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N=8
n=0:
N-1;
x1=[11110000];
m=0:
2*N-1;
x2=[1111000000000000];
f1=fft(x1,N);
f2=fft(x2,2*N);
subplot(2,2,1)
stem(n,x1)
subplot(2,2,2)
stem(n,abs(f1))
subplot(2,2,3)
stem(m,x2)
subplot(2,2,4)
stem(m,abs(f2))
x2[n]:
N=8
x1=[12344321];
x2=[1234432100000000];
stem(n,x1)
x3[n]:
x1=[43211234];
x2=[4321123400000000];
f2=fft(x2,2*N)
stem(m,x2)
x4[n]:
N=8;
x1=cos(0.25*pi*n);
x2=cos(0.25*pi*m);
stem(n,abs(f1))
x5[n]:
x1=sin(0.125*pi*n);
x2=sin(0.125*pi*m);
x6[n]:
N=16;
fs=64;
x1=cos(8*pi*n/fs)+cos(16*pi*n/fs)+cos(20*pi*n/fs);
x2=cos(8*pi*m/fs)+cos(16*pi*m/fs)+cos(20*pi*m/fs);
l=0:
4*N-1;
x3=cos(8*pi*l/fs)+cos(16*pi*l/fs)+cos(20*pi*l/fs);
f3=fft(x3,4*N);
subplot(3,2,1)
subplot(3,2,2)
subplot(3,2,3)
subplot(3,2,4)
subplot(3,2,5)
stem(l,x3)
subplot(3,2,6)
stem(l,abs(f3))
x7[n],x8[n]:
x51=sin(0.125*pi*n);
x41=cos(0.25*pi*n);
x71=x41+x51;
x52=sin(0.125*pi*m);
x42=cos(0.25*pi*m);
x72=x42+x52;
f41=fft(x41,N);
f51=fft(x51,N);
f71=fft(x71,N);
f42=fft(x42,2*N);
f52=fft(x52,2*N);
f72=fft(x72,2*N);
figure
(1)
stem(n,real(f71))
stem(n,f41)
stem(n,imag(f71))
stem(n,imag(f51))
figure
(2)
stem(m,real(f72))
stem(m,f42)
stem(m,imag(f72))
stem(m,imag(f52))
x9[n],x10[n]:
x81=x41+j*x51;
x82=x42+j*x52;
f81=fft(x81,N);
f83=f81;
fori=2:
N
f83(i)=conj(f81(N+2-i));
end
f82=fft(x82,2*N);
f84=f82;
2*N
f84(i)=conj(f82(2*N+2-i));
stem(n,(f81+f83)/2)
stem(n,abs((f81-f83)*1i/2))
stem(n,abs(f51))
stem(m,(f82+f84)/2)
stem(m,abs((f82-f84)*1i/2))
stem(m,abs(f52))
x11[n]:
x1=[1234000000000000];
x2=[1234123412341234];
x3=[1000200030004000];
f2=fft(x2,N);
f3=fft(x3,N);
stem(n,x2)
stem(n,abs(f2))
stem(n,x3)
stem(n,abs(f3))
4.思考题
(1)在N=8时,x2[n]和x3[n]的幅度谱会相同吗?
为什么?
N=16时,x2[n]和x3[n]的幅度谱会
相同吗?
答:
不相同,由DFT的定义可知,x[n]的作用是对相同的K值的幅度值,所以虽然不影响频
谱分,布但是影响频率幅值.由于x2[n]和x3[n]的数值分布范围不同,所以导致在相同K
值时幅值不同,因此x2[n]和x3[n]的幅频特性不相同。
N=16时也不相同。
(2)比较x4[n]的8点和16点的DFT波形,这说明什么?
再比较x5[n]的8点和16点的DFT
波形,这说明了什么?
分析x4[n]和x5[n]的这些频谱异同产生的原因。
x4[n]的8点和16点波形相同,x5[n]的8点和16点波形相同,说明仅当函数为偶函数
时,8点和16点DFT波形相同。
(3)比较x6(t)的64Hz采样时16,32,64点DFT波形,分析它们的异同产生的原因。
波形相同,因为是对同一个数字频谱的采样。
(4)比较x6(t)的16Hz采样和64Hz采样时64点DFT波形,这说明什么?
64Hz是16Hz扩张四倍后的波形,说明频率改变频谱的压缩或扩张。
(5)找出X7[k]与X4[k]=DFT[x4[n]]、X5[k]=DFT[x5[n]]的关系。
X7[k]的实部和X4[k]相等,X7[k]的虚部和X5[k]的虚部相等。
(6)找出X8[k]与X4[k]=DFT[x4[n]]、X5[k]=DFT[x5[n]]的关系。
X4[k]=(X8[k]+X8*[n-k])/2,X5[k]=j/2(X8[k]-X8*[n-k])。
(7)比较x9[n]、x10[n]和x11[n]的DFT结果,分析信号末尾补零、周期性延拓和时域插值在频
谱上的变化。
信号末尾补零频谱不发生变化,周期性延拓频谱变化是周期性的,时域插值频谱压缩。
(8)如果周期信号的周期预先不知道,如何用FFT进行谱分析?
周期信号的周期预先不知道时,可先截取M点进行DFT,再将截取长度扩大1倍截取,比较
结果,如果二者的差别满足分析误差要求,则可以近似表示该信号的频谱,如果不满足误差
要求就继续将截取长度加倍,重复比较,直到结果满足要求。
5.分析与结论
FFT变换即快速傅里叶变换的性质同DFT即离散傅里叶变换相同。
离散傅里叶变换有两个物理意义,一是,是对该序列的傅里叶变换w的抽样或者说对Z变换单位圆内的抽样。
二是,将该序列进行周期延拓后的傅里叶级数变换的主值序列。
用FFT作谱分析时,若给出的是连续信号,需要根据其最高频率确定采样速率,根据频率分辨率选取采样点数N,对其进行软件采样,产生对应序列。
若给出的是周期序列,则应该截取周期的整数倍进行谱分析,这样可以尽量减少实验造成的误差。
实验二IIR数字滤波器设计
(1)熟悉用双线性变换法设计IIR数字滤波器的原理与方法。
(2)掌握数字滤波器的计算机仿真方法。
(3)通过观察对实际心电图信号的滤波作用,获得数字滤波的感性知识。
(1)IIR数字滤波器的系统函数可以写成
设计经典的IIR数字滤波器,就是要确定该系统函数中的2组系数:
Num:
b0,b1,...,bM
Den:
a1,a2,...,aN
也就是说,这两组系数确定了,IIR数字滤波器的理论设计就完成了。
接下去可以进行
结构变换和系数量化。
(2)IIR数字滤波器的设计可以借助模拟滤波器的设计方法。
先设计一个模拟滤波器,然后转
换成数字滤波器。
(3)模拟滤波器的原型有很多种。
常用的低通模拟滤波器原型有四种:
巴特沃斯(Butterworth)
滤波器、切比雪夫I型(ChebyshevⅠ)滤波器、切比雪夫II型(ChebyshevⅡ)滤波器、
椭圆(Elliptic)滤波器。
这些滤波器的增益(Gain)曲线如图2-1所示。
(4)滤波器设计指标可分为模拟指标和数字指标,绝对指标和相对指标。
一般来说,具体指
标有通带的边界频率、阻带的边界频率,通带最大衰减,阻带最小衰减四种。
低通滤波器
指标具体含义如图2-2所示。
(5)根据指标设计模拟滤波器,得到传输函数Hc(s)。
用双线性变换法,
其中,为了防止频响曲线发生畸变,设计指标的模拟频率与数字频率间的关系需做预畸变:
(1)复习有关巴特沃斯、切比雪夫I型、切比雪夫II型、椭圆四种模拟滤波器设计和用双线
性变换法设计IIR数字滤波器的内容。
(2)人体心电图信号在测量过程中往往受到工业高频(主要是50Hz市电及其高次谐波)干扰,
所以必须经过低通滤波处理后,才能作为判断心脏功能的有用信息。
x[n]为一实际心电图信号采样序列样本:
{x[n]}={-4,-2,0,-4,-6,-4,-2,-4,-6,-6,-4,-4,-6,-6,-2,6,12,8,0,-16,-38,-60,-84,-90,-66,-32,-4,-2,-4,8,12,
12,10,6,6,6,4,0,0,0,0,0,-2,-4,0,0,0-2-2,0,0,-2,-2,-2,-2,0},
画出该信号的时域波形和频谱。
从频谱图中可以看到该信号存在高频干扰,噪声主要
集中在大于0.36πrad的频段。
(3)用双线性变换法设计低通IIR数字滤波器,滤除信号x[n]中的干扰成分。
根据待处理信号
的频谱,确定滤波器的设计指标。
例如:
通带[0,0.2π]内,最大衰减小于1dB,
阻带[0.3π,π]内,最小衰减大于15dB。
(4)利用Matlab函数设计IIR滤波器
a.先采用巴特沃兹原型设计。
根据设计指标,调用Matlab信号处理工具箱函数buttord()
和butter(),得到以巴特沃兹模拟低通为原型的数字滤波器H(z)。
以0.02π为采样间隔,
画出数字滤波器在频率区间[0,π)上的频率响应特性曲线。
b.编写滤波器仿真程序,调用filter()函数计算H(z)对心电图信号采样序列x[n]的响应y[n]。
画出滤波后心电图信号的时域波形和频谱。
c.调用Matlab的cheb1ord(),cheby1(),cheb2ord(),cheby2(),ellipord(),ellip()等函数,
分别得到切比雪夫I型、切比雪夫II型、椭圆滤波器为模拟原型的数字滤波器。
重复
步骤(4)a,(4)b。
(5)利用Matlab的滤波器设计分析工具FDATool(FilterDesign&
AnalysisTool)设计IIR滤波器。
a.在Matlab的“CommadWindow”里输入fdatool,打开滤波器设计分析工具。
b.在设计窗口中输入设计指标,如图2-3所示:
其中“Matchexactly”这项,如果选择“stopband”,则得到的滤波器阻带指标正好匹配,通带留有裕量;
如果选择“passband”,则得到的滤波器通带指标正好匹配,阻带留有裕量。
c.点击DesignFilter,就可以得到IIR滤波器。
设计窗口中会显示设计得到的滤波器的频响
曲线。
d.在“CurrentFilterInformation”一栏里,可以看到滤波器的结构信息,IIR滤波器可以有很
多种结构,选择不同的结构,得到的滤波器系数形式也各不相同。
滤波器的结构可以通过
菜单“Edit”转换。
如同一个6阶直接II型转置型IIR滤波器,图2-4是单一节点结构(Single
Section),设计结果为2组系数,分子分母各7个系数;
而图2-5是二阶节点级联结构
(Second-OrderSections,SOS),设计结果为3个二阶节点,每个节点分子分母各3个系数。
e.点击菜单“File”-“Export…”,可以把设计得到的滤波器系数导出到Matlab的工作空间(Workspace)或者存为文件。
f.使用设计得到的滤波器对心电图信号做滤波。
可参考步骤(4)b。
g.在“DesignMethod”的下拉菜单中选用不同的模拟滤波器原型,分别设计相应的IIR数字滤波器。
分别画出这些数字滤波器在频率区间[0,π)上的频率响应特性曲线。
①滤波前:
Wp=0.2*pi;
Ws=0.3*pi;
Rp=1;
Rs=15;
x=[-4,-2,0,-4,-6,-4,-2,-4,-6,-6,-4,-4,-6,-6,-2,6,12,8,0,-16,-38,-60,-84,-90,-66,-32,-4,-2,-4,8,12,12,10,6,6,6,4,0,0,0,0,0,-2,-4,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,-2,-2,-2,0];
length(x)-1;
[N,Wn]=buttord(Wp/pi,Ws/pi,Rp,Rs);
[b,a]=butter(N,Wn);
y=filter(b,a,x);
figure
(1);
freqz(b,a,50);
subplot(2,2,1)
stem(n,x,'
.'
);
axis([056-10050]);
holdon;
xlabel('
\itn'
ylabel('
\itx[n]'
title('
Cardiogramsequence'
subplot(2,2,2)
stem(n,y,'
\ity[n]'
Cardiogramsequencefiltered'
pi/1024:
pi/1024*1023;
subplot(2,2,3)
plot(m,abs(fft(x,1024)));
axis([0511-50500]);
\it\omega'
\itX(e^j^\omega)'
Spectrumofcardiogram'
subplot(2,2,4)
plot(m,abs(fft(y,1024)));
\it\omega'
\itY(e^j^\omega)'
Spectrumofcardiogramfiltered'
②巴特沃兹滤波器
55;
[N,Wn]=cheb1ord(Wp/pi,Ws/pi,Rp,Rs);
[b,a]=cheby1(N,Rp,Wn);
n'
x[n]'
y[n]'
1023;
w'
X(e^j^w)'
Y(e^j^w)'
)
③切比雪夫Ⅰ滤波器
④切比雪夫Ⅱ滤波器
[N,Wn]=cheb2ord(Wp/pi,Ws/pi,Rp,Rs);
[b,a]=cheby2(N,Rs,Wn);
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