但各自的名称不相同。
1是任意四边形;
2是平行四边形;
3是长方形;
4是正方形;
5是菱形;
6是直角梯形;
7是等腰梯形;
8是一般梯形。
如果把上面图形归类概括,则四边形可做如下分类:
293.怎样认识三角形的三个内角和是180°
?
三角形的三个内角和是180°
,这是三角形内角和的性质。
在几何初步知识的教学中,这是一个重要的内容。
要通过量一量、折一折、想一想和算一算等实践活动,让学生在掌握内容的同时,培养和发展学生的推理判断能力。
教学前,先布置课前作业,要求每个学生剪出六个三角形,即:
按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形;
按边分有等边三角形、不等边三角形和等腰三角。
形固定,但数据不做统一要求,这样剪出来的三角形是大小不一的。
教师谈话后,先让学生量一量。
拿出一个直角三角形,让学生量出另外一个角的度数,并报出来,教师立即报出第三个角的度数,然后让学生进行测量核实(用量角器)。
如此重复数次,就可以激起学习的兴趣和教学中的悬念。
在此基础上,全体学生一起动手测量自制的六个三角形三个内角的度数,并把它们加起来,初步明确:
无论是什么样的三角
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